也談《特征值與特征向量》的教學(xué)設(shè)計

摘 要：本文是蘇教版數(shù)學(xué)選修4-2《矩陣的特征值與特征向量》一課的教學(xué)實錄．從數(shù)形結(jié)合的角度入手，運用特殊到一般、類比等方法，層層遞進(jìn)，逐步探究，在教師的主導(dǎo)下，學(xué)生自主實現(xiàn)了對矩陣的特征值與特征向量的知識建構(gòu)，并歸納總結(jié)出求矩陣的特征值與特征向量的方法，提高了學(xué)生解決問題的能力，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：矩陣；特征值；特征向量；特征多項式；特征方程

筆者拜讀了中學(xué)數(shù)學(xué)月刊2011年第5期《“矩陣的特征值與特征向量”的教學(xué)實錄與教學(xué)后記》一文后，感觸良多，該文從數(shù)與式的角度，遵循教材，設(shè)計了矩陣的特征值與特征向量一課，設(shè)計合理精致，充分體現(xiàn)了新課程的理念． 筆者于2011年6月也以此為課題開設(shè)了一節(jié)公開課，另辟蹊徑，從數(shù)形結(jié)合的角度，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，因勢利導(dǎo)，也設(shè)計了本節(jié)課． 現(xiàn)寫出實錄內(nèi)容，與同行們共勉．

基本情況

1． 參與與授課對象

學(xué)生均來自江蘇省四星級重點高中的理科普通班，基礎(chǔ)較好，思維活躍，在探究式學(xué)習(xí)過程中已基本具備了觀察、實驗、猜想、驗證等學(xué)習(xí)能力；這是一節(jié)校級公開課，課后全校數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了交流、分析與探究．

2. 教材分析

本節(jié)內(nèi)容是蘇教版數(shù)學(xué)選修4—2的第2．5節(jié)，共兩課時，這是第一課時，在此之前，已學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，以及二階矩陣與列向量的乘法，在教學(xué)過程中有兩個難點，即（1）特征值與特征向量的定義；（2）在求特征值與特征向量過程中為什么令特征多項式f（λ）=0，只有注重知識的生成過程，學(xué)生才能從本質(zhì)上把握知識并能熟練運用，因此本節(jié)課就以此為突破口．

教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征值與特征向量的意義．

（2）會求二階矩陣的特征值與特征向量．

（3）感受數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律．

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境?搖建構(gòu)概念

問題1

教師：最近我們已學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，以及二階矩陣與列向量的乘法，如何求二元一次方程組的解？

學(xué)生1：當(dāng)D≠0時，x=，y=；當(dāng)D=0時，方程組有無數(shù)組解或無解．

教師：方程組3x+my=0，4x－11y=0的解x，y不同時為0，求參數(shù)m的值．

（教師板書，學(xué)生思考并自行解決問題）

學(xué)生2：因為Dx=0，Dｙ=0，且x，y不同時為0，因此D=0，即3 m4 -11=0，所以m=－，經(jīng)檢驗，滿足條件．

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)上節(jié)課已學(xué)知識及一個簡單問題的解決為下面求特征值為何利用f（λ）=0作鋪墊．

問題2

教師：很好，我們還學(xué)習(xí)了二階矩陣與列向量的乘法（板書公式），有何幾何意義？

學(xué)生3：平面內(nèi)的一個列向量在二階矩陣的作用下變成了另一個列向量．

教師：那這兩個列向量可能有哪些關(guān)系？

學(xué)生眾：平行，垂直．

教師：當(dāng)a∥b時，a，b有何關(guān)系？

學(xué)生4：平面向量基本定理：a∥b（a≠0）的充要條件為存在唯一的實數(shù)λ，使得b=λa．

設(shè)計意圖：層層遞進(jìn)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生向數(shù)學(xué)模型上靠攏．

問題3

教師：圖1中起點在原點的向量a在伸壓變換矩陣A=10 0 2的作用后，是否存在與原向量共線的情形？

（教師在黑板上畫出圖形，并引導(dǎo)學(xué)生尋求發(fā)現(xiàn)問題的思路）

學(xué)生5：x軸上的a=10在變換后為其本身且λ=1．

（開始有學(xué)生交流議論）

教師：還有嗎？有的話λ的值為多少？

學(xué)生：終點落在x軸上還有無數(shù)個，都滿足條件，且λ=1．

教師：很好，λ=1很特殊，所對應(yīng)的無數(shù)個向量a也很特殊，我們把λ=1稱為矩陣A的一個特征值，a=10為矩陣A的屬于特征值λ=1的一個特征向量，當(dāng)λ=1時，當(dāng)然A還有其他無數(shù)個與a=10平行的特征向量．

設(shè)計意圖：從特殊向量入手向一般過渡，借助數(shù)形結(jié)合，灌輸給學(xué)生解題的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)他們解決問題的能力．

2． 抽象出概念，深挖其內(nèi)涵

教師板書課題，并引導(dǎo)學(xué)生在上圖中尋求其他特征值與特征向量，兩分鐘后再次提問．

問題4?搖

教師：還有嗎？

學(xué)生眾：y軸上的向量也滿足并且λ=2．

教師：很好，說明矩陣A還有一個特征值2，且它也對應(yīng)無數(shù)個特征向量，如 0 1，觀察圖形，除此之外還有嗎？

?搖（邊提問邊在上面圖形上任取一點P，促使學(xué)生找向量，前后的變化關(guān)系）

學(xué)生6：沒有了，只有2個特征值，每一個特征值分別對應(yīng)無數(shù)個特征向量．

學(xué)生7：0也行！0與任意一個非零向量共線，此時λ=0．

教師：如果是a=0，λ=1滿足嗎？

學(xué)生7：好像也行！

教師：對?。ˇ诉€可以取很多值，就是講λ就不唯一了．

學(xué)生7：那就只有兩個特征值1和2了．

教師：很好，你的結(jié)論很正確．能否總結(jié)特征值與特征向量的定義？

學(xué)生8：設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)λ，存在一個非零向量a，使得A=λa，那么λ為矩陣A的一個特征值，而a稱為矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量．

設(shè)計意圖：過程中體現(xiàn)類比思想，以培養(yǎng)學(xué)生探究問題的方法與能力．

教師：完全正確，利用變換的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合法可以去求矩陣A的特征值與特征向量，但當(dāng)矩陣不是基本初等變換矩陣時，我們可以采取待定系數(shù)法，例如教材例題1“求出矩陣A=1 00 －1的特征值與特征向量”．

（教師板書特征值與特征向量的定義，并與學(xué)生一起完成例題1）

解：可設(shè)a=xy，且x，y不同時為0．

由定義Aa=λa可得1 00 －1xy=λxy及（λ－1）x-0y=0，-0x+（1+λ）y＝0.

教師：這里怎樣解方程組呢？

學(xué)生9：因為Dx=0，Dy=0，且x，y不同時為0，因此D=0，即λ－1 -0-0 1+λ=0求出λ后，回代入方程組（λ－1）x-0y=0，-0x+（1+λ）y＝0，可求出a=xy．

教師：是的，λ－1 -0-0 1+λ稱為矩陣A的特征多項式，記為f（λ），方程組稱為矩陣A的特征方程． 能否總結(jié)求矩陣A=a bc d特征值與特征向量的一般步驟？

設(shè)計意圖：在讓學(xué)生掌握解題方法的同時，過程中通過剝繭抽絲，以幫助他們易于抽象出求矩陣特征值與特征向量的步驟，最后總結(jié)出一個由具體到一般的結(jié)論．

3. 數(shù)學(xué)理論總結(jié)

思考2分鐘后

學(xué)生10：（1）寫出A=a bc d的特征多項式f（λ）=λ－a －b－c λ－d，令f（λ）=0求出λ．

（2）把所求的特征值λ逐個代入特征方程（λ－a）x-by=0，-cx+（λ-d）y＝0，求特征值所對應(yīng)的無數(shù)個特征向量中的一個．

（3）寫出答案．

教師：你說得太好了！

4. 數(shù)學(xué)理論應(yīng)用

強(qiáng)調(diào)步驟，并請四位學(xué)生用剛總結(jié)的步驟再板演例題1的過程以及教材73頁第一題的三個小題，時間5分鐘后，師生共同查漏補(bǔ)缺．

5. 課后變式探究

教師：由于時間關(guān)系，請同學(xué)們課后探究兩個變式練習(xí)．

變式1：求矩陣M= － 的特征值與特征向量．

變式2：（2011徐州市三檢）已知矩陣M=1 22 k的一個特征值為3，求另一個特征值及其所對應(yīng)的特征向量．

設(shè)計意圖：通過課后探究學(xué)習(xí)，變式1讓學(xué)生總結(jié)出不是所有的矩陣都能求出特征值與特征向量，因為矩陣M中f（λ）=0無解，這一點也可以從幾何變換的角度去解釋；變式2是含參問題，再一次鞏固求特征值與特征向量的一般步驟．

6. 作業(yè)布置（略）