深挖習題 激活思維

摘 要：本文通過對教材中一道習題的探究應用，將其延伸到其他問題的解決中，不僅有利于加強知識之間的聯系，更有助于激活學生的思維，達到培養學生創新能力的目的．

關鍵詞：習題；應用

教材中的習題一般都是專家反復推敲并結合多年的實際經驗精選的，因而具有科學性、典型性、示范性和功能性．例如：北師大版高中數學必修5（2007年5月第3版，2009年7月第3次印刷）第二章《解三角形》，其中的第二節《三角形中的幾何計算》的習題2—2B組題第一題，題目如下．

如圖1，有三點A，B，C， 點C在點A與點B之間，點P是此直線外一點．設∠APC=α，∠BPC=β，

求證：=+．

圖1

先看這個問題的證明，如下：

因為S△PAB=S△PAC+S△PBC，

所以PA#8226;PBsin（α＋β）=PA#8226;PCsinα+PC#8226;PBsinβ，

兩邊同時乘以，于是得=+．

可以看出這道習題的證明是不難的． 但如果進一步認真思考、探索，就不難發現其中豐富的內涵及應用． 下面就舉兩個例子來說明這道習題的應用．

例1 如圖1，從P點引射線PA，PB，PC，其中∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=α+β<180°． 如果有=+，則A，B，C三點共線．

證明：因為=+，

兩邊同乘以PA#8226;PB#8226;PC，得S△PAB=S△PAC+S△PBC，即S△ABC=0，

所以A，B，C三點共線．

下面這個例子是高中數學競賽中常用到的平面幾何中的一個著名的定理——塞瓦定理．

例2 對于△ABC所在平面上任一點O，連結AO，BO，CO，分別和△ABC的邊或其延長線交于P，Q，R，則#8226;#8226;=1．

圖2

證明：當點O在三角形內部時，如圖2所示．

設∠BAP=α1，∠PAC=β1，∠QBC=α2，∠ABQ=β2，∠ACR=α3，∠BCR=β3，

則有=+，=+，

于是有+=+，

即sinα1=sinβ1，

所以得#8226;=#8226;． （1）

同理由=+和=+，得：

#8226;=#8226;． （2）

同理由=+和=+，得

#8226;=#8226;． （3）

由（1）（2）（3）式得：

#8226;#8226;2=#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;=．

再由正弦定理有=，

=，=，

從而==1，所以有#8226;#8226;=1．

當點O在三角形外部時，如圖3所示

圖3

連結PQ交OC的延長線與點D，則由上面的證明可知

#8226;#8226;=1． （4）

設點C到直線PQ的距離為h，∠QCO=α，∠PCO=β，∠ARC=θ，

則∠BRC=π－θ．

因為==，

所以有 =． （5）

又由正弦定理，有

=，=，

從而得sinθ=sinα=sinβ，

所以有=． （6）

由（5）和（6）式得#8226;=#8226;．

再由上式和（4）式，則

#8226;#8226;=#8226;=#8226;#8226;=#8226;#8226;=1．

一般來說，教材課后習題都是經過編寫者精心篩選，有目的設置的，既可以作為學生理解知識的基本訓練，又能作為深化知識認知的增長點，具有許多潛在的教育功能． 因此，教師只要充分挖掘教材功能，通過對教材中一道習題的探究應用，將其延伸到其他問題的解決中，不僅有利于加強知識之間的聯系，而且有助于激活學生的思維，達到培養學生創新能力的目的．