圓錐曲線中直角三角形性質(zhì)探析一例

摘 要：圓錐曲線解題中計算量大，化簡繁雜. 適當(dāng)?shù)乩们€中的定量、定值對解題的化簡有很大的幫助. 本文通過2009年全國聯(lián)賽一試中的一題，談?wù)剤A錐曲線中涉及直角三角形時的性質(zhì)，并對其加以應(yīng)用和推廣.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；三角形；簡化；垂直；數(shù)形結(jié)合；垂直

圓錐曲線問題一直是近幾年高考的重點、難點，也因為圓錐曲線的參數(shù)多、計算難、化簡繁雜，而讓許多學(xué)生望而卻步.充分利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)對于簡化計算、減少參數(shù)提供了簡便和快捷.本文試著從圓錐曲線內(nèi)直角三角形的一個性質(zhì)淺談對解題的簡化.

下面先介紹兩個引理.

引理1 橢圓+=1上任意取兩點P，Q，滿足∠POQ為直角，則+為常數(shù).

這個引理可以通過直接設(shè)橢圓上的兩點，利用三角函數(shù)公式得出結(jié)論.

證明：如圖1∠xOQ=α，則由題意知∠xOP=α+，設(shè)Q（OQcosα，OQ·sinα），POPcosα+，OPsinα+，即P（－OPsinα，OPcosα）.

代入橢圓方程得

OQ?搖2cos2αa2+OQ?搖2sin2αb2=1，OP?搖2sin2αa2+OP2cos2αb2=1， ?圯+=OQ2，+=OP2，

兩式相加得+=+.

該性質(zhì)也可以在雙曲線中得到推證.

引理2 雙曲線-=1（0

這兩個定理在解決圓錐曲線題中可以直接發(fā)揮優(yōu)勢作用.

例1 （09年全國聯(lián)賽一試）橢圓+=1（a>b>0）上任意兩點P，Q，若OP⊥OQ，（O為坐標(biāo)原點）則乘積OP·OQ的最小值為________.

分析：本題考察圓錐曲線上兩個動點與坐標(biāo)原點的性質(zhì). 如果從設(shè)P，Q兩點入手，直接去求乘積OP·OQ，顯然變量較多，關(guān)系復(fù)雜，不容易求得結(jié)果.如果直接從定理入手解題就較為直接.

解答：設(shè)P（OPcosθ，OPsinθ），QOQcosθ±?搖，OQsinθ±?搖．

由P，Q在橢圓上得=+①，=+②.

①+②得+=+．

利用基本不等式可得，

當(dāng)OP=OQ=時，

OP·OQ達(dá)到最小值.

例2 橢圓+=1上任意取兩點A，B，使得OA⊥OB，求原點O到直線AB 的距離.

分析：本題若直接設(shè)直線，則計算量會較大. 如果從本文性質(zhì)入手，就會使得解題明朗、簡潔.

解：由以上結(jié)論可以直接得+=+.

而+=，又設(shè)原點O到直線AB的距離為h，

利用三角形OAB面積相等得OA·OB=h·AB?圯h=，

所以=+，

解得h=.

本例解法也適用于雙曲線.在雙曲線與直線相交于A，B和坐標(biāo)原點構(gòu)成直角三角形的題目中，巧妙利用性質(zhì)，對解題有著決定性的作用.

例3 雙曲線－=1（a，b>0）與直線x+y=1交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點）.

（1）?搖求-的值；

（2）若雙曲線的離心率e滿足≤e≤，求雙曲線實軸的取值范圍.

解：（1）由以上結(jié)論結(jié)合題意可得+=－，而

+==，其中h為原點到直線x+y=1的距離.

又易得原點O到直線的距離等于，

所以－==2.

（2）由（1）得－=2，

又由≤e≤易得1≤≤2，聯(lián)立求解得0≤a≤.

所以雙曲線實軸長范圍為［0，1］.

從上例也可以看出，雙曲線中直角三角形的性質(zhì)在解題中發(fā)揮了直接的優(yōu)勢作用. 綜上，該命題在解決橢圓和雙曲線上直角三角形的相關(guān)問題時有很大的用處，還可以利用直角三角形中的性質(zhì)，解決直線與圓錐曲線相交的問題. 近幾年的高考題中都出現(xiàn)了圓錐曲線中的垂直關(guān)系，如果合理地利用圓錐曲線的性質(zhì)，合理提取出已知條件中蘊藏的特征點，可以很大程度上簡化解題過程和步驟.