探究解題思路 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中衡量課堂教學(xué)效果的一個重要標志就是學(xué)生思維能力在多大程度上得到挖掘和培養(yǎng)。學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高，只有在解決實際問題中才能充分實現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：探究；培養(yǎng)；能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）01-081-02

應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識解決其他領(lǐng)域中有實際意義的問題，它能準確考察學(xué)生掌握知識的情況，在課堂教學(xué)中備受重視，高考對應(yīng)用題的考查已逐漸成熟，每年涉及許多題目。

解應(yīng)用題的關(guān)鍵就是準確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（如函數(shù)最值、不等式、數(shù)列、排列組合問題），再用相應(yīng)的知識與方法求解。

一、解應(yīng)用題的一般程序

1、讀：仔細閱讀理解題目表達的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是解對題的基礎(chǔ)。

2、建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。正確進行建“模”這一關(guān)是關(guān)鍵。

3、解：解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論。一要充分注意數(shù)學(xué)模型中各元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程。

4、答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實際問題的結(jié)果。

數(shù)學(xué)中常見應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)模型、預(yù)測問題、最值問題、等量關(guān)系問題、測量問題等

二、實際問題舉例

例1（優(yōu)化問題）某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級子棉2噸、二級子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二級子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤是600元，每1噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過250噸.甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少能使利潤總額最大?

分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，

利潤總額為z元，那么

z=600x+900y.

作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖)，即可行域

作直線l：600x+900y=0，即直線l：2x+3y=0，把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z=600x+900y取最大值.解方程組

，得M的坐標為x= ≈117，y= ≈67

答：應(yīng)生產(chǎn)甲種棉紗117噸，乙種棉紗67噸，能使利潤總額達到最大

應(yīng)用不等式知識解決這些問題時，關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問題，在化歸與轉(zhuǎn)化中，要注意等價性

例2（數(shù)列問題）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相等 為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

命題意圖：本題考查等比數(shù)列、數(shù)列求和解不等式等知識以及極限思想方法和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力

知識依托：數(shù)列極限、等比數(shù)列、解不等式

技巧與方法：建立第n年的汽車保有量與每年新增汽車數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵、盡管本題入手容易，但解題過程中的準確性要求較高

解：設(shè)2001年末的汽車保有量為b1萬輛，以后各年汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，……每年新增汽車x萬輛，則

b1=30，b2=b1×0 94+x，…

對于n＞1，有bn+1=bn×0 94+x=bn–1×0 942+(1+0 94)x， …

所以bn+1=b1×0 94n+x(1+0 94+0 942+…+0 94n–1)

=b1×0 94n+

當 ≥0，即x≤1 8時，bn+1≤bn≤…≤b1=30

當 ＜0，即x＞1。8時，

并且數(shù)列{bn}逐項遞增，可以任意靠近 。

因此如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即bn≤60(n=1，2，…)則有 ≤60，所以x≤3.6

綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛。

例3（函數(shù)最值）（08年廣東高考題）

某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝ ）

解 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，則

，令 得

當 時， ；當 時，

因此當 時，f（x）取最小值 ；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層。

例4（數(shù)列、方程問題）某城市現(xiàn)在房屋保有量為a，隨著城市化進程加快，以每年25%的速度遞增，同時每年的拆遷量為x，問第20年該城市房屋保有量是多少？要使過20年城市房屋保有量翻2番，計算x的近似值（取lg2=0.3）

解：設(shè)該城市第n年房屋保有量為 ，由題意可知：

即 ①變形為 ，因此數(shù)列 是以首項等于 公比為 的等比數(shù)列，所以，

則第20年該城市房屋保有量為 ，即

過20年城市房屋保有量翻2番，即 ，

于是， ，而

答：第20年該城市房屋保有量是 ；x的近似值為

歸納：解應(yīng)用題的一般思路可表示如下：