二次曲線上蝴蝶定理演繹蝶身再離枝

摘 要：李顯權先生的《蝶心離枝亦精彩》把蝴蝶定理從蝶心在枝條上推廣到蝶心離枝的情形，郝志剛先生的《蝶身離枝更精彩——蝴蝶定理的一般形式》又把蝴蝶定理從蝶身在枝條上推廣到蝶身離枝的情形，本文主要將郝志剛先生的一文的蝴蝶定理蝶身離枝的情形推廣到一般的二次曲線上.

關鍵詞：蝴蝶定理；二次曲線；蝶身離枝；內接蝶形

李顯權先生的《蝶心離枝亦精彩》把蝴蝶定理從蝶心在枝條上推廣到蝶心離枝的情形，郝志剛先生的《蝶身離枝更精彩——蝴蝶定理的一般形式》又把蝴蝶定理從蝶身在枝條上推廣到蝶身離枝的情形，得到定理1.

定理1 如圖1所示，CDGH為⊙O內接蝶形，各邊延長線分別交圓的割線AB于點E，F，P，Q，則=.

筆者研讀后，在二次曲線上得到了一個相同的結論，現以定理形式陳述如下：

定理2 如圖2所示，CDGH為任意二次曲線的內接蝶形，各邊延長線分別交二次曲線的割線AB于點E，F，P，Q，（其中E，P，A，B，Q，F順序不唯一），則=.

證明：若E，P，A，B，Q，F的順序如圖2所示，設E，P，A，B，Q，F的橫坐標分別為xE，xP，xA，xB，xQ，xF.

設CD與GH的交點為M，則以AB所在直線為x軸，過點M且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標系.設A（a，0），B（b，0），并設過A，B兩點的任意二次曲線方程為Ux2+Vxy+Wy2+Rx+Sy+T=0. 當y=0時，x1=a，x2=b，所以Ux2+Rx+T=U（x－a）（x－b）=Ux2－U（a+b）x+abU=0.

設CD的直線方程為y=k1x+m，GH的直線方程為y=k2x+m.

則過C，G，D，H四點的二次曲線系方程為

K（x，y）=Ux2+Vxy+Wy2－U（a+b）x+Sy+abU+λ（y－k1x－m）（y－k2x－m）=0（λ∈R）（*）

曲線系（*）包括了除（y－k1x－m）（y－k2x－m）=0之外的任意一條過C，G，D，H的二次曲線方程，也包括由直線CH與DG，或CG與DH組成的退化二次曲線，故曲線系（*）在x軸上有截距xP，xQ.

因此，xP，xQ是方程K（x，0）=0的根. 所以Ux2－U（a+b）x+abU+λ（k1x+m）（k2x+m）=0，

即（U+λk1k2）x2+［λm（k1+k2）－U（a+b）］x+abU+λm2=0.

可得xP+xQ=，xPxQ=.（**）

=?圳=?圳=?圳=?圳a+b++xPxQ+-ab（xP+xQ）=.

由（**）式知

a+b++xPxQ+-ab（xP+xQ）===. 從而有=.

對于E，P，A，B，Q，F的其他順序的情形，同理可證有=. 因而定理2得證.