多變量最值問題的求解策略

摘 要：多變量最值問題是一種常見的題型，也是高考以及競賽考試的熱點.本文給出了解決多變量最值問題的十二種求解策略，從例題的解答和分析中可以看出，解答這類問題的關鍵是能運用數學基礎知識、數學思想方法，靈活解決問題.

關鍵詞：多變量；最值；策略

多變量最值問題是中學數學常見問題之一，在高考、高考模擬考試及競賽中經常出現. 這類問題內涵豐富、知識面廣、綜合性強，解法靈活多變，主要考查學生運用數學基礎知識、數學思想方法，靈活解決問題的能力. 學生往往難以找到解題思路，束手無策，不知從何處突破. 下面舉例分析有關多變量最值問題求解的一些策略，略談己見.

策略一 基本不等式法

例1 （2010年重慶高考題）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是

（ ）

A. 3B. 4

C. D.

解：因為x+2y+2xy=8，所以8－（x+2y）=x·（2y）≤2.

整理得，

即，又，x+2y≥4，故選B.

例2 （2006年重慶高考題）若a，b，c>0，且a2+2ab+2ac+4bc=12，則a+b+c最小值是（ ）

A. 2B. 3

C. 2?搖?搖?搖?搖 D.

解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥a2+4bc+2ab+2ac =12，

因此a+b+c≥2，故選A.

評析：運用基本不等式是解決多變量最值問題的常用方法.但要注意對基本不等式靈活變形，如a+b≥2，ab≤2等.

策略二 變量分離法

例3 （江蘇無錫2010年秋高三期末）不等式x+≥a－2+siny對一切實數x，y均成立，則實數a的取值范圍是________.

解：變量分離得 x+－siny≥a－2. 因為x+－siny≥2－1=1，所以a－2≤1，打開絕對值得1≤a≤3. 故所求得實數a的范圍為［1，3］.

例4 設x>0，y>0，不等式++≥0恒成立，則實數m的最小值是________.

解：－m≤x+y+=2++. 因為++2≥4，所以－m≤4，即m≥－4.

因此m的最小值是-4.

評析：多變量問題中常用的方法之一就是將其中的某一變量分離出來，通過對一邊表達式范圍的確定得到另一邊的范圍.

策略三 變量消去法

例5 （2008年江蘇高考題）設x，y，z為正實數，滿足x－2y+3z=0，則的最小值是________.

解：由已知條件得y=，帶入算式得

?搖 ===++≥2+=3，

所以的最小值是3.

評析：多變量問題中最基本的方法之一就是消去變量，通過減少變量的個數，轉化成求函數最值或者其他多變量問題求解.

策略四 整體代換法

例6 （泰州2010年秋高三一模）已知正實數x，y，z滿足2xx++=yz，則x+x+的最小值為?搖?搖?搖?搖

解：由條件可得x2+x+=，

則x+x+=x2+x++=+≥2=，所以所求最小值為.

例7 （2010年江蘇高考題）設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是________.

解：因為=≤=27，所以的最大值是27.

例8 （泰州2009年秋期末題）已知實數x，s，t滿足8x+9t=s，且x>－s，則的最小值為________.

解：由已知得9（x+t）=x+s，

則==x+s+=（x+s）+≥6，所以所求最小值為6.

評析：變量較多時，往往是不能單獨求出各個變量，但可以把它們看成整體，不需要求出具體的變量，往往能夠較易解決.

策略五 判別式法

例9 （2011年浙江高考題）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

解：設2x+y=t，所以y=t－2x；代入4x2+y2+xy=1整理得6x2－3tx+t2－1=0. 因為關于x的方程有根，所以Δ=（-3t）2－4×6×（t2-1）≥0，解得－≤t≤. 因此2x+y的最大值是.

例10 （蘇北四市2010年秋高三一模）已知實數a+b+c=9，ab+bc+ca=24，則b的取值范圍是________.

解：由已知得a+c=9－b，又ca=24－ab－bc=24－b（9-b）=24－9b+b2，

所以a，c是方程x2－（9-b）x+24－9b+b=0的兩根.

由Δ≥0得（9-b）2－4·（24-9b+b2）≥0，解得1≤b≤5.

評析：在涉及關于某個變量的二次方程時，往往考慮方程有解，對不等式Δ≥0求解；另外在類似有關x+y，xy的式子時，有時聯想到根與系數的關系，運用判別式就可以得到一個不等式，從而求出所求的范圍.

策略六 重新組合法

例11 （四川2010高考題）設a>b>c>0，2a2++－10ac+25c2的最小值是（ ）

A. 2 B. 4 C. 2 D. 5

解：原式=a2+++（a-5c）2=a2－ab+ab+++（a-5c）2?搖=a（a-b）++ab++（a-5c）2≥2·+2+（a-5c）2≥4. 當且僅當a2（a-b）2=1，（ab）2=1，a－5c=0同時成立時，即當a=，b=，c=時，等號成立.

評析：將含有多變量的式子重新組合，然后利用基本不等式或完全平方來求解.

策略七 數形結合法

例12 （2010秋蘇州調研）已知△ABC的三邊長為a，b，c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，則的取值范圍為________.

解：由已知條件及構成三角形的條件得b+2c≤3a，c+2a≤3b，a+b>c，a+c>b，b+c>a. 令=x，=y，則

原不等式等價于x+2y≤3，3x－y≥2，x－y>－1，x－y<1，x+y>1，

作出不等式所表示的平面區域，如圖1所示陰影部分ABCD區域，其中B，，D，.

所以的取值范圍，即x的取值范圍為

評析：多變量問題中遇到有關二元一次不等式組或類似于圓、橢圓、拋物線方程有關的不等式時，運用數形結合的方法，聯想到線性規劃、斜率、距離等，能夠相對容易地得到解決.

策略八 三角換元法

例13 已知a，b，x，y∈R，且a2+b2=1，x2+y2=4，則ax+by的最大值是_______.

解：由條件可以設a=cosα，b=sinα， x=2cosβ，y=2sinβ，

則ax+by=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos·（α－β）≤2，故ax+by的最大值為2.

評析：遇到類似圓或橢圓的方程時，可以考慮用參數方程進行三角換元，根據三角函數的有界性進行求解.

策略九 “1”的代換法

例14 已知a，b，c均為正數，且a+b+2c=1，則+的最小值是______.

解：+=+（a+b+2c）=1+++2≥3+2=3+2，故最小值為3+2.

評析：已知某些式子的值為1，可以考慮“1”的代換法.

策略十 主元法

例16 （2001年全國初中數學競賽題）求實數x，y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2達到最小值.

解：將原式展開整理成x的二次函數形式，原式=5x2+（6y-30）x+3y2－20y+46=5x+（y-5）?搖2+y－2+.

當x+（y-5）=0，y－=0， 即x=，y=時，原式取得最小值.

評析：有時將多變量問題中的某一變量看成主元，就能較易解決問題.

策略十一 放縮法

例14 已知a，b，c，d是任意正數，求+++的最小值.

解：原式=+++=+≥+===2+≥2，

當且僅當a=b=c=d時，原式取最小值2.

評析：多變量問題有時可以通過不斷地放縮，求出其范圍，但要注意其等號成立的條件，另外，運用放縮法還應注意放縮的范圍要適中，不能過大或過小.

策略十二 導數法

例18 若不等式+≤k對于任意正實數x，y成立，則k的取值范圍為________.

解：k≥，則k2≥=.

設t=>0，則k2≥.

設f（t）=，

則f′（t）=.

當t∈（0，2）時，f′（t）>0，f（t）遞增；當t∈（2，+∞）時，f′（t）<0，f（t）遞減，所以f（t）max=f2=，

因此k2≥.

故k的取值范圍為，+∞.

評析：多變量問題通過換元后變為一個變量的問題，可以運用導數法求出其最值.

總之，多變量的最值問題，情況復雜多變，解法靈活多樣，掌握這些常用方法對解決此類問題大有益處.