兩類特殊雙曲線探究

高中階段的教材的章節(jié)安排可以說是非常科學(xué)的。作為老師我們更應(yīng)該深刻領(lǐng)會(huì)其中的一些指導(dǎo)性思想，并逐步使這些思想在日常的教學(xué)工作中得到充分的體現(xiàn)。做好這件事情我認(rèn)為非常有意義。因?yàn)槲覀兘處熤挥袕暮暧^上對(duì)整個(gè)教學(xué)內(nèi)容的分布或格局有一個(gè)深入淺出的把握，我們才能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行一種良好的規(guī)劃和指導(dǎo)，并且能對(duì)某些重要的和典型的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，從而不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。本人就通過二數(shù)學(xué)教學(xué)中的一堂課的教學(xué)實(shí)例，來簡(jiǎn)單談一些看法，希望與各位同行進(jìn)行交流和切磋。

函數(shù)（曲線）和方程的教學(xué)內(nèi)容是高中階段一塊重要的核心內(nèi)容，它的思想可以說是貫穿整個(gè)高中階段的教學(xué)過程。在高一階段的教學(xué)過程中，學(xué)生已經(jīng)逐漸領(lǐng)會(huì)了如何了解一個(gè)函數(shù)的一些思想方法。并且我還補(bǔ)充了高中階段經(jīng)常遇到的兩類重要的特殊函數(shù)：

（1）y=（一次分式函數(shù)）； （當(dāng)時(shí)以y= 為例進(jìn)行指導(dǎo)學(xué)習(xí)）

（2）（雙鉤函數(shù)）（當(dāng)時(shí)以y=x+為例進(jìn)行指導(dǎo)學(xué)習(xí)）（當(dāng)ab>0時(shí)，圖象的兩個(gè)鉤子又可以稱為耐克函數(shù)，符合現(xiàn)在學(xué)生的品牌觀念）

應(yīng)該說學(xué)生對(duì)這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)是非常重視的，也掌握得比較扎實(shí)。在今年高二的圓錐曲線方程之雙曲線的教學(xué)復(fù)習(xí)中，我又適時(shí)地向?qū)W生推出了這兩類函數(shù)，學(xué)生頓時(shí)明白了這兩類函數(shù)的圖象就是我們現(xiàn)在所研究的雙曲線。于是學(xué)生記憶中的舊知識(shí)被喚醒，學(xué)習(xí)興趣也如雨后春筍破土而出，勢(shì)不可擋。學(xué)習(xí)的效果確實(shí)是比較理想的。

下面對(duì)本堂課的前后過程作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。

在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了雙曲線與橢圓及拋物線所明顯的一個(gè)區(qū)別：雙曲線擁有漸近線。

本節(jié)課以雙曲線的漸近線為切入口，讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和加深對(duì)雙曲線性質(zhì)的了解。

準(zhǔn)備知識(shí)（已經(jīng)有所介紹）：

引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，分析其特點(diǎn)，去探求對(duì)稱中心，頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，對(duì)稱軸，漸近線，準(zhǔn)線，離心率的內(nèi)在聯(lián)系，從而讓學(xué)生歸納出雙曲線的共同性質(zhì)：

（1）雙曲線有一個(gè)對(duì)稱中心，兩個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條對(duì)稱軸，兩條漸近線，兩條準(zhǔn)線；

（2）雙曲線僅與兩條對(duì)稱軸中的一條相交，其交點(diǎn)就是頂點(diǎn)；雙曲線的焦點(diǎn)就在這條對(duì)稱軸上；

（3）雙曲線的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，實(shí)軸在雙曲線的同一條對(duì)稱軸上，且準(zhǔn)線垂直于這條對(duì)稱軸；

（4）兩條漸近線的交點(diǎn)，就是兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)，也就是該雙曲線的對(duì)稱中心；到兩條漸近線距離相等的點(diǎn)的軌跡就是該雙曲線的對(duì)稱軸，顯然，雙曲線的兩條對(duì)稱軸相互垂直；

（5）若漸近線與實(shí)軸所在的直線的夾角為α，則雙曲線的離心率：e=secα （α必為銳角）；特殊的情形：等軸雙曲線中α=， e=，此時(shí)兩條漸近線相互垂直。

以反比例函數(shù)為切入口，給出：

問題：（幻燈片）

已知下列雙曲線的漸近線，求它們的對(duì)稱中心，頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，對(duì)稱軸方程，準(zhǔn)線方程，離心率的大小：

（1）y=， （兩條漸近線為x=0， y=0，）

（2） y=（兩條漸近線為 x=-，y= ）

解（1）：因?yàn)殡p曲線y=的兩條漸近線為兩條坐標(biāo)軸，所以對(duì)稱中心為O(0， 0)

在平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡為直線y=±x，由性質(zhì)可知它們就是該雙曲線的對(duì)稱軸方程；雙曲線的實(shí)軸所在的直線為y=x，它與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的頂點(diǎn)，可得(1， 1)， (-1， -1)，又因?yàn)樵撾p曲線的一條漸近線與對(duì)稱軸所成的角為，故其離心率為e=sec=，由性質(zhì)設(shè)焦點(diǎn)F(m， m) 所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為：y=-x+n；設(shè) 為該雙曲線上的任意一點(diǎn)，由雙曲線的第二定義可知： =，整理化簡(jiǎn)得：xy=(n-m) (x+y)+m2-， 聯(lián)立xy=1，比較得：n-m=0m2-=1，即m=n=±，由此得雙曲線y=的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(，)， (-，-)， 兩條準(zhǔn)線方程為：x+y±=0

分析討論完畢后，我和學(xué)生一起進(jìn)行了總結(jié)：

總結(jié)1：雙曲線y=的性質(zhì)（幻燈片）

（1） 對(duì)稱中心為O(0， 0)；

（2） 兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 1)， (-1， -1)；

（3） 兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(， )， -， -)；

（4） 兩條對(duì)稱軸方程為：y=±x；

（5） 兩條漸近線為 ，x=0， y=0；

（6） 兩條準(zhǔn)線方程為：x+y±=0；

（7） 離心率為e=

在第（2）個(gè)的教學(xué)過程里，學(xué)生的參與非常積極，基于其中計(jì)算量的問題和時(shí)間的關(guān)系，我主要引導(dǎo)了學(xué)生研究方法，并得到了其中部分的性質(zhì)：

總結(jié)2：雙曲線y=的性質(zhì)（幻燈片）（最一般情形：abcd≠0， ad≠bc ）

（1）對(duì)稱中心為-， ；

（2）ab>0， ad>bc時(shí)：兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（此時(shí)雙曲線形狀形如y=）

，，，，

（3）ab>0，ad>bc 時(shí)：兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為：課后思考。

（4）兩條對(duì)稱軸方程為：y- =±x， ；

（5）兩條漸近線為兩條漸近線為x=-， y= ；

（6）ab>0， ad>bc時(shí)，兩條準(zhǔn)線方程為：課后思考。

（7）離心率為e=

注：以上性質(zhì)中（2）， （3）， （6）的另一種情形同樣請(qǐng)學(xué)生課后思考。

在接下來另一類特殊雙曲線性質(zhì)的教學(xué)過程里，我同樣地先給出了一個(gè)學(xué)生常見的，典型的例子，然后對(duì)一般的情形給予總結(jié)：

問題：（幻燈片）

已知下列雙曲線的漸近線，求它們的對(duì)稱中心，頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，對(duì)稱軸方程，準(zhǔn)線方程，離心率的大小：

（3） y=x+（兩條漸近線為x=0， y=x）

（4） y=ax+(a>0， b>0) （兩條漸近線為x=0， y=ax）

解（3）：雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)，也是兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)，就是雙曲線的對(duì)稱中心，所以該雙曲線的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為 (0， 0)，設(shè)P(x， y)為對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)p到兩條漸近線的距離相等，于是有：

=|x|，化簡(jiǎn)得：，y=(1±)x （也可由夾角公式得出）由性質(zhì)這兩條直線即為雙曲線的對(duì)稱軸方程，聯(lián)立y=x+可得兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為： ，， -，-，該雙曲線實(shí)軸所在直線為y=(1+)x，它與兩條漸進(jìn)線中的一條的夾角為，由性質(zhì)知雙曲線的離心率為e=sec=，設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F(m， m+m)，它所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為y=1-x+n，設(shè)M(x， y)為該雙曲線上的任意一點(diǎn)，由雙曲線的第二定義可知： =，化簡(jiǎn)得：

xy=x2+x+y+，

聯(lián)立y=x+，即xy=x2+1，比較可得：2m-(2-2)n=0(2+2)m-2n=0=1，解得：m=±n=±，所以所求焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，)， (-， -)準(zhǔn)線方程為：

y=(1-)x+， y=(1-)x-，同樣地和學(xué)生進(jìn)行了總結(jié)：

總結(jié)3：雙曲線y=x+的性質(zhì)（幻燈片）

（1）對(duì)稱中心為O(0， 0)；

（2）兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，-，-；

（3）兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(， )， (-，

-)；

（4）兩條對(duì)稱軸方程為：y=1±x；

（5）兩條漸近線為x=0， y=x；

（6）兩條準(zhǔn)線方程為：y=1-x+，y=1-x -；

（7）離心率為e=

在y=ax+(a>0， b>0) 的教學(xué)過程里，學(xué)生投入的積極性受到了一定的影響，主要的原因在于其中的計(jì)算，不過從部分學(xué)生臉上我還是看到了很多自信的表情，因?yàn)樗麄円呀?jīng)知道了其中的研究方法，于是我把這個(gè)問題留給了部分學(xué)有余力的學(xué)生，作為課后研究性學(xué)習(xí)的作業(yè)。這對(duì)于他們的計(jì)算能力和意志品質(zhì)又是一種很好的鍛煉。

本節(jié)課我規(guī)劃的一個(gè)主要目標(biāo)是：在學(xué)生學(xué)過的典型知識(shí)點(diǎn)上進(jìn)一步滲透新的知識(shí)內(nèi)容，作為對(duì)它的一種延續(xù)或補(bǔ)充。這樣做不但使學(xué)生對(duì)原來的知識(shí)點(diǎn)有了一種新的認(rèn)識(shí)，而且還從全新的高度來全方位了解這類問題的不同背景或某種外延，使他們對(duì)學(xué)習(xí)有了更充分的興趣和信心，得到了更多實(shí)際而又實(shí)惠的學(xué)習(xí)效果。同時(shí)我相信通過這樣的教學(xué)嘗試，會(huì)使教師更加了解教學(xué)大綱的教學(xué)思想，把握教材各個(gè)章節(jié)的有機(jī)聯(lián)系，合理規(guī)劃我們的教學(xué)進(jìn)程，突出重點(diǎn)和難點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生綜合能力和意志品質(zhì)的培養(yǎng)，合理激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，最后的教學(xué)效果也將會(huì)帶給我們教師不小的驚喜！