高三復(fù)習(xí)課,因研究高考試題而精彩

摘 要：含參數(shù)不等式恒成立問題是歷年高考、競(jìng)賽中的熱點(diǎn)，靈活多變、思辨性強(qiáng)． 對(duì)其進(jìn)行探究，通過一題多解、一題多變，總結(jié)出解題思維與方法，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)式思維”的關(guān)鍵．

關(guān)鍵詞：高考題；參數(shù)；恒成立

含參數(shù)不等式恒成立問題是歷年高考、競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問題，由于這類問題靈活多變、思辨性強(qiáng)，令不少學(xué)生望而生畏、束手無策． 2010年高考數(shù)學(xué)天津卷文科第20題具有一定的典型性、代表性、示范性，因而深入地研究本題，以該題為藍(lán)本，可以設(shè)計(jì)出適合高三復(fù)習(xí)的一節(jié)課．

展示考題，明確任務(wù)

例題 已知函數(shù)f（x）＝ax3－x2+1（x∈R），其中a＞0．

（1）若a＝1，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

（2）若在區(qū)間－，上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

教師：本題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、解含參數(shù)不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法． 本節(jié)課，我們主要是通過對(duì)本題第2問的探究，總結(jié)出含參數(shù)不等式恒成立問題的解題思路和方法．

（設(shè)計(jì)意圖：以高考題目為探究源泉，激發(fā)學(xué)生的求知欲望）

分析考題，啟發(fā)思路

教師：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x3－x2+1，f（2）＝3，f′（2）＝6，切線方程為y＝6x－9．

對(duì)本題第2問，啟發(fā)學(xué)生思考：

①不等式在什么條件下恒成立？

②求a的取值范圍的關(guān)鍵是什么？

③如何利用x的取值范圍求a的取值范圍？

經(jīng)過分析、思考，學(xué)生1發(fā)現(xiàn)了如下解題方法．

解法1：f′（x）＝3ax2－3x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝．

以下分兩種情況討論：

①若0＜a≤2，則≥，當(dāng)x∈－，0時(shí)，f′（x）＞0；

當(dāng)x∈0，，f′（x）＜0，所以f（x）在－，0單調(diào)遞增，在0，單調(diào)遞減．

當(dāng)x∈－，時(shí)，f（x）＞0等價(jià)于

f－>0，f>0， 解得－5＜a＜5，因此0＜a≤2．

②若a＞2，則0＜＜，當(dāng)x∈－，0和，時(shí)，f′（x）＞0；

當(dāng)x∈0，時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在－，0和，單調(diào)遞增，在0，單調(diào)遞減．

當(dāng)x∈－，時(shí)，f（x）＞0等價(jià)于

f－>0，f>0， 解得＜a＜5或a＜ －，因此2＜a＜5．

綜合①②可知a的取值范圍是0＜a＜5．?搖

教師點(diǎn)評(píng)：學(xué)生1的做法與參考答案是一致的． 解題思路是把x∈－，， f（x）＞0恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在－，上的最小值大于0，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)使問題得以解決．

教師：是否可將不等式中的a與x進(jìn)行分離（或分割），得到形如a＞f（x）或a＜f（x）的不等式，再求函數(shù)f（x）的最值？請(qǐng)同學(xué)們思考后，大家一起交流．

停留片刻，學(xué)生2給出了如下解答．

解法2：x∈－，，f（x）＞0恒成立，

即不等式ax3－x2＋1＞0對(duì)x∈－，恒成立．?搖

若x＝0，恒成立；

若x∈－，0，ax3－x2＋1＞0，

所以a＜－，

要使a＜－，對(duì)任意x∈－，0恒成立，只需a＜－min．

令g（x）＝－，x∈－，0，由g′（x）＞0，

g（x）在－，0單調(diào)遞增，［g（x）］min＝g－＝5，所以0＜a＜5．

若x∈0，，ax3－x2＋1＞0，則a＞－．?搖

要使a＞－對(duì)任意x∈0，恒成立，只需a＞－max，同理可得a＞0．

綜上，a的取值范圍是0＜a＜5．

教師點(diǎn)評(píng)：首先對(duì)學(xué)生2的探索精神給予表揚(yáng)．將原不等式中的a與x進(jìn)行分離（或分割），得到形如a＞f（x）或a＜f（x）的不等式，再把求a的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最值問題，使解題思路簡(jiǎn)單明了，易于掌握，這種方法稱為“分離參數(shù)法”，它是解決含參數(shù)不等式恒成立問題的常用方法，更具有普遍性，是通法．

（設(shè)計(jì)意圖：一題多解是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性、發(fā)散性的有效手段，是數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的重要途徑，剖析思路、探討解法也是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主題內(nèi)容． 本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)旨在引領(lǐng)學(xué)生多角度、多方位地探討解法，加強(qiáng)知識(shí)的縱橫聯(lián)系，以達(dá)到融會(huì)貫通的目的；同時(shí)，也為后續(xù)的解法提供了素材，奠定了基礎(chǔ)）

一題多變，舉一反三

教師：原題第2問能變嗎？怎么變？

學(xué)生3：把x的區(qū)間改為開區(qū)間（或半開半閉區(qū)間），可得

變式1 已知函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋1 （x∈R），其中a＞0，對(duì)任意x∈－，，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

分離參數(shù)后，發(fā)現(xiàn)函數(shù)相應(yīng)的最值不存在，由y＝－在x＝－的極限值等于5，只需a≤5，所以a的取值范圍是0＜a≤5．

教師：（1）若f（x）無最小值，而存在相應(yīng)極限值M． 要使f（x）＞g（a）恒成立，只需M≥g（a）；要使f（x）≥g（a）恒成立，只需M≥g（a）；

（2）若f（x）無最大值，而存在相應(yīng)極限值N． 要使f（x）

學(xué)生4：也可將f（x）表示成g（x）－h(huán)（x）的形式，可得：

變式2 設(shè)函數(shù)g（x）＝ax3+1，a＞0，h（x）＝x2，若對(duì)任意x∈－，，不等式g（x）＞h（x）恒成立，求a的取值范圍．

學(xué)生5： 由已知不等式g（x）－h(huán)（x）＝ax3－x2＋1＞0對(duì)x∈－，恒成立，

令f（x）＝ax3－x2＋1，于是問題轉(zhuǎn)化為原題，a的取值范圍是0＜a＜5．

教師： 不等式g（x）＞h（x）恒成立，可構(gòu)造函數(shù)f（x）＝g（x）－h(huán)（x），問題轉(zhuǎn)化為f（x）>0恒成立．

還有學(xué)生說若把x的取值范圍改成參數(shù)a的取值范圍，可得

變式3 對(duì)任意a∈－，，f（x）＝ax3－x2＋1的值恒大于0，求x的取值范圍．

學(xué)生6思考后，提出如下解法．

解：把原函數(shù)看成關(guān)于的一次函數(shù)，令g（a）＝x3#8226;a＋1－x2，

則原問題轉(zhuǎn)化為g（a）＞0對(duì)任意a∈－，恒成立．

若x＝0，g（a）＝1＞0恒成立；

若x≠0，則問題等價(jià)于g－>0，g>0， 解得1－＜x＜－1＋，?搖?搖?搖

所以x的取值范圍是1－＜x＜－1＋．

教師：很好，能通過“反客為主”轉(zhuǎn)化為參數(shù)a的一次不等式，起到了降次化簡(jiǎn)的作用，這種方式稱為“變更主元法”．你知道它適合于什么題目嗎?

停留片刻，學(xué)生7：它適用于參數(shù)是一次的不等式在參數(shù)的某一取值范圍內(nèi)恒成立，求未知數(shù)x的取值范圍問題．

看到學(xué)生思路活躍，興致高漲，教師趁熱打鐵，給出如下兩個(gè)變式．

變式4 設(shè)函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋1，a＞0，g（x）＝－9x2，對(duì)任意x1，x2∈［－2，－1］，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，求a的取值范圍．

學(xué)生8：對(duì)任意x1，x2∈［－2，－1］，不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，則［f（x）］min＞［g（x）］max． 因?yàn)閤∈［－2，－1］，a＞0，f′（x）＞0，g′（x）＞0，所以f（x）和g（x）在［－2，－1］都單調(diào)遞增． 由f（－2）＞g（－1），解得a＜，所以a的取值范圍是0＜a＜．

教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)于定義域上某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意x1，x2，不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，等價(jià)于［f（x）］min＞［g（x）］max，于是問題轉(zhuǎn)化為求f（x）和g（x）在給定間內(nèi)的最值問題．

變式5 定義在（－∞，－1）上的函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋1，a＞0，使f（a2－6a－5sinx）＜f（1－a＋cos2x）對(duì)一切x∈R恒成立，求a的取值范圍．

教師：本題具有挑戰(zhàn)性，它是函數(shù)不等式恒成立問題，可先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，同時(shí)要考慮到定義域，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考后，列出不等式組．

學(xué)生9：x∈（－∞，－1），a＞0，f′（x）＝3ax（x－）＞0，f（x）在（－∞，－1）單調(diào)遞增，f（a2－6a－5sinx）＜f（1－a＋cos2x）對(duì)一切x∈R恒成立，

得不等式組

a2－6a－5sinx<1－a+cos2x，1－a+cos2x<－1，a>0

對(duì)一切x∈R恒成立，

即a2－5a<－sin2x+5sinx+2，a>cos2x+2，a>0

對(duì)一切x∈R恒成立，

所以a2－5a<－4，a>3，a>0.

解得3＜a＜4．所以a的取值范圍是3＜a＜4．

（設(shè)計(jì)意圖：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》是在繼承基礎(chǔ)上的揚(yáng)棄，是在批判中吸收，不排斥傳統(tǒng)教學(xué)中的精華，變式訓(xùn)練是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解題教學(xué)有效的訓(xùn)練手段，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力、創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)散思維具有不可替代的作用）

師生小結(jié)，提煉方法

教師： 我們以一道典型的高考試題為載體研究解題，通過一題多解，一題多變，對(duì)含參數(shù)不等式恒成立問題進(jìn)行探究，經(jīng)歷受困、頓悟、內(nèi)化的學(xué)習(xí)過程．為了幫助大家總結(jié)解題思路與方法，請(qǐng)思考以下問題：

（1）你認(rèn)為含參數(shù)不等式恒成立問題可以分為幾大類？按什么標(biāo)準(zhǔn)分類？

（2）解決含參數(shù)不等式恒成立問題，你能說出幾種方法？每種方法適用的題目是什么？哪種方法最通用？

由學(xué)生回答，不完整之處由教師補(bǔ)充，概括如下：

含參數(shù)不等式恒成立問題可分為兩大類：一是已知不等式在參數(shù)的某一取值范圍內(nèi)恒成立，求未知數(shù)x的取值范圍，這類題目若參數(shù)是一次的，則采用變更主元法最簡(jiǎn)單；若參數(shù)不是一次的，但可分離，則采用分離參數(shù)法解決．二是已知不等式在未知數(shù)x的某一取值范圍內(nèi)恒成立，求參數(shù)的取值范圍，通常可采用分離參數(shù)法，把求參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，如果相應(yīng)函數(shù)最值不存在，可利用函數(shù)相應(yīng)的極限值加以解決，而“等號(hào)”的選取總是可以的． 當(dāng)然，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，如果不能分離參數(shù)，就要根據(jù)題目特點(diǎn)采取相應(yīng)的方法，例如利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，或挖掘幾何意義用數(shù)形結(jié)合法等．

（設(shè)計(jì)意圖：在真實(shí)的課堂教學(xué)中，要求教師在合作交流環(huán)節(jié)之后對(duì)紛繁雜亂的成果給予整理，這一過程既體現(xiàn)了教師在課堂中的主導(dǎo)地位，又是優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)、升華解題認(rèn)識(shí)、提煉數(shù)學(xué)思想方法必不可少的環(huán)節(jié)）