例說數學多解問題

摘 要：通過多個多解型數學試題，說明此類題目的解題方法，并得出此類題目的考察目的，培養和考察學生的分類討論這一重要的數學方法。

關鍵詞：分類討論；多解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）22-327-02

滿足條件的多解型試題不但知識覆蓋面廣，綜合性較強，題意構思精巧，而且在解答時需要靈活運用一種重要的數學思想方法——分類討論。分類討論思想是指當數學問題中研究的對象不確定，不宜用統一方法處理時，常常根據研究對象性質的差異，按照一定的分類方法或標準，將問題分為全而不重，廣而不漏的若干類，然后逐類分別進行討論，再把結論匯總，得出問題的答案的思想。

各地中考數學中這種題型不但在綜合題中會有所涉及，而且在選擇填空題中也經常出現，進一步說明非常重視分類討論這一數學思想方法的考查。這類題的思維空間較大，解題時常出現考慮不全或不嚴謹，導致漏解、錯解，要求同學們在解題中應加強對多向思維的培養，學好分類討論這一思想方法，熟練掌握這一題型的特征與解法。

分類討論是一種重要的數學思想，又是一種重要的解題策略。

例題1：如圖，是象棋盤的一部分，一匹“馬”在圖示的位置，如果“馬”現在的位置可表示為（7，3），按照象棋的規則，“馬”下一步躍到的位置可表示為 ；

分析思考：此題很簡單，只要按照象棋規則，把所有的可能都例舉出來，但卻暗含了數學多解題的本質，要把滿足條件的所有的可能一一列舉，使問題的解答完整。

答案：（6，1），（5，2），（5，4）（6，5）（8，5），（9，4）

（9，2）（8，1）

例題2：（2012江西樣卷改編） 已知a、b為實數，且ab≠0，那么= 。

分析思考：由于ab≠0即a、b都不為0，要繼續化簡，就需知a、b的正負，但a、b中是正是負是一個不確定的對象，所以可以分以下：①都是正；②都是負；③a為負，b為正；④a為正，b為負這四種情況來分別求值。

答案：0、2或-2

例題3：（2012江西樣卷）小明等五名同學四月份參加某次數學測驗（滿分為120）的成績如下：100、100、x、x、80。已知這組數據的中位數和平均數相等，那么整數x的值為 。

分析思考：這里有什么不確定的對象呢？（x的大小），因此我們討論的對象便是x的大小。

（1）討論對象：x的大小；討論范圍：0～120；

（2）確定分類標準并進行合理分類：考慮x相對100和80大小可能性來分類，題中x的大小有三種可能：①100

（3）當①100

答案：110或60（有一個非整數值已舍去）

解題感悟之（一）分類討論的一般步驟：

（1）確定討論的對象和討論的范圍；

（2）確定分類的標準并進行合理分類；

（3）逐級討論并總結概括得出結論。

例4：（2011貴州安順）已知，如圖1：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（10，0）、C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為

分析思考：題中不確定的對象是什么呢？顯然題目給出了條件“△ODP是等腰三角形”，但未指明在△ODP中哪兩條邊相等，因此我們的討論對象是：△ODP中哪兩條邊相等，從而可分為三類：

當OP=OD時，則點P、D到點O的距離相等，因此只要以O為圓心，OD的長為半徑畫弧，交 CB于一點P，過點P作PE⊥OD于E，由勾股定理可求得OE=3，則P（3，4）；

當DO=DP時，則點O、P到點D的距離相等，因此只要以D為圓心， DO的長為半徑畫弧，交CB于兩點P，過點P作PE⊥OD于E，當∠ODP為銳角時，由勾股定理可求得DE=3，OE=5-3=2，則P（2，4）；當∠ODP為鈍角時，由勾股定理可求得DE=3，OE=5 + 3=8，則P（8，4）；

當PO=PD時，則點P在OD的垂直平分線上，因此只要作OD的垂直平分線PE交CB于一點P，垂足為E，由勾股定理可求得OP=，顯然結果不等于5，不合題意，舍去；

其他解法：方法1：OD、DP、OP輪流為底邊，同時要

注意以OD為底邊時OP、PD是腰，但不會等于5，易產生錯解，以OP為底邊時又易漏掉一種情況。

方法2：∠POD、∠ODP、∠OPD輪流為頂角，這樣分類同時還要考慮頂角可以是銳角、直角、鈍角.本題由于腰為5的限制，故直角是不可能，∠POD為鈍角不可能，∠PDO既可以是銳角，又可以為鈍角。

答案：（3，4），（2，4），（8，4）

解題感悟之（二）：

這道題告訴我們，在抓住了分類討論的特征后，還要學會掌握分類的標準（或說方法）。而有了分類的標準，就要自始至終使用這一標準分類，同時在求滿足條件的點的坐標時，畫出相應的圖形，使用圖形分析求解也是十分必要的，還要特別注意，分類后還應注意題中約束條件，謹防出現不合要求的解或漏解現象。