高三數學復習中的數形結合思想

摘 要：數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起。它是高中數學中較常用而又很重要的數學思想，通過考查，能體現學生數學基礎知識和數學思想方法的掌握和應用能力。利用圖示、轉化圖形，無論在平面或者在空間，都能展示一個學生的數學知識和應用能力。

關鍵詞：數形結合；數學復習；數學教學；數學問題；結論

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）01-156-02

作為一個高三數學教師，在高考復習當中，應重視數形結合思想。在處理數量問題時能否做出一個圖形，在研究圖形時是否可以建立起數量的式子，這是解決數學問題的一個重要指導思想。

下面通過例題體現高三復習中數形結合思想中的“數”與“形”相輔相成的關系：

一、以形助數

[例1]已知集合A=｛x| ｝，

B={x|(x-a)(x-2)>0}，若AUB=R，求實數a的范圍。

分析：按常規解法，求出A后需分a<2，a=2，a>2三種情況求出B，再根據AUB=R求出a的范圍，最后求這些范圍的并集，比較麻煩；用數形結合法就不必將a分情況討論。

略解：集合A可化簡為A=｛x|a-10，如圖，要使AUB=R，則要y=f(x)的圖像與x軸的公共點在線段MN上，此時必有f(a-1)>0且 f(a+1)>0，

[例2]已知橢圓系 與連接

B(2，3)兩點的線段沒有公共點，求a的取值范圍。

分析：本題若不利用圖形，會產生如下錯解：

AB直線方程與橢圓方程聯立消去y，得

如利用圖形分析則可輕松得正解：如圖，當橢圓過A點時得 ，當橢圓過B點時得 ，由圖可見，要橢圓與線段AB無公共點，則

[例3]求值

分析： 的原函數高中階段根本沒有辦法求，此時利用數形結合能輕松解決問題。

表示圓心在原點，半徑為1的上半圓，利用定積分的幾何意義，

二、以數助形

[例4]如圖，從空間一點出發的三條射線PA、PB、

PC滿足條件：

求證：二面角B-PA-C為直二面角。

分析：欲證本題，可證其平面角為直角，為此先作其平面角：在ＰＡ上去一點A′，設PA′=a，分別在平面APB、APC內作A′B′⊥PA交PB于B′，作A′C′⊥PA交PC于C′，即∠B′A′C′即是二面角B-PA-C的平面角。下面證∠B′A′C′是直角即可。

這里可用計算的方法來證明在

余弦定理計算得 [例5]在ΔABC所在平面上求一點P，使P點到三頂點A、B、C的距離的平方和最小。

分析：本題用純幾何的方法較為困難，可試用計算之法，建立直角坐標系，如圖，設三頂

點坐標為A(a，0)、B(b，0)、C(0，C)，又設P(x，y)則

三、數形相助

[例6]設a為實數，試確定關于x的方程： 解的個數。

分析：此題為含參的方程，要用討論法，但較繁。可通過參數的變化、圖形的運動來反映，使其變得簡捷、直觀、形象。

則原方程實數解的個數就為1

如例1圖所示，不難看出：

綜上所述，在高考復習中重視數形結合，在高考解題時，自覺運用數形結合思想，可挖掘知識的內在聯系，提高分析問題和解決問題的能力，使問題化難為易，化繁為簡，從而得到解決。