圓錐曲線一共線焦半徑性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、引申和應(yīng)用

摘 要：圓錐曲線有許多統(tǒng)一性質(zhì)，本文介紹其共線焦半徑的一個性質(zhì)，并例說談它的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；焦半徑；性質(zhì)

圓錐曲線有許多優(yōu)美的統(tǒng)一性質(zhì)，比如統(tǒng)一定義；統(tǒng)一極坐標(biāo)方程：ρ=；橫（縱）向型圓錐曲線的統(tǒng)一焦點(diǎn)弦長公式：AB=（AB=）（對雙曲線為同支焦點(diǎn)弦）…等等. 這些統(tǒng)一性質(zhì)不僅體現(xiàn)了橢圓、雙曲線、拋物線“本是同根生”的緊密聯(lián)系，展示了圓錐曲線內(nèi)在的“統(tǒng)一美”，而且其本身也具有很高的應(yīng)用價值. 作為教師，若能與學(xué)生一起進(jìn)行探究、推導(dǎo)和應(yīng)用，則不僅能拓寬學(xué)生的知識面，加深學(xué)生對圓錐曲線所學(xué)知識的理解，同時還能引發(fā)學(xué)生對圓錐曲線的好奇心和自主探究意識. 本文探尋圓錐曲線的一個共線焦半徑性質(zhì)，并把它統(tǒng)一成用通徑表達(dá)的形式，再例談它的應(yīng)用，以供參考.

性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)

發(fā)現(xiàn)之旅源于對如下的一個學(xué)生提問的思考：

題目：已知橢圓+=1（a>b>0），過焦點(diǎn)F傾斜角為α的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求證：+為一個與α無關(guān)的常數(shù).

分析：這是橢圓中的一個普通問題，也是橢圓的一個基本的性質(zhì)，它的證明可以采用普通方法，也可以用極坐標(biāo)法解決.

證明一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（－c，0）為左焦點(diǎn)，當(dāng)α≠90°時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+c），聯(lián)立橢圓方程并消去y得，（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2（k2c2－b2）=0，由韋達(dá)定理x1+x2=，x1x2=. 由焦半徑公式可得+=+=，其中e=，代人并化簡得+==2·-1，為常數(shù)；當(dāng)α=90°時，+=+=2-1. 綜上，對任意的傾斜角α，+=2·-1，為定值.

證明二：以橢圓左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ=（其中e為離心率，p為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離），設(shè)A（ρ1，α），B（ρ2，π+α），則+=+=+=，其中ep=，所以+==2-1，為定值.

評注：在處理焦點(diǎn)弦問題中，極坐標(biāo)法具有明顯的優(yōu)勢，它能化難為易，變繁為簡.另外，本題的證明還可用直線參數(shù)方程法和幾何法等，在此不再贅述.

探究：題目已經(jīng)證完了，但我們不能就此停下腳步. 上述證明表明，橢圓中兩共線焦半徑的倒數(shù)之和為常數(shù)，由此引發(fā)我們聯(lián)想：雙曲線和拋物線中是否也有同樣性質(zhì)呢？即把上述題目中的橢圓+=1（a>b>0）改成雙曲線－=1（a>0，b>0）和拋物線y2=2px后，+是否仍為常數(shù)呢？回答是肯定的，由于橢圓、雙曲線和拋物線在一定坐標(biāo)系條件（橢圓的左焦點(diǎn)，或雙曲線的右焦點(diǎn)，或開口方向?yàn)閤軸正向的拋物線的焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正向?yàn)闃O軸）下具有統(tǒng)一極坐標(biāo)方程ρ=，根據(jù)證明可知，在雙曲線和拋物線中+仍為. 由此我們發(fā)現(xiàn)：圓錐曲線（同支）共線焦半徑的倒數(shù)之和為常數(shù)，即+=. 但這種常數(shù)的形式在普通方程中并沒出現(xiàn)過，學(xué)生不太容易接受. 于是我們就想，能否把它表示地更一般些呢？這ep究竟是一個怎樣的量呢？由e，p的幾何意義我們知道，在橢圓中e=，p=－c=，即ep=；在雙曲線中e=，p=c－=，同樣有ep=；在拋物線中e=1，故ep=p.為什么橢圓和雙曲線中的結(jié)果都與有關(guān)，而拋物線中只與p有關(guān)，同樣都是圓錐曲線，這兩者之間會不會有某種聯(lián)系呢？通過對圓錐曲線的仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)：即為橢圓和雙曲線通徑長的一半，那么p不也就是拋物線通徑長的一半嗎？于是發(fā)現(xiàn)：ep為圓錐曲線通徑長的一半.若設(shè)通徑長為m，即有ep=，則+即可統(tǒng)一寫成=. 受此啟發(fā)，本文開頭所提到的圓錐曲線統(tǒng)一焦點(diǎn)弦長公式：AB=（AB=）即可寫成：AB=（AB=）. 于是得到了圓錐曲線共線焦半徑的如下：

性質(zhì)：已知橫（縱）向型圓錐曲線的通徑長為m，AB為過焦點(diǎn)F且傾斜角為α的（同支）弦，則（1）+=； （2）AB=（AB=）（上述的同支只針對雙曲線）.

評注：因?yàn)閷W(xué)生對通徑相對要熟悉一些，所以這種表示的形式更容易被學(xué)生理解和記憶.

性質(zhì)的引申

由于AB=AF+BF，聯(lián)立上述（1），（2）可以求出，經(jīng)過歸納得到有如下結(jié)論：

引申1 設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)（或雙曲線的右焦點(diǎn)，或開口方向?yàn)閤軸正向的拋物線的焦點(diǎn)），AB為過焦點(diǎn)F且傾斜角為α的（同支）弦，AB被焦點(diǎn)F分成上、下兩段之比為λ，則λ=.

引申2 設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)（或雙曲線的左焦點(diǎn)，或開口方向?yàn)閤軸負(fù)向的拋物線的焦點(diǎn)），AB為過焦點(diǎn)F且傾斜角為α的（同支）弦，AB被焦點(diǎn)F分成上、下兩段之比為λ，則λ=.

引申3 設(shè)F為橢圓的下焦點(diǎn)（或雙曲線的上焦點(diǎn)，或開口方向?yàn)閥軸正向的拋物線的焦點(diǎn)），AB為過焦點(diǎn)F且傾斜角為α的（同支）弦，AB被焦點(diǎn)F分成上、下兩段之比為λ，則λ=.

引申4 設(shè)F為橢圓的上焦點(diǎn)（或雙曲線的下焦點(diǎn)，或開口方向?yàn)閥軸負(fù)向的拋物線的焦點(diǎn)），AB為過焦點(diǎn)F且傾斜角為α的（同支）弦，AB被焦點(diǎn)F分成上、下兩段之比為λ，則λ=.

性質(zhì)的應(yīng)用

有了上述的性質(zhì)和引申，就可以方便地解決有關(guān)共線焦點(diǎn)弦問題，如：

例1 已知過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AF=3，則BF=________.

解：由性質(zhì)1：因?yàn)?=，將AF=3，m=2p=4代人，即得BF=.

例2 （2010年重慶理）已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)A，B滿足=3，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________.

解：由拋物線定義知，弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于焦點(diǎn)弦長的一半，由引申1知3=，即cosα=，所以AB===，從而弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

例3 （2010全國卷Ⅱ理）已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)． 若=3，則k=（ ）

A. 1B.

C. D. 2

解：由引申2知，=，即得cosα=，所以斜率k=tanα=. 故選B.

評注：本文得出的相關(guān)結(jié)論能有效地解決一類共線焦點(diǎn)弦問題，可在選擇題和填空題中直接使用. 此外，本文探究中運(yùn)用了類比的方法，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方法，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要途徑，應(yīng)該予以重視.

同型演練

1. （2009年全國Ⅱ理）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若=4，則C的離心率為（ ）

A. B.

C. D.

2. （2010年全國卷Ⅰ文）已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且=2，則C的離心率為________.

3. （2010年遼寧理）設(shè)橢圓C：+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，=2.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）如果AB=，求橢圓C的方程.

參考答案：1. A；2. ；3. （1）e=；（2）+=1.