不等式的解法

摘 要：不等式問題貫穿整個中學數學教學過程，不等式不僅是一類常見類型，更是一種解題工具。很多學生看見不等式題目就無從下手，所以從必修的集合開始就對不等式敬而遠之，特別是對有些不等式的求解，常有同學因不會變通或思維定勢，導致因運算過繁而計算終止或棄而不解。針對這種情況，本文就結合教學中的實例談談不等式的優化問題。

關鍵詞：不等式；解析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）22-312-01

一、一元高次不等式的解法

【例1】 解不等式：

【分析】 如果多項式可分解為個一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“區間法”求解，但要注意處理好有重根的情況.

解：（1）原不等式可化為把方程的三個根順次表上數軸，然后從右上開始畫曲線順次經過三個根，其解集如圖（5-1）的陰影部分.所以原不等式的解集為

（2）原不等式等價于

所以原不等式解集為.【說明】 用“區間法”解不等式時應注意：①各一次項中的系數必為正；②對于偶次或奇次重根可參照（2）的解法轉化為不含重根的不等式，也可直接用“區間法”，但注意“奇穿偶不穿”.其法如圖（5-2）.

二、分式不等式的解法

【例2】 解下列不等式：

【分析】當分式不等式化為時，要注意它的等價

①②

解：（1）原不等式等價于

所以原不等式解集為（-∞，-2）∪〔-1，2）∪〔6，+∞）.

三、無理不等式的解法

【例3】解下列不等式 ：

【分析】無理不等式的基本解法是轉化為有理不等式（組）后再求解，但要注意變換的等價性.

解：（1）原不等式等價于原不等式等價于【說明】解無理不等式需從兩方面考慮：一是要使根式有意義，即偶次根號下被開數大于或等于零；二是要注意只有兩邊都是非負時，兩邊同時平方后不等號方向才不變.

四、含指數、對數不等式的解法

【例4】解下列不等式：【分析】（1）可以化成以為元的一元二次不等式問題（2）可以整理為

解：（1）原不等式等

（2）原不等式等價于

解對數不等式需注意各真數必為正數.在利用對數性質時，需注意變換的等價性，否則會出現增解或漏解.

此外含絕對值不等式如：解此題關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號主要利用當不等式的對數或指數底數含有字母或未知數時，應對其進行分類討論。