新課程中的算法及其教育價值

摘 要：算法走進新一輪數學課程，反映了人們對數學的新審視．算法課程有著豐富的數學思想教育價值，為此應針對客觀存在的學習現狀及需求，正確地定位算法教學，聯系實際突破學習難點，優化或改造算法，以算法思想看待和解決問題，發展數學思維能力．

關鍵詞：算法；教育價值；新視角；若干思考

算法是計算機科學的理論核心和重要基礎，是人腦轉化為“電腦”的具體體現． 隨著算法在科學技術、社會發展中的作用日趨加重，其基本知識、思想和方法日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成為現代人必須具備的一種素質．學習算法基礎知識，體驗其思想教育價值是算法教學的根本任務．

■算法課程設置的背景

算法就是將人類的思維能力形式化為計算機可以執行的步驟． 算法的設置有其重要的歷史、文化和應用背景．

1. 算法的歷史背景

古代的中國已出現了一些經典算法，如賈憲的《黃帝九章算法細草》、楊輝的《詳解九章算法》及《楊輝算法》、割圓術等，“算術”作為數學的稱呼一直沿用到上個世紀末． 在國外，公元前2000年，美索不達米亞人已有了乘法表，其中包含六十進制的算法，古埃及已有將乘法簡化為加法的算法．近代數學發展史上，求方程近似解的牛頓切線法、求定積分近似值的梯形法等，都是學生將進一步學習的典型算法． 由此可見，算法有著悠久的歷史，只不過在計算機上的實現是當代的事．

2. 算法的文化背景

我國傳統數學是以構造性與機械化為其特色的算法體系，而西方傳統數學則以演繹推理為主要體系，其代表作品是歐幾里得的《幾何原本》． A·哈蒙德說：“數學是看不見的文化．” 在中學數學中設置算法課程，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻，對于繼承和發展傳統數學，體會算法的科學價值、應用價值、人文價值，弘揚傳統文化，培養學生人文素養，都有著十分重要的意義．

3. 算法的應用背景

從小學的四則混合運算、初中的方程組解法到高中求函數零點的二分法等，都是算法的經典． 還有質數的判定、數列的求和、線性規劃、立體幾何性質定理的證明等，都體現算法廣泛的應用性和包容性．

■算法課程的思想教育價值

算法是對一類問題的機械的、統一的求解方法，是對解題方案的準確而完整的描述，具有程序性與簡約性的特點． 算法使數學在高度抽象和嚴格的邏輯演繹里呈現出現代的氣息，蘊涵著豐富的數學思想，可從簡單、典型、學生熟悉的算法模型中挖掘、提煉．

1. 程序化思想

算法的實質是將人的思維過程處理成計算機能夠一步一步操作的步驟，進而轉化為一步一步執行的程序，結構分明，明確簡練． 在解決數學的每一個問題中，如求解一個方程、計算一個函數值、證明一個結果等，都需要一個清晰的思路，采用一系列的步驟去完成，此即程序化的思想．

2. 選擇的思想

算法中的條件結構和IF…ELSE…THEN語句，使得計算機因為有了選擇而能進行邏輯判斷，因而具備“思維”能力，這對于學生了解計算機的人工智能有很好的作用．

3. 循環的思想

數學中有大量的問題重復煩瑣，而計算機擅長重復與復雜運算，這種重復在程序中就是循環． 如數學家花費多日進行的概率拋擲硬幣的試驗，計算機在幾秒鐘內即可完成，質數判定、輾轉相除法、數列求和、二分法、秦九韶算法等，都體現了循環的思想． 循環的過程依賴于循環變量取值的變化而一步步實現，這種依賴關系呈現了函數的本質．

4. 遞推的思想

在設計1！+2！+3！+…+100！的算法中，既要設置一個變量S記錄和，還要設置一個變量n記錄項數．從第二項起，每一項都由前一項乘以n得到，這就是遞推．在整個程序中要實現遞推，就要用到n←n+1，S←S+T，T←T×n等語句，可從數列迭代的角度讓學生理解，明確替換方式的實際意義，體驗遞推的思想．

5. 通法的思想

由定義即知算法的基本思想就是解決問題的一般方法，雖然顯得有些呆板，但卻滲透著通性通法． 設計一個算法的過程是一個思維的整理過程，是一個精確化、條理化的過程，這種具有普適價值的可行性方法，就是一種構造性的論證，豐富了學生解決問題的經驗．

■算法課程實施中的新視角

算法是一種程序，在關注算法應用的過程中，體驗算法“物化知識、思維與方法”，享受算法的直觀、簡約、形象與有效．

1. 重視算理，提倡算法多樣化

算法中，程序化步驟呈現的“算則”固然重要，但步驟依據的“算理”有著更基本的價值． 算理是算則的基礎，算則是算理的表現． “講算法，重算理”意味著算法教學重在強調體會算法思想、提高邏輯思維能力． 通過案例的分析、模仿、探索、設計、操作，把算法思想滲透和貫穿于高中數學課程之中，鼓勵學生主動設計、使用和討論所開發的算法，體驗解決問題策略的多樣性和解決問題的多樣化，論證哪種方式最適合解決問題，體驗算法的程序性與簡約性、直觀性與有效性，充分享有“再創造”的自由．

2. 滲透算法的文化價值

在數學發展過程中，一種重要算法的形成往往標志著數學的重要進步． 在數學算法教學過程中，借助數學史，運用算法自然語言或流程圖描述古代的九章算法、張丘建算經、歐幾里得算法及當今實際生活中的問題解決等，充分展現算法思想的歷程，讓學生真正體會算法的教育價值，感受數學文化的無窮魅力．

3. 關注現實情境和實際應用

關注現實背景，強調應用，淡化計算，其意圖是使學生體會算法在解決數學問題和實際問題中的應用，重視其應用價值及包容性． 因此，算法必須從具體的學生熟悉的實例出發，在數學問題的情景設計中，在處理具體問題過程中，融入流程圖、程序語言，使之成為系統有效的算法課程，使學生理解算法的基本思想、基本結構和基本語句．

4. 加強與信息技術的整合

新課標提倡“信息技術與數學課程的整合”，借此來呈現教學中難以呈現的課程內容，有利于對數學本質的理解． 適時安排學生上機，一般在以下三個內容之機，一是賦值語句、輸入輸出語句和條件語句，二是循環語句，三是算法全章學完．把自己設計的算法變為計算機的操作語句，這樣的教學使得學生既有理性上的認知，也有感性上的認識，可激發學生興趣，更好地把握程序的語句，更能直觀感受到算法的奇妙．

■實施算法課程的若干思考

基于算法產生于具體問題及算法的教學目標，準確地定位算法教學，有效地突破難點，優化或改造算法的意義，對于培養數學思維能力十分有益．

1. 客觀存在的學習現狀及需求

在實際教學中，由于算法內容的獨特性，出現了一些學習上的困難，比如，①難以將實際問題模型化；②流程圖不能與語句很好的轉化，難以運用“直到型”或“當型”循環；③循環變量理解不清，不能恰當地使用循環變量（“計數變量”“累加變量”）或其他條件終止循環，特別是不能正確地處理循環變量接近臨近點的情況；④缺乏相關背景知識而難以找到恰當的算法；⑤在條件結構中難以解決多于兩個選擇的問題；⑥條件語句和循環語句嵌套使用時的規范書寫等，需要尋求突破和化解．

2. 正確地定位算法教學

算法教學目標的定位是學習在計算機上可以實現的算法，即具有確定、有效、有限的特征，為此選擇數學中具有重要價值的算法范例為內容，主要圍繞計算機是如何解決問題的． 如通過一次方程組的消元法、二分法求方程近似根、迭代求和、比較許多數的大小等問題的教學，培養學生運用計算機思維的素養、體會數學中所蘊涵的算法思維，讓學生多角度設計算法，逐步地引導到一般的算法． 如蘇教版必修3教材P30習題2，將函數與方程、二分法與數形結合、近似與精確等知識與方法納為一體，融入了算法的一般解題步驟和方法．

3. 聯系實際，突破學習難點

針對教學中的難點，應注意開發相關的生活實例，在內容的呈現與設計上貼近學生的生活，使學生樂于、易于接受．

難點之一：“n←n+1”含義的理解．它表示的是賦值過程，而賦值的邏輯關系是環環相扣． 此時可以形象地把變量看做成一個存放樂曲n的磁盤，執行這一語句就相當于磁盤中的“新曲n+1”取代了“舊曲n”．如利用賦值語句寫出的“交換兩個變量的值”的算法有三步“S1?搖p←x，S2?搖x←y，S3?搖y←p．” 學生不易理解，可先引入“如何交換兩個相同的杯子中的不同液體”的生活實例，然后再進一步抽象成算法．

難點之二：條件結構的構造．計算機識別的是兩元系統，借鑒分段函數根據自變量取值范圍的不同而有不同的形式，由此可將條件結構與分類討論聯系起來構造算法． 如蘇教版必修3教材P10習題3，寫出解方程ax+b=0（a，b為常數）的一個算法：S1，輸出a，b；S2，若a≠0，則輸出x=-■；S3，若a=0，b=0，則輸出方程的解為全體實數；S4，若a=0，b≠0，則輸出方程沒有實數解．

難點之三：循環語句中的循環變量．循環的基礎在于設計累加器，如I←I+1，S←S+x等．如蘇教版必修3教材P6習題4，寫出1+2+…+100的一個算法．在求和循環體Sn＝Sn-1＋n中使用了100個變量，可選取共同的結構，即用算法表示為S←S+n，使學生經歷把“遞推求和”轉化為“循環求和”的過程，同時經歷“初始化變量”“確定循環體”“設置循環終止條件”三個構造步驟，從而初步理解和學習構造循環結構的一般方法．

難點之四：三種語言的轉換．算法初步由“自然語言、圖形語言（流程圖）、程序語言（偽代碼）”組成，要求學生熟練地進行三種語言的轉換，并設計出明確、有效、有限、可以轉化為計算機程序的算法步驟． 其中將解決問題的一些隱性思維過程轉化為流程圖，不僅形象直觀，而且讓學生學會以圖形的方式分析思維過程，以此簡化解題的思路．

難點之五：經典案例的學習．在算法初步中有許多經典案例，體現的是算法的基本思想和思維方法． 通過學習使學生能理解它們的算法原理、算法程序設計的方法，領悟其中的思想與智慧． 由此，教學中應以理解案例的算法為重點，利用它們解決一些簡單的相關問題．

4. 優化或改造算法

解決同一個問題，可以有不同的算法；同一個算法稍加改造，可以用于解決不同的問題． 對算法的優化或改造，是幫助學生理解算法的通用性、有效性等的有效途徑，也有利于學生認清算法結構和把握“算理”．

在寫出1+2+…+100的算法之后，改造“累加器”的流程圖可以得到下列問題的算法：①求1+2+…+m（m∈Z*）的值；②求3+5+…+（2m+1）（m∈Z*）的值；③求2+22+…+2100的值；④求使2+22+…+2n（n∈N*）的和大于100的最小正整數n．

說明：①推廣為求前m個正整數的和，將循環的終止條件變為“n>m”即可；②求m個正整數的和，初值變為3，步長變為2，此時需要改變變量初值和循環的終止條件，循環體變為“S←S+（2n+1）”；③將循環體變為“S←S+2n”；④在③的基礎上，需要將循環的終止條件變為“n>100”． 通過練習，學生不僅可以更好地把握算法的“算理”，而且體會到算法在解決問題中的強大威力．

計算機工作靠的是程序，而程序的靈魂就是算法． 現在，科學計算繼實驗、理論之后，已經成為第三種科學研究的手段．有意識地培養學生的算法思想，增強算法意識，實現科學計算和論證，以“算法的視角”看待和解決問題，必將有利于未來的發現與創新． 由此可見，“算法初步”引入中學數學教學，貫注知識新血液，是符合教育現狀和時代發展要求的．我國著名數學家吳文俊院士發明了一種被稱為“吳方法”的算法，將現代算法理論與中國的傳統算法相結合，極大地推動了算法的發展，在世界上得到了高度評價．

算法作為高中數學必修內容的一部分，反映了人們在現代社會對數學的新的審視． 如何將算法的基本思想滲透并融入數學的各方面內容之中，是一個全新的課題，為此探索算法的思想教育價值和課程設置，引發人們對數學中新的算法研究和數學模型的理解，對傳統和未來的數學都會產生深遠的影響．