生活數學化——高中生需要,但不要停留

高中生需要生活數學化

數學生活化，強調從學生已有的生活經驗和生活背景出發，將抽象的數學概念具體生活化，側重于直覺感知，適應于低年齡學生． 例如，當學生對充分和必要條件的理解感到困惑時，舉出“天上下雨地下濕”這個道理自然就“頓悟”了，也就是說若“天上下雨”條件成立，則“地下濕”結論一定成立，這就是充分條件，反之，若結論“地下濕”成立，則條件“天上下雨”不一定成立，這就是不必要條件．

生活數學化，強調學生用數學的眼光看待生活問題，即生活問題抽象化、數學化，側重于數學應用，突出數學建模．高中教學不忽視數學生活化，但是更強調生活數學化，這是由高中生的認知結構決定的，也是增強學生數學應用意識需要的． 《普通高中數學課程標準》指出，“我國大學、中學數學建模的實踐表明，開展數學應用的教學活動符合社會需要，有利于激發學生學習數學的興趣，有利于增強學生的應用意識，有利于擴展學生的視野．” 高考也明確將數學應用意識作為一種能力考查． 所以，高中生需要生活數學化，感受數學的應用價值，增強數學的應用意識． 下面，筆者以諾貝爾經濟學獎獲得者納什因提出的“囚徒困境”趣味數學問題為例，談高中階段實施生活數學化教學的積極意義．

有甲、乙兩名同案犯，被警方抓獲并隔離審訊． 如果兩人拒不交代，將因證據不足而被無罪釋放；如果一方招供一方不招，招供的一方將因有立功表現而只被判3年刑期，不招供的一方則將被判10年刑期；如果雙方都招供將各被判5年刑期． 請問他們將作何種選擇？

兩名同案犯在無法串供時，他們都會選擇有利于自己的行為．在不知對方選擇態度的前提下，某一方只能認為對方招供與否是等可能的，于是我們可以利用數學期望對其中的利弊加以分析．

若甲選擇不招供，他的刑期數學期望為Eξ1=×0+×10=5（年）；

若甲選擇招供，他的刑期數學期望為Eξ1=×3+×5=4（年）．

顯然Eξ1>Eξ2，于是甲選擇招供．同理，乙自然也選擇招供，于是各被判5年刑期！

誠然，我們固然不能奢望兩名同案犯能有高深的數學理解，他們或許只是懼于法律的威嚴而招供，也或許只是心存僥幸不招供． 但是，數學教學強調學生透過現象看本質，用數學的眼光看待生活問題，用數學服務社會，用數學認識世界． 通過對“囚徒困境”生活問題數學化分析，學生不僅深刻理解了數學期望，而且增強了數學應用意識． 積極開展生活數學化教學活動符合社會需要，有利于激發學生學習數學的興趣，有利于增強學生的應用意識，有利于擴展學生的數學視野，有利于培養學生的數學思維品質，有利于幫助學生適應高考的要求．

不難發現，如果一方招供一方不招，不招供的一方由“判10年刑期”改為“判6年刑期”，則兩名同案犯的選擇將會發生戲劇性的變化，他們將逃離法律的制裁． 于是，教學中可以提出問題：如果一方招供一方不招，不招供的一方判多少年刑期才合理呢？甚至進一步追問：類似“囚徒困境”問題俯拾皆是，能否舉例說明？當我們及時將這些數學思考呈現在學生面前時，自然就會泛起學生心中思索的漣漪，我們的教學也就成功了． 所以，筆者認為高中生需要生活數學化，但不要停留．

生活數學化——探究不要停留

只關注學生的生活經驗而不深入研究學生的數學思維和抽象概括能力是對生活數學化的一種誤解． 數學認識的規律是從具體到抽象再到更高一級的具體的螺旋上升的過程，如果學生沒有深入的數學化探究，停留在簡單的數學應用，缺少更高一級的抽象化、數學化的提煉，忽視了數學學科本身所具有的抽象性和嚴謹性，是不利于學生的智力成長的． 因此，高中階段實施生活數學化教學，要強調學生在更高層次上數學式地理解生活問題，不斷地進行數學化探究，突出數學建模．

圖1

筆者以實例《探究線性二階遞推式的通項公式》來解釋這一過程． 要指出的是，本文不闡述數學建模的每個環節，側重強調多解多思，突出層層遞進的數學化探索．

走樓梯是人人熟知的生活事實，設計者充分考慮人們的行走習慣，每一步適合跨一級或兩級臺階． 現有10級樓梯，若規定每一步只能跨上一級或兩級，則走完這10級樓梯共有多少種不同的走法？

教師：請同學們嘗試走樓梯，自由組合開展討論．

選擇兩組有代表性的解答，通過投影向全班展示．

A組同學：建立組合數學模型，走完這10級樓梯共有六類走法：

第一類：跨一級有10步，跨二級有0步，共1種走法；

第二類：跨一級有8步，跨二級有1步，共C種走法；

第三類：跨一級有6步，跨二級有2步，共C種走法；

第四類：跨一級有4步，跨二級有3步，共C種走法；

第五類：跨一級有2步，跨二級有4步，共C種走法；

第六類：跨一級有0步，跨二級有5步，共1種走法；

所以，根據分類加法計數原理，共有1+C+C+C+C+1=89種走法．

B組：建立數列數學模型，用數列｛an｝表示走完第n級樓梯不同走法的種數，如a1=1表示走完第1級樓梯有1種走法．

第一步：通過走樓梯數數，可以得到a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8；

第二步：探究數列｛ａn｝的遞推關系． 通過分析a1，a2，a3，a4，a5，得到啟發：到達第n級樓梯可分兩類，第一類是從第n-2級樓梯跨二級到達，第二類是從第n-1級樓梯跨一級到達，故數列｛ａn｝的遞推關系為an=an-11+an-2，n≥3a1=1，a2=2. ；

第三步：由遞推公式順推得a6=13，a7=21，a8=34，a9=55，a10=89．

教師：數學建模架起了數學與實際生活的橋梁． “橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”． 由于我們對實際生活有不同的數學理解，數學建模自然也就百花齊放，但其結果必殊途同歸． 詩人劉禹錫筆下曾有言“千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金．” 兩種數學模型，誰優誰劣？此言尚早． 現把問題一般化：現有n（n≥3）級樓梯，若規定每一步只能跨上一級或兩級，則走完這n級樓梯共有多少種不同的走法?

部分學生探究如下：

（1）若n是正偶數，則有C+C+C+C+…+C+C種走法；

（2）若n是正奇數，則有C+C+C+C+…+C種走法．

怎樣化簡呢？思維之翼戛然而止，化簡之路撲朔迷離．

教師：我們不妨攜手聚焦數列數學模型進行探究．

部分學生：因為當n≥3時，二階線性遞歸公式an=an-1+an-2的特征方程是x2=x+1，所以x=，故設an=An+Bn，其中A，B是待定的系數．

因為a1=1，a2=2，

即A+B=1，2A+2B=2， A=，B=，

所以an=n+1－#8226;n+1．

教師：很好，這就是我們常說的特征根法． 形如“an=pan-1+qan-2”二階線性遞推式，其特征方程是x2=px+q．

（1）若特征方程有相異兩根x1，x2，則an=Ax+Bx（其中A，B是待定系數）；

（2）若特征方程有兩重根x1，x2，則an=（A+Bn）x（其中A，B是待定的系數）．

教師：我們知道，形如“an=pan-1+f（n）”遞推式往往通過構造等比數列求通項公式． 可以類比，形如“an=pan-1+qan-2”二階線性遞推式，可以通過構造等比數列“降階”，轉化為形如“an=pan-1+f（n）”的遞推式．

因為當n≥3時，an=an-1+an-2，設an+xan-1=（1+x）（an-1+xan-2），

所以x2+x－1=0，即x=，

所以an－an-1=（an-1－an-2）（n≥3）?搖 ①

或an－an-1=（an-1－an-2）（n≥3） ②

所以由①得an－an-1=n-2a2-a1，

即an－an-1=#8226;n-2（n≥3）?搖?搖?搖?搖③

同理，由②得an－an-1=n-2（n≥3） ④

由③④可得，當n≥3時，an=#8226;n+1－n+1．

教師：不經一番寒徹骨，怎得梅花撲鼻香． 經過艱難跋涉，終于到達終點，成功的感覺讓人回味無盡． 通過對比，不難發現，建立數列數學模型的方法很好，值得借鑒．

學生總結：……

教師：數學源于生活，高于生活，應用于生活． 沒有諸如此類的數學提煉與數學思考，“走樓梯”根本不是數學，也與數學無關． “山水含情花帶笑，萬物細察蘊情思”． 很多尋常的事物在詩人眼中都別有情趣，詩意盎然． 同樣，在數學中，很多看似簡單的問題，只要我們做一個敏銳的觀察者，就會發現散落于其中的晶瑩的數學珍珠． 生活中還有許多這樣的例子，例如擲硬幣跳棋的游戲：棋盤上有第0，1，2，…，100方格站，一枚棋子開始在第0方格站，由棋手每擲一次硬幣，若硬幣出現正面，則棋子向前跳動一站，出現反面則向前跳動二站，若棋子跳到第99站，則獲勝；若棋子跳到第100站，則失敗． 我們可以探究該游戲是否公平？

歷練深入的數學化探究，有利于高中生對客觀事物由感性認識上升為理性認識，從而形成主體認識；有利于高中生在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展；有利于高中生發展技能、技巧、有益的思考方式和科學的思維習慣，最終形成一種積極、主動、探究的高效學習．

生活數學化——思考不要停留

數學化思考，是指在具體的情景中抽象出事物的本質，概括出事物的共同特征和規律，即抽象概念、建立數學模型． 高中生生活數學化，強調數學化探究不要停留，數學化思考也亦如此．數學化思考，一方面可以讓學生去感悟數學河流的源頭和波濤，從而能夠靈活應用數學知識解決不斷變化的實際生活，另一方面可以培養學生思維的靈活性、敏捷性、廣闊性和深刻性． 毋庸置疑，數學化思考是培養數學化思維的必由之路，也是數學教育的精神所在．

有學生建立計數數學模型來思考“走樓梯”問題，設走完這10級樓梯中，有x步跨二級，有y步跨一級，則2x+y=10，即y=－2x+10（x∈N，y∈N）． 如圖2所示，問題轉化為從原點出發，沿著小正方形的邊線，遵循向右或向上走的原則，分別到達點A～F的走法種數有多少．

也有學生建立函數數學模型來思考“走樓梯”問題，設走完x級樓梯不同的走法種數為y=f（x），通過實踐，可得如下表格．

表1

根據表中的數據作出散點圖，并建立函數模型y=a#8226;bx+c． 雖然這條路再走下去前途迷茫，但這是學生數學化思考的成果． 這些散發著智慧光芒的數學化思考是學生寶貴的財富，是智力的生長點，教師要珍惜和愛護它．

數學化是弗蘭登塔爾數學教育思想的核心． 數學化探究，可以理解為縱向數學化，“在符號世界里，符號的天生、重塑和被使用”． 數學化思考，可以理解為橫向數學化，“把生活世界引向符號世界”． 高中生生活數學化，倡導數學化探究與數學化思考結伴而行，均衡發展． 讓學生學會數學化思考和探究，就是讓學生自己構建數學知識，體驗思維過程，教師的任務就是提供有意義的實際生活，在師生互動中開拓“思維場”，這或許正是高中數學教育內涵的拓展和優化高中教學新的生長點吧！