初中數(shù)學(xué)“綜合題”的探討與研究

摘 要：初中數(shù)學(xué)“綜合題”對知識的整體運(yùn)用能力要求很高，綜合題的解題過程比較復(fù)雜，所涉及知識的范圍很廣. 學(xué)生在解題過程中不斷去猜想、探索及發(fā)現(xiàn)，掌握初中數(shù)學(xué)綜合題解決精髓的同時，也在無形中提升了學(xué)生的應(yīng)用能力與意識. 本文在初中數(shù)學(xué)綜合題概念特點(diǎn)及意義的基礎(chǔ)上論述了若干種有效的解題思想，希望以此幫助學(xué)生更好的解答與掌握初中數(shù)學(xué)綜合題.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；綜合題；解題思想

初中數(shù)學(xué)綜合題的概念特點(diǎn)

數(shù)學(xué)的每個知識點(diǎn)之間都存在著很強(qiáng)的邏輯聯(lián)系，部分知識點(diǎn)只是同一個數(shù)學(xué)主干部分的知識分支而已，知識分支與主干部分主要依靠潛在的邏輯關(guān)系實現(xiàn)它們之間的轉(zhuǎn)變. 之所以稱為綜合題，是因為它至少包含兩個以上的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，并且解答的時候需要用到若干個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，結(jié)合邏輯思維，不斷推理才能找到適當(dāng)?shù)慕忸}方法. 初中數(shù)學(xué)綜合題考查的內(nèi)容是學(xué)生對廣泛數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，并不是單獨(dú)的知識點(diǎn)，也不只是孤立的解題思想，初中數(shù)學(xué)綜合題涉及的知識點(diǎn)范圍大，需要結(jié)合多種數(shù)學(xué)解題思想.

初中數(shù)學(xué)綜合題的若干種解題思想

1． 數(shù)形結(jié)合思想

在初中數(shù)學(xué)課程中出現(xiàn)的綜合題大多數(shù)都是圖文并茂的，具有很強(qiáng)的觀賞性.解題時，需要分析文字與圖形之間的相應(yīng)聯(lián)系，剖析幾何圖形的構(gòu)成，借助幾何圖形中的潛在條件，理順解題思路. 在數(shù)學(xué)綜合題的分析中，數(shù)形結(jié)合思想的熟練運(yùn)用，對學(xué)生以不同角度對問題進(jìn)行深入認(rèn)識及分析是非常有利的. 從圖形中尋找解決方法，也有利于提高學(xué)生對抽象概念的運(yùn)用掌握能力.

例題分解：

已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對稱軸為直線x=－2的拋物線C1：y=x2＋bx＋c，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），求直線AC及拋物線cl的解析式.

圖1

解題思路：使用數(shù)形結(jié)合思想，從題目及圖形中知c=3. 又對稱軸x=-2，a=1，可以先確定求b的值. 從對稱軸x= －=-2等條件，求出b=4.

又由c1：y=x2+4x+3，轉(zhuǎn)換為x2+4x+3=0，求出x1=-1，x2=-3，即得出AB兩個點(diǎn)的坐標(biāo)A（-3，0），B（-1，0）.

從圖形上可知直線AC：y=kx+3過（-3，0），得出解析式AC：y=x+3.

分類討論思想

分類討論思想可以用來考查學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的嚴(yán)密性與準(zhǔn)確性，對數(shù)學(xué)綜合題中多變的條件及不確定的結(jié)論進(jìn)行分類并反復(fù)思考分析，才能確保答案的準(zhǔn)確性.部分問題在解答的過程中稍微不注意對其進(jìn)行分類討論，就會得到與正確答案相差甚遠(yuǎn)的結(jié)論. 近段時間以來，以分類討論作為主要解題思路的綜合題頻繁出現(xiàn)，使得分類討論思想成為新的焦點(diǎn). 分類討論的具體內(nèi)容就是把難題劃分為幾個區(qū)域分別進(jìn)行討論，使一個難題變成若干個難度偏小的問題，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，最后集中精力解決簡單的問題，再結(jié)合若干個由簡單問題得出的結(jié)論去分析整個難題，從而達(dá)到解決難題的根本目的.

例題分解：

已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)-3≤x≤1時，1≤y≤9.求kb的值.

解題思路：當(dāng)-3≤x≤1時， 1≤y≤9，存在兩種情況，運(yùn)用分類討論思想解答.

①當(dāng)k＞0時，函數(shù)的值會隨自變量增大而增大，因此可以得到2個點(diǎn)的坐標(biāo)（-3，1），（1，9）. 把這2個點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線方程，得到：-3k+b=1，k+b=9， 解出k=2，b=7. 最后得出結(jié)論kb=14.

②當(dāng)k<0時，函數(shù)的值隨自變量增大而減小，因此可以得到2個點(diǎn)的坐標(biāo)（-3，9）（1，1）. 把這2個點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線方程，得到：-3k+b=9，k+b=1，解出k=-2，b=3. 最后得出結(jié)論kb=-6.

等價轉(zhuǎn)換思想

在解決每一個數(shù)學(xué)問題時都必須始終貫穿等價轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想，初中數(shù)學(xué)綜合題的解答模式就是已知的條件與未知的問題、復(fù)雜難題與簡單知識點(diǎn)之間的等價轉(zhuǎn)換. 初中數(shù)學(xué)幾何、代數(shù)、文字結(jié)合一體的綜合題，更加凸顯了等價轉(zhuǎn)換的思想精髓. 善于發(fā)現(xiàn)不同知識點(diǎn)與不同形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，并對其進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，是解答綜合題的最佳途徑. 在初中數(shù)學(xué)綜合題的解答中運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想，一定要注重各方面知識的收集整理，理清不同知識點(diǎn)之間的潛在聯(lián)系，做到知識系統(tǒng)化，才能對綜合題中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念有更深層次的理解，充分了解綜合題的知識脈絡(luò).

例題分解：

已知：拋物線y=ax2+bx+c（a不為0）的對稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）. 對稱軸上存在一點(diǎn)P（-1，-），使得三角形PBC的周長最小，若點(diǎn)D是線段OC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、C重合），過點(diǎn)D作DE∥PC交x軸與點(diǎn)E，連結(jié)PD、PE，設(shè)CD的長為m，三角形PDE面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式. 試說明S是否存在最大值，若存在請求出最大值.

解題思路：首先根據(jù)題目畫出圖形，A，P，C三點(diǎn)共線，接著整理題目的整體脈絡(luò).由數(shù)形結(jié)合思想可知CD=m，得到OD=2-m，因為DE∥PC，結(jié)合相似三角形的概念可等價轉(zhuǎn)換為△ODE相似于△OCA，再等價轉(zhuǎn)換為OE∶OA=OD∶OC和OE=3－，AE=.

解得S=（2×3）÷2-×÷2-3-×（2-m）÷2-（1×m） ÷2=3-m-（0.75m2-3m+3）-0.5m=-0.75m2+1.5m.

最后結(jié)合所有的條件得出結(jié)論m=1時S最大等于0.75.

類比與歸納思想

所謂類比與歸納的思想方法是包括類比思想方法和歸納思想方法． 類比思想方法是指不同的研究對象在某些方面有相似或相同，以此來聯(lián)想、推導(dǎo)、猜想這些研究對象在其他方面也可能相似或相同，并作出某種判斷的推理的思想方法． 其特點(diǎn)是從特殊到特殊的推理方式． 例如：從分?jǐn)?shù)性質(zhì)到分式性質(zhì)；從全等三角形到相似三角形等．

歸納思想方法是指由個別的、特殊的事例來推出同一類事物一般性的方法． 其特點(diǎn)是由特殊至一般的推理方式．

例如：1個點(diǎn)分割直線為2個部分，2個點(diǎn)分割直線為3個部分，3個點(diǎn)分割直線為4個部分，4個點(diǎn)分割直線為5個部分，5個點(diǎn)分割直線為6個部分，……，n個點(diǎn)分割直線為n+1個部分．

類比與歸納的思想方法活動過程如下：

研究對象→→試驗→歸納→推廣→類比→聯(lián)想→預(yù)見→形成命題→證明

?搖?搖伴隨教育的不斷改革，初中數(shù)學(xué)綜合題已經(jīng)從簡單的知識累加型向知識運(yùn)用和能力創(chuàng)新綜合型的模式發(fā)展. 綜合題是數(shù)學(xué)各方面知識整合的具體體現(xiàn)，各類數(shù)學(xué)解題思想都在綜合題的解答上得到融會貫通. 解題思想是數(shù)學(xué)綜合題的核心模塊. 解題思想的科學(xué)原理是運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換、分類討論及數(shù)形結(jié)合等方法把晦澀難解的數(shù)學(xué)問題分解成若干個簡單易懂的部分， 通過對簡單問題的探索、猜想、整合達(dá)到解決難題的最終目的.探討研究初中數(shù)學(xué)綜合題的特征與獨(dú)特的解題思維，明確數(shù)學(xué)各方面知識點(diǎn)的潛在聯(lián)系及解題思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義與作用. 教師在教學(xué)中積極貫徹數(shù)學(xué)解題思想，能夠使學(xué)生逐漸意識到數(shù)學(xué)解題思想在解綜合題時起到的關(guān)鍵的引導(dǎo)性作用，能夠讓學(xué)生養(yǎng)成多方位思考問題的習(xí)慣，使其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，使其綜合運(yùn)用能力得到進(jìn)一步的鍛煉和提高.