向量模型在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：向量模型在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用應(yīng)注意的問題及其教育價(jià)值。

關(guān)鍵詞：向量模型；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）22-00-321-01

一、向量的應(yīng)用

1、三角函數(shù)中向量的運(yùn)用

證明正余弦的兩角和與差公式，是向量數(shù)量積的一個(gè)直接運(yùn)用，較之傳統(tǒng)證明方法更加簡(jiǎn)潔明了。

例1、利用向量方法證明公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

證明：如圖1，在單位圓中作向量 ， 它們與x軸正向的夾角分別是α、β，則點(diǎn)a的坐標(biāo)是 （cosα， sinα） ，點(diǎn)b的坐標(biāo)是 （cosβ， sinβ） ，

則 · = cosαcosβ+sinαsinβ

又 ·= |a|·|b| cos（α-β）

則 等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立。

可見，從向量角度解決三角函數(shù)方面的問題更方便快捷。

2、平面幾何中向量的運(yùn)用

向量方法是借助向量的幾何意義，把問題轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，通過向量計(jì)算達(dá)到求解目的，用向量方法解決幾何問題，一方面體現(xiàn)向量的運(yùn)用性，另一方面能在運(yùn)用中加深對(duì)向量知識(shí)的理解與掌握。

例2、求證：直徑所對(duì)的圓周角是直角。

證明：令A(yù)B 為圓o直徑，即AB=2

o為AB中點(diǎn)

即所以直徑所對(duì)的圓周角為直角

解：建立如圖直角坐標(biāo)系，從而建立向量模型。

不妨設(shè)A（-1，0），B（1，0），P（x，y）

則（x+1，y），（x-1，y）

所以·=（x-1）（x+1）+y·y=0

即PA⊥PB

即為所證。

由于此例只須通過向量的運(yùn)算便可得出結(jié)論，學(xué)生得到很大的啟發(fā)，既鞏固了向量運(yùn)算的方法，又有了運(yùn)用向量解決數(shù)學(xué)問題的體驗(yàn)，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3、在解析幾何中向量的運(yùn)用

高考命題中對(duì)知識(shí)綜合性的考查，往往在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和綜合，而向量則是三角函數(shù)、解析幾何等多個(gè)部分的知識(shí)交匯點(diǎn)。因此也是將來的高考命題熱點(diǎn)。

4、在立體幾何中向量的運(yùn)用

新教材增加了向量的內(nèi)容，是因?yàn)橄蛄渴墙鉀Q問題的有效的思想方法，它為教材增加了新鮮的血液，使得教材體系更加富有活力，更有利于學(xué)生思維的發(fā)展。我們要重視三角函數(shù)、向量與其他學(xué)科的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)用三角函數(shù)與向量知識(shí)解決有關(guān)實(shí)際問題，經(jīng)歷建模過程，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)現(xiàn)行立體幾何最大的變化是引進(jìn)空間向量。在實(shí)際的演練中，以向量為工具可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“數(shù)與形”的結(jié)合，變抽象的邏輯推理為具體的向量運(yùn)算，這樣通過向量就能比較容易地解決幾何中的問題。

二、向量教學(xué)應(yīng)注意的問題

1、注重向量的幾何意義

在向量的教學(xué)中，應(yīng)注意揭示向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義。向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義對(duì)于運(yùn)用向量刻畫幾何對(duì)象是非常重要的。

例3：向量數(shù)乘運(yùn)算λa的幾何意義是與a平行的向量。兩個(gè)不共線向量a與b的線性組合λa+γb表示向量a與b所確定的平面。

這就把向量的線性運(yùn)算與直線、平面聯(lián)系起來了。aa的幾何意義就是向量a的長(zhǎng)度的平方，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的長(zhǎng)度聯(lián)系起來，從而，也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與兩點(diǎn)間的距離公式聯(lián)系起來了。ab=0的幾何意義是向量a與b垂直，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的位置關(guān)系聯(lián)系起來，從而，也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離聯(lián)系起來了。

2、突出物理背景

向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，這些物理量是學(xué)生在日常生活中能夠經(jīng)常感受到的，這為理解向量的概念、向量運(yùn)算提供了直觀、現(xiàn)實(shí)的背景。在教學(xué)中，應(yīng)注重突出向量的這些物理背景。

三、向量的教育價(jià)值

向量具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和物理背景。向量是刻畫位置的重要數(shù)學(xué)工具，在諸如衛(wèi)星定位、飛船設(shè)計(jì)、可運(yùn)動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)與操控中有著廣泛的應(yīng)用。向量也是刻畫物理量──力、位移、速度、加速度等的數(shù)學(xué)工具，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的天然聯(lián)系。力、位移、速度、加速度這些物理量在實(shí)際生活中是隨處可見的。因此，向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活以及物理等學(xué)科的緊密聯(lián)系，體會(huì)向量在刻畫和解決實(shí)際問題中的作用，從中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。