解題訓練要學會“三想一反思”

摘要：本文主要是針對學生在解題訓練中如何做到三想一反思。從而達到提高解題效率的目的，進而促進學生思維能力的發展。

關鍵詞：回想；聯想；猜想；反思

中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）09-088-02

著名的數學家波利亞曾說過，中學數學教學的首要任務就在于加強解題訓練，可見解題訓練在中學階段占有非常重要的地位，那如何在解題訓練中做到有針對性，防止盲目性，從而達到提高解題效率。關鍵就在于學會回想，學會聯想，學會猜想，學會反思。

一、學會回想

從本質上說，解題訓練的過程，就是引導學生如何應用基礎知識和基本方法來分析問題，解決問題的過程。在弄清題意以后，教師如何引導學生，去回想已學過的基礎知識，包括定義、定理、公式、法則和基本方法。并從積累的知識框架中把相關部分內容提取出來，將這些知識與具體問題聯系起來，問題也就得以解決。可見在解題訓練中的回想訓練，本質上是一種由一般原理到特殊問題的思維訓練，即演繹推理的訓練，這種訓練的推理是非常重要的。

在提取知識的過程中，知識的積累儲備越豐富，提取知識的空間就越大，能夠提取出來的內容就越多，解答問題的思路就越寬，具體處理的方式方法就越多樣化。知識框架內部越有序，提取過程就越方便，越順利，提取的效率就越高，效果就越好。學生對提取出來的知識理解得越深，掌握得越好，應用起來就會感到靈活自如，得心應手。由此可見，基礎知識和基本方法是解題的最基礎。

反過來，回想過程又不可能是一個單純尋求解題思路的消極過程。實際上，從尋求到解答習題，自始至終都會在無形中反作用于知識結構，反作用于思維能力。歸根結底，全在于教師對學生的引導和指導學生的訓練。只有教師引導得當，學生訓練得法，才能很好的解答，從而使基礎知識得到進一步的鞏固，加深，系統化，甚至還可以把本來互相孤立的部分也彼此聯系起來。總而言之，回想可使知識系統化整體化，同時，還可以使分析問題與解決問題的能力得到充分有效的實際鍛煉。逐步形成技能技巧，提高解題能力。另外，解題本身并不是主要目的，而只是一種手段。解題訓練的根本在于消化基礎知識，掌握基本方法，在于培養能力，開發智力，而并不僅僅限于解答習題本身。因此，訓練必須充分，解題必須保證相當的數量，才能確保質量。搞題海戰術是不可取的，根本原因在于只重數量，不顧質量，因此，我們要保證訓練的實際效果以確保質量。

二、學會聯想

從本質上說，對舊知識的提取也就是一種聯想。但是，聯想卻不僅僅局限與單純地直接提取舊識知。對于稍有難度的問題，且基礎知識之間的聯系不是直接的，而是間接的，不是單一的，而是相當復雜的，不經歷一個由表及里，由淺入深的分析過程，就難以確定提取的內容和應用的方法是否得當。在分析的過程中，其實就是一個聯想的過程。

對問題的條件與結論，包括所涉及的圖形進行認真觀察，由考察到覺察，就是聯想的起點，由觀察到考察，由考察到覺察，再由覺察到洞察，實際上是一個由特殊到特殊，也就是類比推理的思維的過程。對于中學生，類比是一種最易于，最樂于接受的思維方法。引導學生去聯想，教會學生如何去聯想，就是提高解題能力的主要措施。

由觀察，考察，到有所覺察，通常只局限于問題與某種舊知識之間的部分相同，甚至是部分相似，這僅僅是解決問題的踏腳石，離真正解決問題，還差一大步。“最重要的還是要用已收集到的信息作為收集進一步信息的基礎。”

例1：解方程組 .

這個方程指明兩個數的和為 ，這兩個數的積為 。由此聯想到韋達定理， 、 是一元二次方程的兩個根，

所以 或 .可見，聯想可使問題變得簡單。

例2：已知 均為正實數，滿足關系式 ，又 為不小于 的自然數，

求證:

思路分析：由條件 聯想到勾股定理， 可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函數的定義可得如下證法。

證明設 所對的角分別為 、 、 則 是直角， 為銳角，于是

且

當 時，有

于是有

即

從而就有

思維阻礙：由于這是一個關于自然數 的命題，一些學生都會想到用數學歸納法來證明，難以進行數與形的聯想，原因是平時不注意代數與幾何之間的聯系，單純學代數，學幾何，因而不能將題目條件的數字或式子特征與直觀圖形聯想起來。

所以，除基礎知識以外，還應該注意引導學生把聯想指向解過的習題，指向自己的解題經驗。要不斷的問自己；“我知道一個與此有關問題嗎？”而雅諾夫斯卡婭就說得更為直截了當：“解題就是把題歸結為已經解過的題。”就直接意義來說，這是引導學生利用已知來解決未知，使未知轉化為已知。既不斷鞏固舊經驗，又不斷積累新經驗。就更深遠的意義來說，無形中促進了知識的內化，經驗的升華。對于提高能力，開發智力有難估量的促進作用。

三、學會猜想

在難度更大的問題面前，誰也難免感到理不出個頭緒，抓不住解題的要領。按常規去想，一時很難突破，這就要求我們要打破常規，不現再拘泥于邏輯思維的固定程序，不防做出大膽猜想，然后再設法加以驗證。

當然，大膽猜想并不等于胡思亂想。應該是在審清題意以后，認真觀察分析。在有所覺察的基礎上，做出人合乎情理的推測，做出盡可能似真或逼真的猜想。從覺察到猜想是一次跳躍。是從并不充分的根據，做出了可能性的判斷。從本質上說，是一種不完全的歸納推理。所得到的結論只是一種可能性，而不是真實性。它可能對，也可能錯。所以我們必須清楚地看到，對學生而言，即使猜錯了，實際的訓練效果也并不是沒有意義的，在許多情況下，猜測被認為是錯誤的。但由它們再誘導出一個更好的猜測方面仍然是有用的，何況還對能力的培養，思維的訓練是有促進作用的。

例3：試求1+2+3+……+100=？

分析：如果一個一個順次相加，顯然太繁。我們仔細分析這100個連續自然數和規律和特點，可以發現運用加法的運算律，是可以大大簡化提高計算速度的。

∵1+100=2+99=3+98=…=50+51=101

∴將所給算式中各個加數經過交換、結合以后，可以很快求出結果。

解：1+2+3+…+100

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）（加法交換、結合律）

=101×50（乘法意義）

=5050

利用運算律計算：

1、1+3+5+7+…+99=？

2、a+(a+d)+(a+2d)+ …+(a+99d)=?(基中a，d均勻為自然數)

因此，在作題時不必拘泥于習題，也不必局限于難題。而應從一般難度的問題開始，把基礎知識當作問題，讓學生去“發現”規律，“發明”知識，去探索推導與證明方法，既有利于對知識的理解與掌握，更有利于思維能力的培養。再如三角形內角和定理，有一個角是30度的直角三角形性質等等，讓學生借助剪紙，測量，猜出命題的內容以后，再引導他們去證明，去應用，肯定比硬性灌輸要強。

皮亞諾說：“一切真理都要由學生自己獲得或由他們重新發明，至少由他們重建，而不是簡單地傳遞給他們。”總之，基礎知識也好，數學習題也罷，絕不能講成現成的結論，而應該體現成一個數學活動的過程，體現成模擬科研活動。用教師的活動去引導學生的思維活動是完全必要的，用教師的活動去代替學生的思維活動則是絕對錯誤的。

四、學會反思

從最近幾年的高考，特別是近兩年的高考試題來看，能力的要求逐年提高，“題海戰術”的功效明顯下降。在數學教學中，如何引導學生擺脫“題海戰術”，提高數學素質，培養數學能力，這就要使學生學會“反思”。何謂“反思”？即做完一道題目后，要再問幾個為什么，并從中獲得對下次解題有用的經驗和教訓。搞清楚“為什么”，才能在以后的解題中知道“做什么”和“如何去做”。

解題中我們常反思什么呢？一道數學題，經過一番艱辛與苦思冥想解出答案后，我們應認真進行如下探索：命題的意圖是什么；考核我們哪些方面的概念、知識和能力；驗證解題結論是否合理，命題所提供的條件的應用是否完備；求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善；本題有無其他解法——如一題多解；眾多解法哪一種最簡捷；把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到更有益的普遍性結論—舉一反三，多題一解等。

例4已知關于x 的方程x2 - (2i - 1) x + 2m - i= 0 有實根，求實數m 的值。

此題學生一般易誤解為：由于方程有實根，

故有：△= [ - (2i - 1) ]2 - 4 (2m - i) ≥0

解得m 的取值范圍為，

對此，應引導學生反思以下問題：

1、△≥0能否保證方程有實根？為什么？

2、方程有實根，是否必須△≥0？為什么？

3、△是否一定有正負之分，為什么？

4、實系數一元二次方程的有關結論（如判別式、根與系數的關系）在復系數一元二次方程中，哪些已不適用？為什么？

5、解此題的思路方法是什么?

反思的目的在于深化對知識的理解，促進知識結構的不斷分解組合，使思維有一個正確可靠的基礎，長期進行反思，不斷可以提高解題能力，還可以培養學生對數學學習的興趣。

總之，通過訓練，使學生在解題后進行三想一反思，這樣不僅可以提高學生的數學素質，培養學生的數學意識，更可以促進學生思維能力的發展，為學生獲得終身受用的基礎能力奠定了基礎。