數(shù)形結(jié)合思維法的初探

摘 要:本文根據(jù)目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于解析幾何部分的教學(xué)實踐中出現(xiàn)的問題提出了“數(shù)形結(jié)合思維法”的數(shù)學(xué)方法。該方法旨在引導(dǎo)學(xué)生能夠通過“定圖形”、“唯一性”、“尋過程”的三步方法，來模式化的找到解決解析幾何問題的方法。其中對于“唯一性”的步驟分條闡述了“掌握幾何元素關(guān)系”、“理解必要條件”以及“了解系束方程”的三種主要的方法。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思維;解題思路;數(shù)形結(jié)合;解析幾何

中圖分類號:G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1002-7661(2012)22-308-02

序言

高中數(shù)學(xué)中，解析幾何的困難無疑可以分為兩大部分:一、復(fù)雜困難的代數(shù)計算;二、解題思路的尋找。較第一點而言，第二點的困難尤為突出。

而在如今的傳統(tǒng)教育教學(xué)過程中，在對于解題思路的構(gòu)建以及邏輯思維的培養(yǎng)是存在著諸多困難的。這種傳統(tǒng)的教育方法并沒有足夠的針對性，并不能形成知識點的體系。因此對于高中數(shù)學(xué)解析幾何解題思路的教學(xué)上存在著一個巨大的瓶頸急于突破。

從本質(zhì)上來說解析幾何是以代數(shù)形式來解決幾何問題的一種特定的數(shù)學(xué)方法。將代數(shù)連接幾何問題，讓數(shù)學(xué)同時擁有幾何的形象和代數(shù)的精確兩大優(yōu)勢。傳統(tǒng)的數(shù)形結(jié)合法，是通過將代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為幾何形式，直接或者間接的來簡化題目的解題步驟的一種方法。因此在此提出“數(shù)形結(jié)合思維法”的方法，不僅僅在于對解出答案亦或是簡化步驟的用途，而將其直接拓展到對于解析幾何問題的思維構(gòu)建上。

一、數(shù)形結(jié)合思維發(fā)的根本——定圖形

在數(shù)學(xué)題目中，利用數(shù)形結(jié)合思維發(fā)的主要目的絕非是直接或間接的簡化步驟或求出結(jié)果，而是通過這種方法找到解題思路。而整個思維過程的根本方法就是“定圖形”。對于題設(shè)而言，一定會對應(yīng)一個或有限個或一組圖形。因此我們在解題的過程中必須要堅持一個宗旨:將題目中有限的已知條件，解出更具體、更詳細(xì)的條件，來確定求解的圖形，即確定出求解結(jié)果。這就是所謂的根本——定圖形。

這種一開始的思維方法是能夠?qū)⒏鞣N繁雜的題目。這種思考的模式迎合了解題本身的需要和需求，即解的唯一有限性。這種思維方法對于求解結(jié)果為函數(shù)解析式，即在直角坐標(biāo)系中的唯一確定圖形的題目是非常適用的。

二、數(shù)形結(jié)合思維法的過程——掌握幾何元素關(guān)系、理解必要條件以及了解系束方程的概念

數(shù)形結(jié)合思維法的根本是以上所說的“定圖形”是一個發(fā)展的最終結(jié)果，而就其中怎樣逐步的接近這個最終結(jié)果，則需要一個過程來實現(xiàn)。這就需要我們利用在學(xué)習(xí)過程中逐步積累的有關(guān)幾何學(xué)的關(guān)系。在高中解析幾何學(xué)習(xí)中，我們主要要掌握以下三點:“掌握幾何元素關(guān)系”、“理解必要條件”以及“了解系束方程”的概念。

下面將分條列述相關(guān)的過程方法:

1、掌握幾何元素關(guān)系

幾何元素是幾何學(xué)中的最最原始的骨架型圖形構(gòu)成單元，在教育教學(xué)過程中，我們絕對不能放下這一部分的工作。

幾何元素可以分為“點”、“線”、“面”三者，這三種關(guān)系可以說涵蓋了所有全部的集合圖形。在幾何元素的有關(guān)描述中，嚴(yán)密的確定了三者的情況，即“無數(shù)的點可以組合成一條曲線，同樣無數(shù)的直線可以組成一個平面”。因此，直線是一組擁有相同性質(zhì)的點集，同樣平面是一個具有相同性質(zhì)的直線集。

在這里我們通過“集合”的概念解釋了集合元素之間的相互關(guān)系。例如最最簡單和基本的求交點問題，我們會利用連列直線方程的方法，來求得兩個直線的公共點。這里我們利用連列方程的代數(shù)形式確定了一個準(zhǔn)確的幾何位置。在這里連列方程的意思指的是求同時滿足兩個方程的根，而這里我們求的公共點，則是求同時滿足兩條直線性質(zhì)的公共圖形——公共點。通過點集的概念，我們可以解釋通過連列方程求解計算結(jié)果的方法是絕對可取的。

但是有一點不足，這種幾何元素法是退回基本初狀態(tài)的方法，在做退回的過程中，我們可能會將一些圖形具有的特殊性質(zhì)忽略。由此可能會導(dǎo)致最終的代數(shù)計算繁瑣的情況。因此在出結(jié)果的過程中這種幾何元素法將僅僅作為一種解決一些比較簡便過程的一種輔助方法，而絕對不應(yīng)該作為一種主要的方法。

2、理解圖形必要條件

這里所謂的“圖形必要條件”，是指確定整個圖形的必要條件，這種必要條件可能是確定整個圖形的定義，如:到定點的距離等于定長的點的軌跡是一個圓。因此我們就可以得到已知定點位置和定長的大小，那么這個圓在直角坐標(biāo)系中就是唯一確定的。同時這種必要條件可能是衍生的條件，例如:已知不共線的三個點，那么有且只有一個圓周同時通過這三個點。由此我們可以知道，已知三個圓周上的點的坐標(biāo)的圓是唯一確定的(三點坐標(biāo)不共線)。而僅僅這兩種必要條件，對于解題來說是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

除此之外，還有更大范圍的一種必要條件是應(yīng)生必要條件。

在利用類似這種必要條件時，學(xué)生很有可能會出現(xiàn)誤判的情況，而一旦出現(xiàn)這種情況，往往會造成學(xué)生解題的思維混亂。而在這種情況下，一旦出現(xiàn)這種錯誤，解決的概 率是非常小的。為了減少這種情況的發(fā)生，建議學(xué)生們在應(yīng)用這種方法的過程中必須進(jìn)行“假設(shè)檢驗”。學(xué)生們在考試過程中可已通過在草稿紙上繪制草圖，完成這一步驟?，F(xiàn)在草稿紙上，將相關(guān)的已知條件(所有的關(guān)于這個圖形的條件)標(biāo)定，在這些條件被標(biāo)定的情況下，嘗試是否有可能畫出唯一一個確定的圖形。如果能，則圖形已被確定;反之，則可以查看，可能還缺少什么樣的條件，嘗試在題設(shè)中繼續(xù)提煉具化，達(dá)到最后效果。

這些方法就課堂教學(xué)而言，對于前兩種“定義必要條件”、“衍生必要條件”必要容易的能夠讓學(xué)生進(jìn)行掌握。課堂教學(xué)實踐過程中，教師們可以進(jìn)行相關(guān)的歸納總結(jié)工作，讓學(xué)生們能夠更加系統(tǒng)的了解必要條件的情況。而就“應(yīng)生必要條件”而言，在教育教學(xué)過程中依舊比較難以實現(xiàn)，可以通過進(jìn)行專項練習(xí)，進(jìn)行反復(fù)的實踐操練。這樣能夠讓學(xué)生有針對性的進(jìn)行相關(guān)練習(xí)。

3、了解系束方程概念

系束方程是高中數(shù)學(xué)中才初步引入的一個概念，是一個圖形系的概念。而這里的系束方程，則是這里為了聯(lián)系圖形系的概念的一種代數(shù)形式。也就是說系束方程即是一種將一種特定代數(shù)的性質(zhì)保留在其中，經(jīng)過二次篩選，就可以獲得唯一解的準(zhǔn)結(jié)果態(tài)形式。因此對于系束方程的掌握，有助于簡化解解析幾何題目的一種方法。

例如:“”這個代數(shù)式，表達(dá)的幾何意義就是一組斜率為的直線系方程，這組直線系擁有一個共同的特定性質(zhì)，即“”斜率確定。在圖像上表示的就是一組斜率為的平行直線。而這里的未定系數(shù)則是控制這條直線的具體位置的。因此在解題過程中，如果已經(jīng)得到直線系的方程，我們就可以確定宗旨:尋找條件，確定系數(shù)，找到確定的直線方程，即:唯一的有效結(jié)果。

這種性質(zhì)輸入的方法，一般是為了先期概括總結(jié)幾何性質(zhì)的。這樣的方法有利于后期篩選的進(jìn)行，能夠比較好的簡化代數(shù)步驟，方便整道解析幾何題目的求解。

三、數(shù)形結(jié)合思維法的結(jié)果——解題草圖的繪制

數(shù)形結(jié)合思維法，在“定圖形”、“唯一性”兩個步驟后，最后必須經(jīng)歷最后一個過程，即“尋過程”?！皩み^程”的意思是尋過程題的可行性，就是將一系列的思維過程直接轉(zhuǎn)化為具體的題目實施步驟。這里我們必須結(jié)合解析幾何的圖像性質(zhì)，在這里我們會通過繪制解題草圖的方法來發(fā)現(xiàn)題目具體實施步驟。

在對解析幾何的題目進(jìn)行求解的過程中，我們會從已知條件中提煉出更加具體、具有更強針對性的條件。當(dāng)這些條件進(jìn)行積累，再通過“唯一性”的過程來進(jìn)行條件充分性的判斷。最后則是通過以上個步驟的判斷之后，來真正確定具體的題目解決步驟。

因此我們能夠通過“繪制草圖”方法來通過繪圖的過程來找到求解的過程。在繪制的過程中，我們必須思考如何才能夠利用有限的已知圖形來繪制出所求的圖形。在將繪圖的過程，通過代數(shù)式轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)變成有關(guān)的確定的代數(shù)式形式，在進(jìn)行相關(guān)的代數(shù)式計算步驟，來確定出最后的求解結(jié)果。

通過這種方法我們從比較形象的幾何形式的思維模式，通過代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，將其簡單的表達(dá)出來，成為一種代數(shù)解題的步驟。這種全新的思維模式，有助于學(xué)生對于解析幾何的學(xué)習(xí)掌握。

在教學(xué)實踐上，這方面能力的鍛煉可以放在日常的做題過程中，每一道對應(yīng)的解析幾何問題都通過這種方法來進(jìn)行講解。同時也可以適當(dāng)?shù)淖寣W(xué)生進(jìn)行課堂體驗，讓學(xué)生能夠更加好的掌握這種方法，并在最后的考試過程中能夠熟能生巧、融會貫通，提高思維能力，縮短思維的時間。