“三自主”模式下的“函數單調性”的學案設計與反思

摘 要：“三自主”教學模式基于問題導引和嘗試練習的定向設計，筆者在函數單調性的學案設計中，引入“三自主”教學模式，并取得了成功. 本文對函數單調性的教學背景進行了簡明扼要的分析，完整展現了學案的設計，充分闡述了對設計的思考. 在取得成功的基礎上，對“三自主”教學模式進行了反思，總結了使用該模式進行教學的經驗.

關鍵詞：“三自主”教學；函數單調性；教學設計

教學背景

函數的單調性是函數的一個重要性質，函數單調性的學習對于今后學習函數其他性質以及研究基本初等函數具有重要意義，在其他方面也有著廣泛的應用，在高考中有著重要地位.在前幾屆的高一教學中，對于函數的單調性，筆者都是按照傳統模式上課的，教師引入——提問——講解——總結，學生思考——回答——練習——小結. 但是實踐下來，學生對單調性概念中的“任意”兩字理解還是不深刻，一些易錯的地方總是要出錯，如反比例函數在定義域內為什么不單調，定義法證明的步驟不規范、不嚴謹等. 究其原因有兩點：一是學生上課前沒有預習，缺少對概念的基本了解，學生被教師牽著鼻子走，沒有自己的見解和思想. 二是雖然教師在講解時作了適當的引入和鋪墊，但由于課堂時間的有限性，還是導致學生參與的太少，因此無法深入理解概念. 本文是筆者在函數單調性概念課開展“三自主”教學的一次成功嘗試. “三自主”模式是為探索適合我校實際，為提高學生學業成績和自主學習能力而開展和實施的一種教學模式. “三自主”即課前自主預習、課內自主探討交流、課后自主練習. “三自主”模式是指學生學習過程中的三個環節：課前預習環節讓學生自主預習，完成學案中的問題導引和嘗試習題；課內自主探討交流環節是指在學生完成學案的基礎上，師生探討交流，教師進行有針對性的講授，然后完成課內過關練習，教師當場組織校對答案，及時反饋課堂教學效果；課后自主練習環節是在完成課堂教學任務后，學生自主完成教師精心設計的課外提高訓練.

下面就這一課時的問題導引和嘗試練習的編制及教學探討筆者的設計思路及看法.

學案的設計

問題導引和嘗試練習是“三自主”數學學案的兩個重要模塊，它們的編制要圍繞教學目標的達成而設計. 現對教學目標作如下分析：（1）知識與技能：理解函數的單調性、單調區間的概念，并能根據函數的圖象指出單調性、寫出單調區間，能運用定義證明簡單函數的單調性，同時體會數形結合的思想方法.（2）過程與方法：通過學生自主預習且完成學案，引導學生舉出實例，畫出函數的圖象，觀察、猜想、操作、驗證、抽象、概括，形成概念，通過探討、交流、體驗，由直觀感知到符號表示、由具體到抽象、由特殊到一般的認知規律，經歷和感悟定義形成及數學知識的發生、發展過程. （3）情感態度與價值觀：經歷自主學習、探討交流的過程，體驗數學的思考和研究問題的方式，提升數學閱讀理解能力及數學素養，培養勇于探索、求真務實的科學自主精神. 圍繞這個教學目標，筆者編制了如下的問題導引和嘗試練習：

1. 問題導引的設計

（1）函數的表示法有哪些？你能用圖象法舉出函數的幾個具體的生活實例，并結合圖象說明函數的變化規律嗎？

設計意圖：復習上一節內容的同時，通過具體的生活實例讓學生觀察函數圖象的上升、下降，使其形成對函數增減性的直觀感知，認識到研究函數增減性的實際意義.

（2）試用圖象法說明在定義域內函數y=x2隨x的增大，相應的y的值如何變化？

設計意圖：借助熟悉的二次函數圖象，引導學生歸納出函數圖象在定義域內不總是上升或下降，進而提問學生如何更準確、更具體地刻畫圖象的有升有降，讓學生體會引入區間來刻畫升降的必要性，說明函數的增減性是相對于某一具體區間而言的.

（3）試用列表法分析和判斷f（x）=x2的增減性.

這種分析方法完整和嚴密嗎？為什么？

設計意圖：引導學生把從圖象上得到的單調性變化規律轉化到用數學關系來表述. 由直觀到抽象，揭示知識的生成過程；使學生認識到自變量取值的無限性，即自變量是無法用表格一一列舉完全的，激發學生的尋找有效證明方法的興趣；從而引導學生想到能代替無限取值的兩個任意自變量x1、x2，進而去比較f（x1）與f（x2）的大小. 從而突破了教學難點，讓學生明白增減性定義形成的必然性和價值.

（4）試用解析法，即代數推理的方法，證明f（x）=x2在區間［0，+∞）上f（x）隨x的增大而增大？

設計意圖：讓學生體會判斷函數單調性與證明函數單調性的差別，嘗試用定義法去證明單調性，雖然步驟不完整，但因為有了事先對教材的閱讀，學生基本上都能想到此法. 同時引導學生得出比較兩數大小的基本方法：作差法.為用定義法描述和證明單調性作了第一次鋪墊.

（5）增函數（減函數）的定義怎樣？請指出哪些是關鍵詞，并說明這些關鍵詞的作用與含義. 定義中“當x1

設計意圖：促成學生對概念的深刻理解，引導學生去探究概念的本質，達到對概念的完整認識，建立斜率與導數的幾何形式的聯系. 特別要引導學生理解以下兩方面；一是定義表述中強調了給定區間，就是說函數的單調性是相對于某一具體區間而言的；二是定義表述中的“任意”x1、x2，隱含了兩方面的含義：第一x1，x2必須是同一個單調區間上的兩個自變量；第二x1、x2在同一個單調區間上必須具有任意性，否則定義將不具備充分性.

（6）什么是函數的單調性？什么是單調區間？單調性與增減性有什么聯系？

設計意圖：為學生理解相關概念提供思考的問題，引導學生在自主預習中作深入思考，理解概念的本質. 單調性分為增函數和減函數兩種情況，若一個函數在某區間上它既有增又有減，那它在該區間上就既不是增函數也不是減函數，即在這個區間上不單調；為了能局部地描述圖象特征，因此引入了單調區間的概念，也就是說確定在哪個范圍是增的，哪個范圍是減的，因此函數的單調性是針對某一范圍來講的.

（7）仔細閱讀書上第29頁例2，體會函數單調性在物理學中的應用，并總結用定義法證明單調性的步驟.

設計意圖：掌握證明函數單調性的方法及基本步驟，并深入理解什么是代數證明，代數證明要做什么事，將代數證明程序化、符號化，同時體會單調性在實際問題中的應用，呼應了問題1研究函數單調性的實際意義.

2. 嘗試練習的設計

例1 如圖1所示，此函數的單調遞增區間是________，單調遞減區間是________.

設計意圖：能根據函數的圖象指出單調性，寫出單調區間.

例2 填表

設計意圖：以表格形式呈現有益于掌握這三個基本初等函數的單調性，同時體會定義域是研究單調性的前提，單調區間一定是定義域的子集. 其次二次函數和反比例函數是學好單調性的很好載體，把這兩個函數弄清楚了，以后其他的函數也就沒問題了. 引導學生用兩個很形象的語句來描述這兩個函數單調性的特征，二次函數的特征是“一國兩制”，同一個函數兩個不同的單調性，這里對于反比例函數單調性組織學生討論，最終得出其特征是“軍閥割據”，盡管在（－∞，0），（0，+∞）上都是增或減的，但它們各自為營，互相獨立，不能將區間合并，同時總結如何用反例否定函數的增減性.

例3 已知函數f（x）=x+（x≠0），證明函數在［1，+∞）是增函數.

設計意圖：通過學生板演，暴露學生的錯誤及表達的不規范性，然后讓學生自我糾錯，完善解題步驟. 最后師生總結書寫的注意點及解題中關鍵步驟“變形”的目標和基本技能，形成“取值—作差—變形—定號—判斷”這一基本步驟.

例4 已知函數f（x）=ax2－2x+3在（－∞，3）上為單調函數，求a的取值范圍.

設計意圖：對單調性的拓展與延伸，使學生理解“在某個區間上具有單調性”與“函數的單調區間是某個區間”這是兩個不同的概念，前者是后者的子集；同時鞏固一次與二次函數的單調性知識，滲透分類討論的思想：其一是對二次項系數是等于0、大于0還是小于0的討論，其二對單調函數要分成單調增和單調減兩種情況考慮.

“函數單調性”的“三自主”教學反思

1. 開展“課內探討交流”前，教師需要充分了解學情

“三自主”模式提出把課堂還給學生，表面上好像解放了教師，其實不然. 教師需要對學生及其學習的知識點的情況有很高的熟悉程度，課前需要對學案進行檢查和批閱，以便教師更好地在課堂中起啟發、引領的作用. 譬如例4的解答，在檢查學案時發現學生的解答條理不清，不會分類討論，其次還是用單調性定義在證明. 這說明學生不知道一次函數和二次函數單調性的結論可以直接運用. 此時就需要教師及時點撥、引導和總結. 同時，由于在課堂上可能出現更多、更復雜的一些即興情況，這就需要教師站得更高，根據實際及時來調整課堂.

2. 教師要設計“有效”的問題導引和嘗試練習

張奠宙教授提出：“教師的責任在于把寫在教科書上的冰冷的學術形態，恢復為學生易于接受的火熱思考的教育形態” .學案中的問題導引和嘗試練習是學生的指路明燈，它起到指引學生進行自主預習、促進學生由淺入深理解概念及學會運用概念的作用，問題導引和嘗試練習編制的質量好壞直接關系到“三自主”上課的成敗. “三自主”教學模式基于問題導引和嘗試練習的定向設計，使得學生易于接受和理解教科書上的冰冷的學術形態. 同時，學生在完成學案和探討交流中暴露出來的問題， 使得教師易于捕捉學生存在的問題，從而進行“有的放矢”的教學，以致提高課堂教學的有效性. 最關鍵的是，“三自主”教學以學生自主預習為前提，以學生探討交流為重心，易于培養學生良好的自學習慣和提高學生的自主能力，最終達成培養學生分析問題、解決問題和總結反思能力的目的.

3. 教師要有選擇地引導學生開展“課內探討交流”

組內相互討論是探討交流的主要方式，這樣可以通過合作學習的方式對基礎相對較差的學生給予指導，培養學生互幫互助的精神. 但組內探討比較費時，哪些問題需要組內探討，哪些只需直接提問回答，哪些需要學生上臺板演，這都需要教師在上課前了解學生的學案完成情況，有目標性地、有選擇性地組織學生討論. 譬如例1，對于一次函數的單調性，學生回答就好；而對于反比例函數，它在整個定義域上是不是減函數或增函數，這就需要組織學生探討，在此基礎上進行總結. 這樣引導的好處是，其一，進一步加深理解單調性定義中引進區間的必要性；其二，讓學生學會用“反例”說明函數不具有單調性，理解“單調性定義”這一命題是如何進行否定的，提高了學生的數學思維能力，為今后否定奇偶性奠定了基礎. 又譬如例1就只需提問回答，例3則需要學生上來板演，這樣可以將書寫格式呈現出來，暴露學生的錯誤及表達的不規范，然后師生共同糾錯，總結歸納證明的基本步驟和強化證明的關鍵步驟——“變形”，進而扎實掌握證明的全過程.