導數教學中的函數概念再教學
2012-04-29 00:00:00侯留碗
中學教學參考·語英版 2012年10期
導數與函數有著莫大的關聯，導數的教學又在函數之后，因此可以認為函數是理解導數的基礎，沒有函數就不可能理解導數；反過來，導數的教學又可以豐富和深化我們對函數的理解和認識，使我們對函數的理解能夠得到升華，也更有利于導數的學習.那么如何結合兩者更有效地教學呢？
一、導數教學中對函數概念的再認識
導數，即導函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想，為什么這么說呢？首先要看一下高中數學中對導數的定義.我們首先定義一個函數y=f(x)在點x0處可導，且x0處有唯一的導數f(x0)，然后定義函數y=f(x)在開區間(a，b)內可導，因而對于開區間(a，b)內每一個確定的值，都對應著一個確定的導數f(x0).根據函數定義，在開區間(a，b)內就構成了一個新函數，這個新函數就是導數.此處提到了根據函數的定義，那么函數的定義或者說函數的概念又是什么呢？
函數是數學中的一種對應關系，是從非空數集A到實數集B的對應.精確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數集，f是個對應法則，若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應，就稱對應法則f是X上的一個函數，記作y＝f（x），稱X為函數f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈R}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習慣上也說y是x的函數.對應法則和定義域是函數的兩個要素.
由于函數的學習在高中階段要遠早于導數，因此這樣舊話重提，不但是一種對函數概念簡單的復習，而且結合著導數的定義，我們對函數的概念又有了新的認識.因為學習函數的時候，我們已經習慣了將函數的定義域局限于一個集合里面，定義域中的任意數都對應著它的唯一值，而沒有想到過，當將定義域縮小到某一個連續可導的區間時，會產生一個全新的函數，而且這個全新的函數擁有函數的一切特性，也遵循著一一對應的法則.通過這種定義層面的對比與教學，我們在導數的教學過程之中，就實現了對函數概念的再認識.
二、導數教學中對函數性質的再教學
1.導數與函數的圖像
導數在物理上有著應用價值，在幾何上同樣有意義：函數y=f(x)在點x0處的導數f(x0)，就是曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即：k=tanα=f(x0).相應的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).這就將導數與函數的圖像聯系了起來，導數在有關函數圖像解題上的運用，既豐富了函數的解題方法，也深化了我們對導數與函數相互關系的理解.
結合具體的題目進行講解：
已知曲線C：y=x3-3x2+2x，直線l:y=kx，且直線l與曲線C相切于點(x0，y0)(x0，0)，求直線l的方程及切點坐標.
在求解這道題目的時候，首先引起我們注意的是“相切”這個詞眼，自然而然我們會想到導數.將曲線C的方程還原為一個函數，那么這個題目就轉變為求函數在某處的導數這個簡單的問題.
2.導數與函數的單調性
用導數來確定函數的增減區間相對于學習函數單調性時所采用的定義法和圖形法，更為直接，更為簡便.導數的引入，使函數的單調性在另一個層面得到了體現，也為我們判斷函數的單調性提供了一個更加快捷的途徑，也便于我們更好地理解函數的性質.函數的單調性也稱為函數的增減性.通常的在某個區間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞減；如果在某個區間內恒有f′(x)=0，則f(x)是常數函數.一般的，求解可導函數y=f(x)單調區間，可以分為以下四個步驟：（1）確定函數y=f(x)的定義域；（2）求導數y=f′(x)；（3）解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為減區間.結合具體的題目進行講解：
已知函數f（x）=4x+ax2-23x3（x∈R）在區間［-1，1］上是增函數，求實數a的取值范圍.
題目中已經給出了函數的單調性，要求得出某個未知數，那么可以將利用導數求解函數單調性步驟反過來運用，由已知推算未知.
3.導數與函數的極值
函數的極值，即函數的極大值與極小值，通常對應著函數圖像的對稱軸.在導數引入之前的求解之中，一般是首先確定函數的單調性與單調區間，然后利用數形結合的方法求解函數的極值.導數引入之后，函數極值的求解被很大的簡化，一般步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點，即求方程的所有實根；（4）檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.將函數極值的求解歸結到導數的求算，利用的是在函數的圖像中，極大與極小值處切線的斜率為0.這一點實現了函數性質與導數幾何意義的完美對接.
（責任編輯 黃桂堅）
