以一道高考試題為背景的高三復習課的教學設計

摘 要：高考試題不僅具有選拔功能，還具有很高的教學價值，很多高考試題要么源于教材，要么來自于競賽題，在平時的教學中，如何使用，是值得我們研究的問題． 本文以2010年高考四川卷第20題為例，設計一堂高三復習課，對直線與圓錐曲線位置關系問題進行解法的總結提煉，發現題目的原型，探求問題的本質，提升我們的能力．

關鍵詞：高三復習課；解析幾何；教學設計

幾乎所有的考生都害怕解析幾何，但解析幾何是每年必考的題，看來突破解析幾何這一瓶頸便成了一大重點． 仔細分析每年的高考題，我們會發現解析幾何題具有很強的規律性，在每一個題中總是若隱若現的出現那種“看似無形卻有形、猶抱琵琶半遮面”的情景，與其大量的去做題，把自己累得喘不過氣來，還不如對每一個題都認真在分析一番，發現規律，找到共性，這才是事半功倍的做法．

題目：已知定點A（－1，0），F（2，0），定直線l：x=，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍． 設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B，C兩點，直線AB，AC分別交l于點M，N．

（1）求E的方程；

（2）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F？并說明理由．

該題為2010年高考四川卷第20題，文理相同，第1問是以人教社A版選修2－1 P59例題5改編的，第2問是圓錐曲線的一個性質，帶有數學探究的意味，考查解析幾何的通性通法，考查直線、軌跡方程、雙曲線的定義以及直線與雙曲線的位置關系等基礎知識，考查平面解析幾何的思想方法和推理運算能力．

解法探究

第1問入手容易，學生很快給出了答案x2－=1（y≠0），但多數學生漏掉了y≠0，這是學生在求解軌跡問題時容易犯的錯誤，教學中應予以重視，加以強調．

對于第2問，學生感覺問題比較熟悉，是一個直線與雙曲線位置關系的綜合問題，求解的基本思路是：將直線方程代入雙曲線方程，圍繞所得的一元二次方程的根，運用“設而不求、整體代入”的思路來解決．

教師：對于待證結論“以線段MN為直徑的圓是否過點F”如何轉化？

學生：轉化為⊥，即#8226;=0．

順著這一頗為自然的思路走下來，學生卻感到運算有些吃力，在師生的共同努力下，完成了下面解法．

解法1：①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y=k（x－2）（k≠0），與雙曲線x2－=1聯立消去y，得

（3－k2）x2+4k2x－（4k2+3）=0．

由題意知3－k2≠0且Δ>0，

設B（x1，y1），C（x2，y2），

則x1+x2=，x1x2=，

y1y2=k2（x1－2）（x2－2）=k2［x1x2－2（x1+x2）+4］=k2++4=－．

因為x1，x2≠－1，

所以直線AB的方程為y=（x+1），M點的坐標為，，

=-，，同理可得，=-，．

因此#8226;=-2+=+=0．

②當直線BC與x軸垂直時，方程為x=2，則B（2，3），C（2，－3），

AB的方程為y=x+1，因此N點的坐標為，，

=－，，同理可得=－，，因此#8226;=0．

綜上#8226;=0，即⊥．

故以線段MN為直徑的圓經過點F．

教師：在研究直線與圓錐曲線位置關系的問題時，若用點斜式和斜截式方程，要考慮斜率是否存在．若不能判斷，則要討論；也可以改變直線方程的形式，避免討論．

學生：根據題目條件可設直線BC方程為x=ty+2．

解法2：因為直線BC與x軸不平行，故可設直線BC的方程為x=ty+2，

聯立方程x2－=1，x=ty+2， 消去x，整理得（3t2－1）y2+12ty+9=0．

設B（x1，y1），C（x2，y2），則

y1+y2=－，y1y2=，

x1+x2=－，x1x2=－．

由解法1，#8226;=+=+=0，

綜上，#8226;=0，即FM⊥FN．

故以線段MN為直徑的圓經過點F．

至此，問題雖得到解決，解法2較解法1有所改進，但本質沒變，學生仍感覺不滿意：運算較繁，都渴望尋找到更簡捷的解法．

教師：著名的數學教育家波利亞說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與鉆研，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們能提高自己對這個解答的理解水平．”

教師：對于問題，一定要對條件、結論進行分析、研究和轉化，從不同的角度和層面去認識它． 我們已經將結論“以線段MN為直徑的圓是否過點F”轉化為#8226;=0，那么結合題目條件和圖形特征（此時運用幾何畫板作出準確的圖形），能進行不同的轉化嗎？

學生：注意到A，F關于直線l對稱，結合雙曲線的對稱性，要證⊥，只需證AM⊥AN，即AB⊥AC．

解法3：由解法2得，y1+y2=－，y1y2=，

#8226;=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（ty1+3）#8226;（ty2+3）+y1y2=（t2+1）y1y2+3t（y1+y2）+9

=++9=0，

所以AB⊥AC，即AM⊥AN．

又A，F關于直線l對稱，所以∠MFN=90°．

故以線段MN為直徑的圓經過點F．

學生：既然只需證AB⊥AC，設BC的中點為Q，利用直角三角形的性質，只需證明BC=2AQ．

解法4：由解法3，并設BC的中點為Q（x0，y0），則

y0==－，

x0=ty0+2=－，

AQ2=（x0+1）2+y=，

BC2=（t2+1）［（y1+y2）2－4y1y2］=，

所以BC=2AQ，所以AB⊥AC，即AM⊥AN．

又A，F關于直線l對稱，所以∠MFN=90°．

故以線段MN為直徑的圓經過點F．

教師：解法4中出現了弦的中點，對于涉及弦的中點的問題，都可以用點差法來解決，此題能用嗎？學生積極動手，得到解法5．

解法5：設B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中點為Q（x0，y0），則

x－=1，x－=1，

兩式相減，得#8226;=3，從而k=kBC===（x0≠2）．

因此，y=3x－6x0，此式對x0=2也成立．

AQ2=（x0+1）2+y=（x0+1）2+3x－6x0=2（x0－1）2．

設B，C到直線l的距離為d1，d2，則易得2d1=2x1－1，2d2=2x2－1，

BC2=（2d1+2d2）2=（2x1－1+2x2－1）2=4（2x0－1）2，

所以BC=2AQ，所以AB⊥AC．

又A，F關于直線l對稱，所以∠MFN=90°．

故以線段MN為直徑的圓經過點F．

教師：大多數解析幾何問題最終都被轉化成了代數問題，因此運算量大． 解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，更是數與形的統一、代數與幾何的結合，因此，充分挖掘題目中所蘊涵的幾何特征，靈活運用曲線的定義、性質等知識，也會大大地簡化運算，優化解題過程． 那么，此題可以用幾何方法來證明嗎？另外此題中涉及雙曲線第二定義，第二定義在此題中作用何在，難道僅僅是為了給出雙曲線的方程嗎？請同學們想一想．

經過思考，一學生提出借助前面提到的A，F關于直線l對稱，有如下解法．

解法6：如圖1，過點B作準線l的垂線交FM的延長線于點D． 過C作準線l的垂線交FN的延長線于點E． 所以∠MFN=∠BDF，∠NFA=∠CEF．

圖1

因為A，F關于直線l對稱，

所以B，D關于直線l對稱，C，E關于直線l對稱．

由已知FB，FC為B，C到直線l距離的2倍．

所以FB=BD，FC=CE，所以∠BDF=∠BFM，∠CEF=∠CFN．

所以∠MFA=∠MFM，∠NFA=∠CFN．

因為∠MFA+∠MFM+∠NFA+∠CFN=180°，

所以∠MFA+∠NFA=90°，即∠MFN=90°，

所以以線段MN為直徑的圓經過點F．

學生1：結合圖形，如果能證明NF平分∠AFC，FM平分∠AFB，由∠AFC+∠AFB=180°可得∠MFN=90°，但我不知道如何證明．

學生2：要證NF平分∠AFC，根據角平分線定理，只需證=，為此過C作CC1⊥l，垂足為C1，利用雙曲線第二定義及平行線的性質可得到結論．

解法7：如圖2過B作BB1⊥l，垂足為B1，過C作CC1⊥l，垂足為C1，

則CC1∥x軸，所以=．

圖1

由雙曲線第二定義可知，

=，

所以=，所以FN平分∠AFC．

同理，FM平分∠AFB．

又∠AFC+∠AFB=180°，

所以∠MFN=90°，故以線段MN為直徑的圓必經過右焦點F．

反思、提煉

教師：在數學上，遇到一個真正觸及數學本質的題目時，要停下匆匆的腳步，認真感悟一下，欣賞一下，這樣在你的頭腦中會留下很多的沉淀． 當類似的情況在今后再發生的時候，你的沉淀迅速的激活，所以你的思路大開，便多了很多幫手． 接下來讓我們對上述解法進行總結，理清思路、提升認識．

解法1、2由以線段MN為直徑的圓必經過右焦點F，得到⊥，即#8226;=0出發，這是解析問題的常規做法，是我們必須要掌握的方法．

解法3、4、5的關鍵是能得到A，F關于直線l對稱，但有局限，是針對此題的一種特殊解法，但能起到簡化運算的作用．

解法6、7充分挖掘題目中所蘊涵的幾何特征，靈活運用曲線的定義、性質等知識，揭示了問題的幾何本質，證法簡潔漂亮，值得我們深思．

變式、拓展和推廣

教師：對一個數學問題的探究思考，最基本的切入點就是要對題目的條件和結論加以多角度的思考，對問題進行推廣、變式、拓展．為此，提出以下問題，供同學們課后研究．

問題1：能將此題一般化并推廣到圓、橢圓、拋物線中去嗎？給出解答．

問題2：根據此題條件，編擬新的題目并給出解答．

針對這兩個問題，請同學們分小組進行深入的討論、研究，并將研究結果形成報告．

筆者課后收集、整理學生上交的報告，得到了很多結論和編擬的題目，限于篇幅，不再一一列出．

課后反思

就目前的高三教學現狀而言，有不少教師大量選取歷年全國各地高考試題進行教學，但缺乏對題目的深入研究，僅僅是就題論題進行教學，不能把握問題的本質以及不同問題之間的聯系，重復地講解大量的題目，導致復習課的效率低下，不利于學生能力的提升． 難以達到高三復習課所要達成的“夯實基礎、提高能力”的目標，高三復習課要充分用好各地高考試題，對試題應從以下幾方面進行研究：（1）試題的來源；（2）有哪些解法；（3）試題變式、推廣和拓展．