一道高考題的別證與探究

摘 要：本文給出2011年高考全國卷的一道試題的別證，從而通過探究、證明得出圓錐曲線上四點共圓條件的兩個定理，并舉例說明定理的應用.

關鍵詞：考題；探究；定理；證明；應用

2011年高考全國卷第21（理），22（文）題（以下稱考題）為：

已知O為坐標原點，F為橢圓C：x2+=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為－的直線l與C交于A，B兩點，點P滿足++=0.

（1）證明：點P在C上；

（2）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A，P，B，Q四點在同一圓上.

考題的別證

證明：（1）橢圓C的兩個焦點為F（0，1），F1（0，－1），直線l的方程為y= －x+1，代入x2+=1，并化簡得4x2－2x－1=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），則x1+x2=，x1x2=－；

y1+y2=－（x1+x2）+2=1，y1y2=（－x1+1）（－x2+1）=－.

由題意知，O為△ABP的重心，

故x3=－（x1+x2）=－，y3=－（y1+y3）= －1，即P－，－1.

因為PF+PF=+=2，

所以點P在橢圓C上.

（2）由P－，－1和題設知，Q，1，所以PQ的方程為y=x.

由y=－x+1y=x 得l與PQ的交點為M，，

因為·=-x1，-y1·x2－，y2－=（x1+x2）－x1x2+（y1+y2）－y1y2－=，

且·=，·，=，所以·=·，即=，由圓冪定理的逆定理知，A，P，B，Q四點在同一圓上.

探究四點共圓條件

由上述（2）的證明過程，我們得到

定理1 設線段AC與BD（或延長線）相交于點M，若·=·，則A，B，C，D四點共圓.

證明：易得·=·cos?芻，?酆，

·=cos?芻，?酆.

當AC與BD相交于點M時，

?芻，?酆=<，?酆=0；

當AC與BD的延長線相交于點M時，

?芻，?酆=?芻，?酆=π.

因為·=·，

所以=.

根據圓冪定理的逆定理知A，B，C，D四點共圓.

顯然，考題中的A，B，P，Q四點均在橢圓上，且AB與PQ斜率的和等于零，即AB，PQ的傾斜角互補；因此，對于一般的圓錐曲線，我們猜想并證明了下述定理.

定理2 設AC，BD是橢圓或雙曲線+=1（m>0，n>0或mn<0）或拋物線y2=2px，x2=2py（p≠0）的任意兩條弦，若AC，BD的傾斜角互補，則A，B，C，D四點共圓.

以橢圓或雙曲線+=1（m>0，n>0或mn<0）為例證明如下：

證明：因為AC，BD的傾斜角互補，所以

（1）?搖當AC⊥x軸時，結論顯然成立；

（2）?搖當AC不垂直于x軸時，設AC與BD相交于點M（x0，y0），且直線AC的傾斜角為θ，則直線AC的參數方程為

x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t為參數）；①

直線BD的參數方程為

x=x0+tcos（π－θ），y=y0+tsin（π－θ）（t為參數）.②

將①代入+=1，化簡得

（msin2θ+ncos2θ）t2+2（my0sinθ+nx0cosθ）t+nx+my-mn=0，

故AMMC=t1t2= ；

將②代入+=1，同理得

BMMD=.

于是AMMC=BMMD，從而A，B，C，D四點共圓.

類似地，對于拋物線y2=2px或x2=2py（p≠0）也成立.

共圓條件的應用

例 （2002年江蘇卷）設A，B是雙曲線x2－=1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點.

（1）求直線AB的方程；

（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？

解：（1）AB的方程為y=x+1；

（2）由題意，CD的方程為y=－x+3，

解法一 （利用定理1）由y=x+1，x2－=1 得x2－2x－3=0，

所以x1=－1，x2=3，

即A（－1，0），B（3，4）.

由y=－x+3，x2－=1 得x2+6x－11=0，

所以x3=－3－2，x4=－3+2，即C（－3－2，6+2），D（－3+2，6－2）.

因為AB與CD的交點為N（1，2），所以·=（2，2）·（2，2）=8，?搖·=（4+2，－4－2）·（－4+2，4－2）=8.

于是·=·，從而即A，B，C，D四點共圓.

解法二（利用定理2）

因為kAB+kCD=0，所以AB，CD的傾斜角互補. 又A，B，C，D四點在雙曲線x2－=1上，由定理2知，A，B，C，D四點共圓.