淺論數(shù)形結(jié)合

摘 要：談?wù)勚袑W(xué)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合的思想，以及如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來巧妙解決相關(guān)問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)；形；直觀

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）01-019-01

“數(shù)形結(jié)合”顧名思義就是把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，將原本抽象的數(shù)據(jù)在圖形中具體直觀的表現(xiàn)出來，進(jìn)而得到問題的解答。數(shù)形結(jié)合的思想在我們學(xué)習(xí)的過程中起著重要的作用。巧用數(shù)形結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力和培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，在一定程度上能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，開拓學(xué)生的解題思路。

一、用數(shù)形結(jié)合來驗(yàn)證問題

1、驗(yàn)證平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) (a＞b＞0)

分析：以a為邊長作一正方形ACDE，取AB＝ｂ，AF＝ｂ，再以AB為邊長作一正方形ABGF （如圖），再連接GD。SBCDEFG＝SACDE－SABGF， 而SACDE＝a2， SABGF＝b2

所以SBCDEFG＝a2－b2，又因?yàn)镾BCDEFG＝SBCDG＋SGFED＝（b＋a）×（b－a）÷2×2

＝(a＋b)(a－b)，所以 a2－b2＝(a＋b)(a－b).

2、驗(yàn)證配方的過程：將ｘ（ｘ＋２）＝２４配成（ｘ＋１）2＝２５

分析：（1），以x+2為長，x為寬作一長方形且其長方形的面積為24。

（2），在AB上取一點(diǎn)使AE=x，過點(diǎn)E作HE⊥AB交DC于點(diǎn)H，再在EB上取一點(diǎn)F，使ＥＦ＝ＦＢ＝１，過點(diǎn)Ｆ作ＧＦ⊥ＥＢ交ＤＣ于Ｇ點(diǎn)。此時將長ｘ＋２，寬ｘ的長方形分成一個邊長為ｘ的正方形和兩個長為ｘ，寬為１的長方形。

（３），將長方形ＧＣＢＦ補(bǔ)到正方形ＡＥＨＤ的上方，此時延長ＦＧ，ＭＮ交于Ｑ點(diǎn)，此時正方形ＮＨＧＱ的面積為１。

（４），長為ｘ＋２，寬為ｘ，面積是２４的長方形割補(bǔ)后拼成邊長為ｘ＋１的正方形。

二、用數(shù)形結(jié)合來解決問題

３、（有關(guān)概率的問題）若在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個數(shù)，求事件{兩數(shù)之和小于65}的概率？

分析：設(shè)x，y表示在（0，1）內(nèi)隨機(jī)地取得的兩個數(shù)，則0≤x，y≤1，把（x，y）看作平面xoy內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有基本事件可用圖中的正方形區(qū)域表示，其面積為1。而事件{兩數(shù)之和小于65}則用圖中的陰影部分來表示，其面積為1725 ，記事件{兩數(shù)之和小于65}為事件A，則P(A)＝ 1725 1 ＝1725

4、（有關(guān)不等式的問題）不等式│x＋1│＋│x－3│＞5的解集是什么?

分析：根據(jù)絕對值的幾何定義，可認(rèn)為|x|是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以|x+1|+|x-3|可以

理解為點(diǎn)x到點(diǎn)-1和3的距離之和。由于每一個有理數(shù)在數(shù)軸上都有唯一確定的點(diǎn)與之相對應(yīng)，所以由數(shù)軸可知-1.5， 3.5到點(diǎn)-1和3的距離恰為5。所以滿足題意的x應(yīng)在到-1.5和3.5之外。