中學數學解題中的通解與巧解探析

摘 要：本文通過列舉實例，初步探索了通解和巧解的關系——通解是巧解的基礎，巧解是通解的升華，只談通解不談巧解，我們的解題教學就只是簡單的模仿訓練，就不會有變式更不會有創新；只談巧解不談通解，就如同空中樓閣，只是假象無實際意義.所以我們認為，只有在熟練掌握通解的基礎上，才能逐漸形成巧解的直覺. 本文旨在幫助學生開拓思維，形成變通，讓學生體驗由“通”到“巧”的思維過程.

關鍵詞：善于解題；通解；巧解

G·波利亞在《數學的發現》序言中指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練”，“掌握數學就意味著善于解題”. 怎樣才能算善于解題呢？是指既要掌握體現一般規律的基本方法（即通解），又要能具體問題具體分析，觸類旁通利用知識間的聯系解決問題（即巧解）. 在中學數學解題教學中教師往往較重視一般解法，以做到穩中求勝，而在更多時候忽視了追求數學解題的更高境界，即追求數學思維的靈活性與變通性. 在中學解題教學中，我們應當適時的引導學生具體問題具體分析，在掌握通法的同時尋求問題的特殊性與普遍性的聯系，從而訓練學生的思維，使其感悟數學的精神. 下面我們通過幾個具體的例子作進一步探析.

例1 f（x）=，a，b∈R+且a≠b，求證：f（a）－f（b）

法一 f（a）－f（b）=-=<=≤a－b.

結論得證.

法二 構造雙曲線y2－x2=1（y>0），由雙曲線的幾何意義：

對任意的x1，x2∈R，且x1≠x2有<1，

所以f（a）－f（b）

法三 由a，b的對稱性，不妨設a

由構成三角形的條件AB?搖－AD?搖b時結論仍然成立.

法四 令m=（1，a），n=（1，b）得出m－n=（0，a－b），（a≠b）得出m－n=a－b.又由構成三角形的條件m?搖－n?搖

解析 法一思維較常規，先將f（a）－f（b）表達出來，再利用不等式的縮放技巧，證得結果成立，其思維過程大多數人能想到，但難點在于放縮的過程，易錯且不容易想到. 而其他三種方法，思維方法都獨特新穎，其本質都是數形結合. 法二，將f（x）變形，發現f（x）的圖象是雙曲線的上半支，利用雙曲線半支上的任意兩點間的斜率與漸近線斜率之間的關系，將不等式證明成功轉化為兩點間斜率的絕對值的取值范圍問題；題眼在于對f（x）變形，且能及時聯系雙曲線一支上點的性質. 法三，則是從問題入手，觀察發現要證的是差的絕對值小于某個可以看成長度的式子，自然聯想到三角形的三邊關系，構造三角形的思路就自然形成了，當然放在直角三角形去研究是最簡單的. 法四，與法三實際上是異曲同工，三角形可以看成是首尾相接的三個向量連接而成的，將圖形與向量結合起來考慮，這四種不同的方法分別從不同的方面將學生的思維加以拓寬.

例2 對任意的n∈N+， 求證：1+n<4.

法一

1+n=C+C·+…+C+…+C=1+n×+×1×1-+×1×1-×1-+…+×1×1-×1-×…×1-…+×1×<1+1+++…+=3－<3. 得出1+n<4.

法二 ·1+n=··1+n

解析 法一的思維過程較為常規，利用二項式展開式，再逐項縮放，使和式最終放為一個可以求解的和，即等比數列的前n-1項和. 整個求解過程的難點在于對×1×1－×1－×…×1－<×1×1×…×1<×1×××…×<（k>1，k∈Z） 的縮放過程，不易想到縮放為一等比數列. 而法二，則通過配湊再利用均值不等式的推廣公式巧妙簡潔地將問題解決，使原本很繁瑣的證明通過整體的思想僅用幾個步驟便得以證明.

例3

解方程+=6.

法一 移項得=6－，平方得x－6=－2；再通過平方化簡可以求得x=±.

法二 由等差數列的定義，將3看成和的等差中項，設公差為d，則有:

=3－d，①=3+d，②

再根據兩根式中的相同部分，將方程①，②兩邊平方，再兩式相減，解出d=x，代回①或②式，可以解得x= ±.

解析 誠然法二和法一究其本質是一樣的，但是從思路這個角度來講法二比起法一更具創新性，結合到等差數列的性質以及橢圓及其標準方程的化簡啟發，注重了對知識的遷移，體現了較高的思維價值，對解決有些更復雜的問題更具有參考價值.

例4 已知cosα+2sinα=－，求tanα的值.?搖

法一

解方程組cosα+2sinα=-，sin2α+cos2α=1，

得cosα=－，sinα=－，

所以tanα=2.

法二 令tanα=x，由題可知α是第三象限角，不妨設：π<α<.

構造直角三角形如圖2所示：

則有：+2=

解得：x=2，即tanα=2.

法三 由cosα+2sinα=－，可得+=－1，?搖?搖cos（α－β）=－1，其中tanβ=2，所以α－β=（2k+1）π，于是tanα=tanβ=2.

解析 法一直接利用三角恒等式聯立方程組，通過解方程組得出結果，是常用方法，對思維的要求不高. 但是，二元二次方程組計算量較大，有時還會出現兩個解的情況，討論起來比較麻煩也容易出現計算性錯誤，具有一定的局限性. 法二則是回歸到三角函數和直角三角形的關系中，結合勾股定理巧妙地將三角函數求值問題轉化到代數式求值問題. 但是，這種方法帶有特殊性，在使用時一定要注意角的范圍，做題時一定要具體情況具體分析. 法三，則是將等式右邊化為特殊的三角函數值，結合常用的三角函數公式，巧妙地避開了對角的討論，化簡起來也相當方便，對于解決這一類問題都是行之有效的！

其實，只要細心地研究每年高考數學試題，不難發現，高考試題中所考查的解題方法都在通法的范圍內，但也不排除用巧法來解決問題. 通法的思想順乎一般規律，其操作過程易于掌握，中下生歡迎它. 他們覺得通法自然、流暢、易于理解，但是其思維本質是定式思維. 而巧法則是思維的升華，“在反復考慮一個問題之后，突然得到了一個巧妙的想法，頭腦中掠過一道靈光，頓時覺得豁然開朗，我們仿佛看到了太陽，有一種無法言語的快樂”這個過程培養了學生數學能力，增加了數學感覺. 所以我們在教學過程中需要強調的是：每個學生都應該掌握各類數學題的通法，但同時也要適度地掌握一些“特技”，提倡讓學生們從通法的回顧和反思中，去自然地發現和提煉“巧法”. 這樣既進行了思維鋪墊，創設了思維情景、暴露了思維過程，培養了思維能力，又利于學生從大量煩瑣的運算中解脫出來，進一步優化學生的思維品質，培養學生的求簡意識和創新能力.