運用特征根轉化法求數列通項公式

摘 要：利用高等數學和常微分方程中關于差分方程、特征根的理論給出求數列通項公式的特征根轉化法，解決了數列中三種形式的遞推公式求通項公式的問題，利用該方法給出了斐波那契數列通項公式的推導方法。

關鍵詞：一階線性遞推公式；特征根；斐波那契數列

一、引入

數列在高中數學中的地位不言而喻，但教材對數列的教學安排和高考的要求有一定的差距，特別是數列通項公式的求法亟須補充與提高，從近幾年各省的高考試卷來看，高考對數列的要求明顯比教材要高。特征根法是解常系數線性微分方程的一種通用方法，數列中一階線性遞推公式即差分方程也可用特征根法求通項公式，本文利用高等數學和常微分方程的知識背景給出根據幾種特殊遞推公式求通項公式的方法，即特征根轉化法。

二、預備知識

數列an的遞推公式形如an+1=pan+q時，稱為一階線性遞推公式，其簡單情形一般課外輔導書均有詳細講解，這里只給出一般方法。

當p=0時，數列an為常數數列；q=0，且p為非零常數時，數列an為等比數列；當q=0，且p為n的函數時，求數列an的通項公式采用累乘法；p=1，q為非零常數時，數列an為等比數列；p=1，q為n的函數時，求數列an的通項公式采用累加法。下面我們研究pq（1-p）≠0時的情形。

三、主要結論