應(yīng)用輔助函數(shù)證明不等式

摘 要：輔助函數(shù)法是處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。在高等數(shù)學(xué)解題中，往往不是直接對(duì)問(wèn)題本身進(jìn)行求解，而是根據(jù)問(wèn)題以及所給的已知條件，巧妙地構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，從而間接有效的解決問(wèn)題。本文主要介紹輔助函數(shù)在不等式證明中的巧妙應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：輔助函數(shù)；不等式證明；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）22-313-01

解決高等數(shù)學(xué)中的不等式問(wèn)題，經(jīng)常要構(gòu)造輔助函數(shù)，需要既能從題目所給條件進(jìn)行分析推導(dǎo)，逐步引出所需的輔助函數(shù)，也能從所需證明的結(jié)論（或其變形）出發(fā)“遞推”出所要構(gòu)造的輔助函數(shù)，因此應(yīng)掌握一些輔助函數(shù)的作法技巧。下面討論輔助函數(shù)在不同類型的不等式證明中的應(yīng)用。

一、數(shù)值不等式證明中輔助函數(shù)的應(yīng)用

一般來(lái)講，解決這種題目的輔助函數(shù)的構(gòu)造有兩種方法：

（1）由欲證的形式構(gòu)造出“形似”的函數(shù)；

（2）由欲證的形式作恒等變形，變成初等函數(shù)四則運(yùn)算的形式，再將其中一個(gè)常數(shù)改寫成x，移項(xiàng)使等式的一端為0，則另一端即為要作的輔助函數(shù)F（x）。

例1 證明：

證明：令f（x）= （x≥0），則=>0，所以F（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，又|m+n|≤|m|+|n|，則f（|m+n|）≤f（|m|+|n|），即：

二、定積分不等式證明中輔助函數(shù)的應(yīng)用

一般來(lái)講，解決這種題目的輔助函數(shù)的通常作法為：將欲證結(jié)論中的積分上限（或下限）換成x，表達(dá)式中相同的字母也換成x，移項(xiàng)使不等式一端為0，則另一端的表達(dá)式即為所要作的輔助函數(shù)F（x）.

證明步驟為：

（1）作輔助函數(shù)F（x）；2）求F（x）的導(dǎo)數(shù)F'（x），判別F'（x）的符號(hào)，從而判別F（x）的單調(diào)性；

（3）求F（x）在積分區(qū)間[a，b]端點(diǎn)的函數(shù)值F（a），F(xiàn)（b），其中必有一個(gè)為0或F（a）、F（b）中有一個(gè)符號(hào)已知；

（4）由（2），（3）兩步即可得到命題的結(jié)論.

例2 f（x）>0在[ a，b]上連續(xù)，且單調(diào)減少.證明：對(duì)于滿足0

有b >a

證明：令F（x）= a - x，x∈（a，b），則

F'（x）=a f（x）- =-= < 0

（因f（x）單調(diào)減少）.因此F（x）單調(diào)遞減，又由已知得

F（a）= - a< 0，故 F（b）< F（a）< 0， a- b< 0即 b >a

三、不含積分號(hào)的普通不等式證明中輔助函數(shù)的應(yīng)用

一般來(lái)講，這類題目或者用函數(shù)的單調(diào)性或者用函數(shù)的極值（或最值）加以證明.輔助函數(shù)的作法為：將欲證的不等式移項(xiàng)（有時(shí)需要作簡(jiǎn)單的恒等變形后移項(xiàng)），使不等式的一端為0，則另一端即為所作的輔助函數(shù)F（x）。

證明的步驟為：

（1）作輔助函數(shù)F（x）；

（2）求F（x）的導(dǎo)數(shù)F'（x），判別F（x）的單調(diào)性；

（3）求F（x）在某區(qū)間[a，b]端點(diǎn)的函數(shù)值或端點(diǎn)的極限值，通常情況下其中必有一個(gè)端點(diǎn)值或端點(diǎn)極限值為0或已知其符號(hào)；

（4）由（2），（3）兩步即可得到命題的結(jié)論.

例3 證明：當(dāng)x>0時(shí)，

證明：令F（x）= 則F'（ x）= < 0，

因此F（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，且

F（+∞）== = 0，

則當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)（x）> F（+∞）= 0 ，

即>0，即x>0時(shí)，

參考文獻(xiàn)

[1] 陳績(jī)馨. 關(guān)于輔助函數(shù)法與高等數(shù)學(xué)解題關(guān)系的探討[J].福建農(nóng)林大學(xué)學(xué)報(bào)，2003.

[2] 張平芳. 淺談高等數(shù)學(xué)中的構(gòu)造函數(shù)法[J] .成寧師專學(xué)報(bào)，2001.