談“變式思維訓(xùn)練”中的多解與多變

摘要：真正有效的教學(xué)不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生占有別人的知識(shí)，不是讓學(xué)生做大量的題目，而是讓學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成自己的見解。“授之以魚，不如授之以漁”。變式教學(xué)作為一種傳統(tǒng)和典型的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)方式，不僅有著廣泛的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而且也經(jīng)過(guò)了實(shí)踐的檢驗(yàn)。我們不要現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而需要活動(dòng)的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生們積極地參與到數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中來(lái)，使他們能學(xué)到真正的數(shù)學(xué)，能力上得到真正的提升。

關(guān)鍵詞：有效的教學(xué)；建構(gòu)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)；變式教學(xué)；能力的提升

中圖分類號(hào)：G632.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）09-228-01

大家知道，真正有效的教學(xué)不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生占有別人的知識(shí)，不是讓學(xué)生做大量的題目，而是讓學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成自己的見解。“授之以魚，不如授之以漁”。變式教學(xué)作為一種傳統(tǒng)和典型的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)方式，不僅有著廣泛的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而且也經(jīng)過(guò)了實(shí)踐的檢驗(yàn)。下面，我就變式思維訓(xùn)練中的一題多解和一題多變問(wèn)題作一些探討。

例1：如圖1，在⊿ABC中，AB=AC，P為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，CF為AB邊上的高線，求證：PD+PE=CF。

證法1：延長(zhǎng)DP，過(guò)C作CH⊥DP于H，如圖所示：

∵CH⊥DP，PD⊥AB

∴CH∥AB

∴∠B=∠PCH

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠PCH=∠ACB

在⊿PCH和⊿PCE中，

∵∠PCH=∠ACB

∠PHC=∠PEC

PC=PC

∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)

∴PE=PH

∴PD+PE=PD+PH=DH

易證：四邊形DHCF為矩形

∴DH=CF

∴PD+PE=CF

【評(píng)析】這種證明方法叫補(bǔ)短法，通常我們要把較短線段進(jìn)行合并，使它們成為一條線段，從而轉(zhuǎn)化成為證明兩線段相等。

證法2：過(guò)D作BC的平行線，交CF于H，如圖所示：

∵DH∥PC，CH∥PD

∴四邊形PCHD為平行四邊形

∴PD=CH，DH=PC

∵DH∥BC

∴∠FDH=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠FDH=∠PCE

在⊿DFH和⊿CEP中

∵∠FDH=∠PCE

∠DFH=∠CEP=90°

DH=PC

∴⊿DFH≌⊿CEP(AAS)

∴PE=FH

∴CF-FH=CH=PD，CF-PE=PD

即PD+PE=CF

【評(píng)析】這種證明方法叫截長(zhǎng)法，通常我們要將較長(zhǎng)線段進(jìn)行分割，使分割成的線段正好等于兩較短線段的長(zhǎng)，從而轉(zhuǎn)化成為證明兩線段之差等于另一條線段的長(zhǎng)。關(guān)于截長(zhǎng)法，讀者也可以通過(guò)下面添加輔助線的方法加以解決。這里，不再贅述。

在平時(shí)的教學(xué)中，我們常常對(duì)試題進(jìn)行情景和量的改造，讓學(xué)生再思考，再訓(xùn)練，以達(dá)到觸類旁通，舉一反三之目的。

例2，如圖：在⊿ABC中，AB=AC，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，CF是AB邊上的高線，那么PD，PE和CF之間存在什么數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明。猜想：PD-PE=CF

證明：過(guò)C作CH⊥PD于H，如圖所示

∵CH⊥PD，AB⊥PD

∴CH∥AB

∴∠HCP=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠HCP=∠ACB=∠ECP

在⊿PCH和⊿PCE中：

∴∠HCP=∠ECP∠CHP=∠CEP=90°PC=PC

∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)

∴PH=EP

∴PD-PE=PD-PH=DH

∵四邊形CHDF為矩形

∴DH=CF

∴PD-PE=CF

【評(píng)析】本題中，由于點(diǎn)P的位置發(fā)生改變，使三線段之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生了改變，但證明方法卻沒(méi)有變化。

總之，任何科學(xué)成果，都是思維活動(dòng)的成果，都要經(jīng)過(guò)一個(gè)特定的思維過(guò)程，數(shù)學(xué)更是如此。它的每一個(gè)結(jié)論的發(fā)明、發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)定理、公式的得出，一般都要經(jīng)過(guò)多次的觀察、猜想、類比、聯(lián)想、歸納、分析和思維跳躍，思維發(fā)散，思維復(fù)合等過(guò)程，因此，我們不要現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而需要活動(dòng)的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生們積極地參與到數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中來(lái)，使他們能學(xué)到真正的數(shù)學(xué)，能力上得到真正的提升。