一堂師生合作的探究課

摘 要：合作學(xué)習(xí)是一種新型的學(xué)習(xí)方式，不僅體現(xiàn)在生生之間，也存在于師生之間，甚至被認(rèn)為是“當(dāng)代最大的教育改革之一”． 本課例以教學(xué)過程中遇到的一個(gè)實(shí)際問題為藍(lán)本，通過師生之間活動(dòng)層層深入，探究出一類含絕對(duì)值的函數(shù)最小值問題的解法及其本質(zhì)，這是一種“自主—合作—探究”的學(xué)習(xí)模式．

關(guān)鍵詞：探究；合作；發(fā)現(xiàn)

著名教育家蘇霍姆林斯基說：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是說希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者．改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的“會(huì)學(xué)”，而不是只關(guān)注學(xué)生的“學(xué)會(huì)”，讓學(xué)生最大限度地參與教學(xué)過程，師生合作學(xué)習(xí)探究就是一種途徑．

作為一名普通教師，雖不能改變高考制度和目前的教育現(xiàn)狀，但我們可以思考在尊重學(xué)生的主體地位下，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)做些什么，即能否把學(xué)生和自己都同時(shí)作為發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者來看待呢？

下面是筆者與高三某班學(xué)生共同合作完成的一節(jié)課，整理出來，請(qǐng)同行指教．

提出問題

這是最近高三一次模擬練習(xí)中的一道試題．

已知函數(shù)f（x）=x－1+2x－1+3x－1+…+100x－1，則當(dāng)x=______時(shí)，f（x）取得最小值．

答案的正確率出奇的低．在評(píng)講這份練習(xí)時(shí)，筆者故意把該題留了下來，和學(xué)生講明意圖后，請(qǐng)學(xué)生以小組為單位，積極收集與本題相關(guān)的題目，并探究解決問題的一些方法，準(zhǔn)備第二天上一節(jié)師生合作的探究課．

下晚自習(xí)的時(shí)候，課代表交過來學(xué)生們搜集的一些題目，筆者進(jìn)行了整理，并初步設(shè)計(jì)了明天的教學(xué)思路．

點(diǎn)評(píng)：在教學(xué)過程中，很多有價(jià)值的問題，就像一顆顆珍珠散落在平時(shí)的教學(xué)過程中，這需要教師和學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)，及時(shí)串聯(lián)． 這樣處理，也是尋找一切機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦處理問題的能力．

合作探究

1. 先從幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題談起

教師從學(xué)生遞交上來的題目中，選擇兩個(gè)具有代表性的、簡(jiǎn)單點(diǎn)的問題進(jìn)行展示和研究．

（投影展示A組和C組提供的案例1、2）

案例1 已知函數(shù)f（x）=2x+1+2x－3.

（1）求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

案例2 設(shè)函數(shù)f（x）=x－1+x+1，若不等式a+b－2a－b≤a#8226;f（x）對(duì)任意a，b∈R且a≠0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

教師：這是我們?cè)诟咧须A段遇到比較多的兩個(gè)題目，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，你準(zhǔn)備如何來求解？請(qǐng)?zhí)峁┻@兩題的A組和C組的兩個(gè)同學(xué)解決一下．

學(xué)生1：案例1第1問，可以在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x）=2x+1+2x－3的圖象，利用圖象來解決，或是利用分類討論的方法，去絕對(duì)值符號(hào)后，分別解不等式后取并集；第2問，繼續(xù)可以利用圖象求出其最小值，最小值大于a即可．

（投影展示自己的研究成果）

解：（1）由圖象可以得出不等式的解集為｛x－1≤x≤2｝． 或原不等式等價(jià)于x>，（2x+1）+（2x－3）≤6

或－≤x≤，（2x+1）－（2x－3）≤6

或x<－，－（2x+1）－（2x－3）≤6， 解得

（2）由（1）知，f（x）min=4，故a<4．

學(xué)生2：案例2中，由于a≠0，所以不等式a+b－2a－b≤a#8226;f（x）可以改寫成f（x）≥，要求x的取值范圍，就必須求出f（x）的最小值，而這與的取值有關(guān)．我還沒考慮出來．

點(diǎn)評(píng)：此種情形在教學(xué)中經(jīng)常發(fā)生，有許多教師也許是為了趕進(jìn)度，往往會(huì)重新叫一個(gè)學(xué)生回答，這樣做，容易挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，是不可取的． 正確的做法是鼓勵(lì)學(xué)生，幫助學(xué)生尋找到解題思路，讓學(xué)生在探索中尋求解題方向．進(jìn)度完不成沒關(guān)系，但學(xué)生的熱情可不能被湮滅．

教師：我們來考查式子a+b－2a－b的最大值． 由于有兩個(gè)變量，我們先選取其中的一個(gè)量作為變量，請(qǐng)思考一下，選擇哪個(gè)比較好？

學(xué)生3：選擇b作為變量，因?yàn)槿裟芮蟪銎渥畲笾担敲催@個(gè)值一定是與a有關(guān)的，又a≠0，就能求出的最大值．

教師：有一定的道理． 那么怎么求y=a+x－2a－x的最值呢？你也可以用圖象法來試一試．

學(xué)生4：需要對(duì)a進(jìn)行討論． 當(dāng)a>0時(shí)，y=a+x－2a－x=3a，x≥2a，2x－a，－a

綜上，y=a+x－2a－x的最大值是3a，所以f（x）≥3，即x+1+x－1≥3，解得x≤－，或x≥，所以x的取值范圍為xx≤－，或x≥．

教師：這位同學(xué)處理得很好． 不過，從上面的解題過程來看，還是有點(diǎn)煩瑣． 能否有別的方法簡(jiǎn)化一下求形如f（x）=2x+1+2x－3以及y=a+x－2a－x的最值呢？

圖1

（背景：江蘇高考的附加題選做部分只要求從選修4－1：幾何證明選講，選修4－2：矩陣與變換，選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程，選修4－5：不等式選講中選擇兩個(gè)模塊，我校選擇的是4－2和4－4）

我們先看一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：求函數(shù)y=x+1+x－1的最值．

x－1可以看做是數(shù)軸上的數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C到數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離，x+1=x－（－1）可以看做是數(shù)軸上的數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C到數(shù)－1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A之間的距離，如圖1，顯然，CA+CB≥AB，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段AB之間時(shí)，等號(hào)成立．

仿此，你怎么處理y=a+x－2a－x的最值？你能很快得到答案嗎？

很快有學(xué)生給出答案y=a+x－2a－x的最大值是3a．

教師：能否改進(jìn)上面兩個(gè)問題的解法？

學(xué)生5：對(duì)于（1），因?yàn)?x+1+2x－3≥（2x+1）－（2x－3）=4，所以a<4；對(duì)于（2），由f（x）≥，對(duì)任意的a，b∈R，且a≠0恒成立，而≤=3，f（x）≥3，即x－1+x+1≥3，所以x的取值范圍為xx≤－或x≥．

2． 繼續(xù)深入

教師：怎么求函數(shù)x+1+x－1+x－2的最值呢？

學(xué)生6：還是用函數(shù)圖象研究，因?yàn)楸容^直觀． （很多學(xué)生善意一笑）

教師：可以的． 但如果隨著相加項(xiàng)的增多，作圖是不是有點(diǎn)困難呢？開動(dòng)腦筋思考哦！

（很快，一個(gè)意想不到的環(huán)節(jié)出現(xiàn)了，一個(gè)平時(shí)不太引人注意的學(xué)生說出了下面的想法）

學(xué)生7：我用最小二乘法的思想來處理，不知對(duì)不對(duì)？在必修3中，衡量直線=bx+a與散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)的接近程度時(shí)，書上使用了離差的平方和，其中在確定a，b的值時(shí)就使用了最小二乘法，因此，求函數(shù)f（x）=x+1+x－1+x－2時(shí)，我先求函數(shù)g（x）=（x+1）2+（x－1）2+（x－2）2的最值，若f（x）最小，那么g（x）也最小，反之亦然．

顯然，g（x）=（x+1）2+（x－1）2+（x－2）2=3x2－4x+6，當(dāng)x=時(shí)，g（x）最小，也即f（x）min=，但這與圖象法處理的結(jié)果是不一致的，圖象法的結(jié)果是3． 但對(duì)于函數(shù)y=x+1+x－1，兩種方法得到的結(jié)果卻是一致的．

點(diǎn)評(píng)：課堂上學(xué)生的思維發(fā)生偏差是正常的，對(duì)于這種情況，是粗暴地扼殺，還是及時(shí)調(diào)整授課內(nèi)容呢？即使內(nèi)容沒完成，但只要問題具有研究的價(jià)值，并且和學(xué)生一起進(jìn)行探究，那么何樂而不為呢！

教師：老師也感到有點(diǎn)驚訝，至于情況是不是如你所說，我們一起來做個(gè)研究吧．我們還是先“以形助數(shù)”吧（借助幾何畫板作圖，如圖2、圖3，虛線對(duì)應(yīng)函數(shù)g（x））

圖2

圖3

結(jié)果出來后，學(xué)生們都很吃驚，但很快就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題．

學(xué)生8：把絕對(duì)值改成平方表示本身就不等價(jià)．

學(xué)生7：我能理解表示方法不等價(jià)，但為什么有的結(jié)果是一樣的，而有的卻不一樣呢？

學(xué)生10：函數(shù)y=x+1+x－1的圖象具有對(duì)稱性，當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，函數(shù)值總是為最小值y=2，而g（x）=（x+1）2+（x－1）2=2x2+2的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好落在［－1，1］上，兩種方法求出的結(jié)果當(dāng)然一樣；而函數(shù)f（x）=x+1+x－1+x－2的圖象卻不對(duì)稱，所以結(jié)果不同．

……

教師：同學(xué)們的想法都有一定的道理． 其實(shí)這兩種方法自變量的取值是關(guān)鍵，換言之，在什么情況下能用平方法中所求得的自變量來替換絕對(duì)值函數(shù)中的x？

（教師及時(shí)利用幾何畫板又作了幾個(gè)函數(shù)的圖象（包括圖象對(duì)稱的和不對(duì)稱的），以期讓學(xué)生們加深直觀印象）

教師：一般地，對(duì)于函數(shù)f（x）=x－a+x－a+…+x－a的最小值，那么什么時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為平方和來處理呢？

師生一起結(jié)合圖象特點(diǎn)，概括歸納出下面的結(jié)論（經(jīng)過整理）：

①只要各個(gè)點(diǎn)（k，ak）（k=1，2，…，n）關(guān)于直線x=對(duì)稱的時(shí)候，f（x）的最小值就是f．

②更一般地，對(duì)于f（x）=x－a+x－a+…+x－a（a

（1）如果當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a1，a1，…，an的算術(shù)平均數(shù)為=滿足a<

（2）如果當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，除非a1，a2，…，an的算術(shù)平均數(shù)恰好為中間一個(gè)，即=a+1時(shí)，否則這種平方法一般是不可行的．

點(diǎn)評(píng)：上面的結(jié)論對(duì)于學(xué)生來說，不一定歸納得那么到位，此時(shí)就要注意體現(xiàn)教師的主導(dǎo)地位了．哪怕師生都沒有歸納得那么具體到位，也不影響研究的效果，這總比直接給出結(jié)論要好得多，而這恰恰是許多教師所忌諱的．

教師：拋開平方法，同學(xué)們有沒有注意到前面的圖2和圖3，如果函數(shù)f（x）在某兩個(gè)零點(diǎn)之間函數(shù)圖象是一條平行于x軸的線段，那么其最小值就是該線段上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)；如果沒有，那么函數(shù)f（x）的圖象是由一系列的折線組成，而且有一個(gè)“尖角”，這個(gè)尖角實(shí)際上就是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)． 那么這類絕對(duì)值型函數(shù)的最小值有沒有一般性的求法呢？當(dāng)然圖象是一種方法，但有局限性．

請(qǐng)同學(xué)們注意線段或“尖角”兩端的折線段是怎樣的位置趨勢(shì)．

點(diǎn)評(píng)：牢牢把握學(xué)生的思維方向，正是教師主導(dǎo)性的體現(xiàn)．

學(xué)生11：我覺得線段或“尖角”兩端的折線段的斜率一邊大于零，一邊小于零．

學(xué)生12：我覺得取得最小值時(shí)，實(shí)際上就是尋找斜率等于零時(shí)的線段或者“尖角”．

教師：這兩位同學(xué)觀察得比較仔細(xì)．那么實(shí)際情形是否如他們所講呢？我們請(qǐng)一個(gè)同學(xué)再隨便舉一個(gè)例子．

學(xué)生13：求函數(shù)f（x）=x+4+x+1+x+x－3和函數(shù)h（x）=x+4+x+1+x+x－3+x－4的最小值．

（教師根據(jù)學(xué)生提供的函數(shù)解析式，利用幾何畫板作出函數(shù)的圖象，如圖4）

圖4

教師：圖象可以佐證兩位同學(xué)的看法是對(duì)的，那么我們能否進(jìn)行證明呢？

假設(shè)f（x）=x－a+x－a+…+x－a（a

顯然，當(dāng)k>時(shí)，函數(shù)在［ak，ak+1］上單調(diào)遞增；當(dāng)k<時(shí)，函數(shù)在［ak，ak+1］上單調(diào)遞減． 特別地，若k=成立，則函數(shù)在［ak，ak+1］上的圖象是一條線段．

這也就證明了我們猜想的正確性：若能找到斜率正負(fù)的分界點(diǎn)（或某區(qū)間），那么函數(shù)的最小值就唾手可得．

前面我們研究了絕對(duì)值符號(hào)中x前面的系數(shù)為1時(shí)的情形，那么系數(shù)如果不都為1，是否可以進(jìn)行思想方法的類比呢？

設(shè)函數(shù)f（x）=a1x－1+a2x－1+a3x－1+…+anx－1（0

學(xué)生13：（板演完成）函數(shù)f（x）的零點(diǎn)分別為x=，，…，，，因此，當(dāng)x∈，（1≤k≤n－1）時(shí)，f（x）=（1－a1x）+（1－a2x）+…+（1－akx）+（ak+1x－1）+（ak+2x－1）+…+（anx－1）=［（ak+1+ak+2+…+an）－（a1+a2+…+ak）］x+2k－n．

……

教師：剛才這位同學(xué)沒有做完，是因?yàn)閿?shù)據(jù)a1，a2，…，an目前沒有明確，但基本分析的思路卻已經(jīng)有了，實(shí)際上下面的任務(wù)就是找出“尖角”，尋找k的值，使其成為斜率正負(fù)的分界點(diǎn)． 對(duì)應(yīng)本節(jié)課開始的問題，相信在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們能很快得到答案．

學(xué)生14：當(dāng)x∈，（1≤k≤99）時(shí)，f（x）=（1－x）+（1－2x）+…+（1－kx）+［（k+1）x－1］+［（k+2）x－1］+…+（100x－1）=（－k2－k+5050）x+2k－100．

當(dāng)k≥71時(shí)，－k2－k+5050<0；當(dāng)k≤70時(shí)，－k2－k+5050>0，“x=”就是“尖角”，

所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）=x－1+2x－1+3x－1+…+100x－1取得最小值．

教師：如果說前面我們是借助圖象，進(jìn)而從理論上來證明的話，那么系數(shù)為1和系數(shù)不為1的兩種絕對(duì)值型的函數(shù)求最小值的問題，能否從方法上提煉出共同點(diǎn)呢？

（師生共同總結(jié)）不管絕對(duì)值符號(hào)里的系數(shù)是否為1，從前面的函數(shù)圖象特征可以看出，我們只需要考查任意相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的函數(shù)解析式，如果其單調(diào)遞減，那么就在該區(qū)間的右端點(diǎn)取得最小值；如果其單調(diào)遞增，那么就在該區(qū)間的左端點(diǎn)取得最小值． 這樣，對(duì)于整個(gè)函數(shù)來說，若能找到這樣的一個(gè)（或兩個(gè)）零點(diǎn)，該零點(diǎn)與其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性正好相反，那么該零點(diǎn)（或一線段上的點(diǎn)）就是函數(shù)的最小值點(diǎn)．

教學(xué)后記

作為一種師生合作探究模式的嘗試，本節(jié)課仍然有不盡如人意的地方，例如，學(xué)生的思維深度、廣度不足；筆者對(duì)有些情形估計(jì)不足，如關(guān)于函數(shù)f（x）=x－a+x－a+…+x－a的最小值的有關(guān)結(jié)論的概括等．但從效果來看，學(xué)生參與的熱情和程度都比較高，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成，更重要的是教給了學(xué)生一種學(xué)習(xí)方式，因此，只要條件許可，教師就要進(jìn)一步推進(jìn)這種課堂教學(xué)模式．