解題在中學生學習數學中的作用

摘 要:數學課程具有難度高、抽象性強的特點，因此中學數學教學的一個重要任務就是通過解題的訓練，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養邏輯思維能力，使學生不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考，思路合理，見解獨到和有發現創造的題。本文從五個方面闡述了解題對于中學生學習數學重要性，意在讓每一個中學數學教學工作者把數學解題作為開發中學生智力的有力工具，要把“解題”作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。

關鍵詞:理性思維;數學靈感;數學思想;數學感

中圖分類號:G632 文獻標識碼:A 文章編號:1002-7661(2012)22-232-02

美國著名的當代數學家和教育家G·波利亞指出:“掌握數學意味著什么?這就是說善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考，思路合理，見解獨到和有發現創造的題。”

數學課程除了難度較高，抽象性較強，還有一個讓學生真真切切體會到的特點就是作業多，解題量較大，學好數學并非易事。大多數數學教師雖不提倡“題海戰術”，但學生沒有經過一定題量的訓練，數學的能力是很難得到提高的。中學數學教學的一個重要任務就是加強解題的訓練，要把“解題”作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。解題對于數學學習的重要性主要體現在以下五個方面。

一、解題能培養學生學習數學所必備的理性的思維能力

從某種意義上講數學是一門理性思維的學科，要學好數學必須具備一定的理性的思維能力。而一定量的解題就能很好的培養這種能力。總的來說，解一道題的過程實際上是將腦海中的知識點進行一次系統的，有邏輯的重組，要具備辯證的思維能力運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法分析找到解決問題的突破口，再進行推論和闡述。解一道綜合性較高，知識性較強的題，不但是原有知識的鞏固、綜合與消化，更是一種將一原有知識的提升和升華的有效途徑。嚴格的解題訓練能培養學生的獨到的創新能力、豐富的聯想能力、靈活的處理問題的能力以及綜合問題的能力，簡言之就是有助于學生形成崇尚科學善于思辯的思維習慣。而這對于學生學習數學來說是不無裨益的。

解題是一項系統工程，有許許多多的因素影響著它。這許許多多因素中，不僅要求解題者具備一定的數學知識，還要求具有一定的解題方法及解題能力。所謂解題能力即指運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力

波利亞說過“一個有意義的題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的見解，可以打開通向一門新的科學，甚至通向另一個科學新紀元的門戶”。這就是說，解數學題能打開解題者的智力大門，能使你從一個門通向另一個新的大門。大數學家歐拉為了解開著名的哥尼斯堡七橋之謎，由此而產生了“一筆畫”數學問題。數學被公認為是“思維的體操”，就是因為在一個數學題目中，不但蘊含著一些未知的量，而且隱藏著許多各式各樣的聯系，促使解題者去分析，去發現、去完美解決。解決之后還能發人深省，誘人開拓，這對中學生的智力難道不是最好的開發嗎?

波利亞還指出:解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的?”、“是什么促使你這樣想，這樣做的?”這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程。在一般情況下，問題與知識的聯系并非是顯然的，即使有時能在問題中看到某些知識的“影子”，但畢竟不是知識的原形，或是披上了“外衣”，或是少了條件，或是改變了結構，從而沒有現成的知識、方法可用。這就是有些同學說“課聽得懂，公式定理背的出，就是題不會做”的原因。數學解題能鍛煉你的思維能力，能使你去偽存真，透過現象看到題目中本質的東西，能使你的數學思維方式及數學思維能力得到極大的提高。由此，你的智力也就得到極大的開發，把數學解題作為開發中學生智力的有力工具應是每一個中學數學教學工作者的神圣職責和義務。

二、數學解題是掌握中學數學知識的主要途徑

一個數學教師講授完某個數學內容，學生怎樣才能掌握你所傳授的數學知識呢?難道是聽你講一遍就掌握了嗎?不是的，著名的哲學家庫恩認為:“學生正是通過學習范例，通過做習題等活動來掌握一門科學知識及其方法的。”唯物認識論告訴我們:人的認識要經過兩個階段，認識的第一階段是感性認識，在這個階段中，人們對外部的認識，還不能造成深刻的概念或作出合乎論理的結論。認識的第二個階段是理性認識，在這個階段中，人們對外部的感覺和印象的東西在腦子里反復了多次，生起了認識過程中的突變(即飛躍)。概念產生了。

數學知識就是學生外部的感覺和印象。學生掌握好數學知識，也要經過感性認識和理性認識這兩個階段。學生聽數學課，得到的只是對數學知識的感性認識，要把這種感性認識上升到理性認識。就必須同數學的概念、定義、公式、定理接觸、實踐于那個事物的環境中，也就是要用有關的數學知識去解數學習題。

實踐證明:做習題是學習數學的主要形式，是學習數學課程的一個實踐性環節，通過做習題可以使學習者獨立地、積極地進行認識活動。深入地理解數學概念、全面系統地掌握數學基礎知識。試想一個學生學習數學如果不解數學題，那將是一個什么樣的后果。

三、解題能讓學生獲得學習數學的靈感

學好數學是要有靈感的。從心理學的角度講靈感是由疑難面轉化為頓悟的一種特殊的心理狀態，這也正是思考并解出一道難度較高的一道題的心理狀態。一道難題的解答必須是在熟練的掌握基本知識基本技能的前提下，并具有較強的洞察力、巧妙的構思才能解出的。我們在解難題時在冥思苦想的過程中思想保持極度的明確性再加上智慧的高度敏銳性，思維過程中遇到重大阻礙豁然貫通而統統得到克服。當這些極度疑難的問題，突然得到解決時，思潮洶涌，浮想聯翩，每每如此久而久之靈感便產生了。當然，“冰凍三尺非一日之寒”，并不是解一兩道題就能學好數學的，解題是需要一定的量的，只有數量和質量同時達到，才能實現量變到質變的真正轉變，才能真正獲得學習數學的靈感，這是一個日積月累，長期辛苦勞作的過程。一旦有了學習數學的靈感，學習數學的難也就變得相對容易了。

四、解題能營造學習數學的意境和培養學習數學的情趣

王國維曾經在《人間詞話》中說過人生奮斗必然要經過的三種境界:“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望斷天涯路”，此第一境界也。“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”此第二境界也，“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”此第三境界也。

我們在解難題的時候也要經過這三種境界:第一種境界是拿到這道題時茫然不知所措不知從何下手的過程;第二種境界是苦苦思索，尋找最佳突破口，而全力以赴不懈努力的過程;第三種境界是得到最后結果的釋然和欣喜的平靜的體味享受的過程。由此可見解答過程可以讓學生感受到人生的哲理.不僅如此，一道好的題目還能給人予藝術體驗，就像在觀賞品味一件精美的藝術品，或進行諸如打球之類的娛樂活動一樣充滿了情趣，數學的學習當然就不再是一件枯燥無味的苦差事了，學生學習的主觀能動性無形中便會得到加強。

五、解題能較好的幫學生學習、領悟數學的思想方法

數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂。引導學生領悟和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，是使學生提高思維水平，真正懂得數學的價值，建立科學的數學觀念，從而發展數學、運用數學的重要保證。那么，如何的學習和領悟數學的思想和方法呢?數學的思想方法主要包括轉化的思想方法，數形結合的思想方法，化整為零的思想方法，構造的思想方法、歸納假設的思想方法等等，而這些思想和方法都可以在不斷的解題過程中感知和體會并很好地掌握，因此從這種角度上可以說解題是學習好數學最有力的工具。

總之，解題需要對數學的感悟，需要想象力，需要對掌握的數學知識靈活的應用，更需要我們不斷的實踐和探索，從解決各種復雜多變的問題中積累和練就“技巧”—靈活處理，隨機應變。而通過解較難的數學題目，我們能掌握更多的邏輯推理方法，這不僅能使我們更深刻地理解有關數學內容，還可以學到使問題轉化以得到解決的方法、途徑和依據，受到更有效的邏輯推理訓練，從而培養我們觀察、分析和解決問題的能力，并能理清思想進行有說服力的論斷，感受到學習數學的樂趣，從而提高對數學的認識和把握能力和培養學生自覺學習數學的能力。

參考文獻

[1] 波利亞著 《數學的發現》第一卷 歐陽絳譯 北京:科學出版社，1982年 第二卷，劉遠圖等譯 北京:科學出版社，1987

[2] 林金途 《數學題的有效解題策略——題目結構特征分析法》 《福建中學數學》，2004 5