意料之外 情理之中

摘 要：以課本中兩個習題的相似性為源頭，以學生課堂上的動態生成為著力點，讓學生在活動的過程中體驗問題意識與創新的重要性，并理解利用數學對象之間的相似性是問題產生的一種有效策略，從根本上改變學生的學習方式． 并進一步論述了這種學習方式是有助于激活學生的創新思維意識、培養學生良好思維品質的． 而對于面臨高考在有限時間內進行復習的高三學生而言，這樣的學習尤其顯得更有意義．

關鍵詞：反思；生成；學習方式；能力

在最近一次執教高二理科普通班數學時，由于學生數學基礎比較薄弱，筆者平時除了精心備課之外，還非常注重從作業中獲取反饋信息，以達到查漏補缺、強化基礎的目的． 那天，筆者在借助多媒體講完《雙曲線的定義及其標準方程》后，學生們的作業中幾乎沒發現什么錯誤，他們掌握的都非常好． 于是，筆者就認真地備好了下一節課，準備在課堂上再大展身手一番，不料在上課時卻從 “斜刺里殺出個程咬金”，攪亂了全盤計劃．

在那天的數學課上，筆者首先對學生們的作業情況予以了表揚，然后準備上新課.正在這時，一個學生在下面講道：“張老師，我覺得作業中第1題與課本第96頁的小練習中的第4題是一樣的，它們之間有什么內在關系嗎？”

作業中第1題，即課本（人教版高中新教材第二冊（上），2004年6月第一版，下同）第108頁習題8.3中第1題：

△ABC一邊的兩個端點是B（0，6）和C（0，－6），另兩邊所在直線的斜率之積是，求頂點A的軌跡方程．

課本第96頁的小練習中的第4題：

△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（－6，0）、（6，0），邊AC，BC所在直線的斜率之積是－，求頂點C的軌跡方程．

“什么關系呢？”筆者既高興又擔心，高興的是這個學生能用聯系的觀點看待問題，擔心的是課堂計劃完成不了．

“相關性.”不少學生在下面叫道．看樣子筆者昨天在課堂小結時強調的“橢圓和雙曲線的某些性質具有相關性”，有些學生已經學以致用了． 如果筆者現在淺嘗輒止，馬上把學生們的思維拉到新課“軌道”上來，不少學生肯定是心有不甘．于是筆者來個就坡下驢．

“能說得具體些嗎？”筆者問．

學生：“這兩個軌跡，一個是雙曲線，一個是橢圓，雖然兩個定點的位置不同，但這不影響軌跡的形狀，差別主要在斜率之積的符號上． 要找出它們之間的關系，應考慮它們一般性的情況．”

“非常好，先考察它們的一般性.為了發現問題的方便，我們把兩個定點都定在橫軸上． 下面請大家互相討論交流一下，它們的一般性情況是怎樣的．” 筆者及時給予了鼓勵．

幾分鐘后，筆者請幾個學生講了他們的討論成果，并經大家討論完善，得到如下兩個一般性的情況．

題1：△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（－a，0），（a，0），a>0，邊AC，BC所在直線的斜率之積是－（a>b>0），求頂點C的軌跡方程．

答案是：+=1?搖（x≠0）．

題2：△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（－a，0），（a，0），a>0，邊AC，BC所在直線的斜率之積是（b>0），求頂點C的軌跡方程．

答案是：－=1?搖（x≠0）．

筆者引導學生們比較這兩題的題設、結論及解法的異同，并啟發大家能否合二為一？在大家討論交流之后，一個學生給出如下一個問題：

△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（－a，0），（a，0），a>0，邊AC，BC所在直線的斜率之積是m，求頂點C的軌跡方程．

“它的軌跡方程是……”筆者話還沒講完，學生就異口同聲地說：“－=1（x≠0）”． 由前兩題做鋪墊，這道題的結果簡直是水到渠成．

?搖“那么，它表示什么曲線呢？”筆者不失時機地問．?搖

“m>0時，表示雙曲線；m<0時表示橢圓.” 學生們覺得這個問題太簡單了．

“真的嗎？”一聽這句話，大家開始認真思考起來．

學生1：“m>0時，表示去掉A，B頂點的雙曲線；m<0時表示去掉A，B頂點的橢圓．”

學生2：“不對，它也可表示圓．”

學生3：“m<0且m≠－1時表示去掉A，B兩個頂點的橢圓；m=－1時表示去掉A、B兩個端點的圓．”

“真是太棒了，”筆者總結道，“我們由課本上的兩道習題得出其一般性的情況，并發現了它們的內在聯系，而且還有了一個意外收獲，知道了它什么時候可以表示圓，其實這種情況乃是課本第72頁第8題的一種變式． 學生們在以后解題當中，就應該像今天一樣，多思多想多總結，這樣才能不斷提高解題能力……”這時筆者已看見一個學生高高地舉起了手．

“你又有什么新發現？”

“我發現它的逆命題也成立．對于橢圓方程+=1（a>b>0），A（－a，0），B（a，0），C（x0，y0）為橢圓上不同于A，B的點，則有kCA·kCB=－，在雙曲線中也有這樣一個結論．” 這個學生迫不及待地說道．

太絕了． 學生們都被這個學生窮追不舍的鉆研精神所折服，情不自禁地鼓起掌來．

“雙曲線中的結論是怎樣的？”筆者環視大家，然后叫了一個基礎比較薄弱的學生回答．

“在雙曲線-=1中， A（－a，0），B（a，0），C（x0，y0）為雙曲線上不同于A，B的點，則有kCA·kCB=．” 他猶豫了半天，最后才說出來．

一語驚醒夢中人．通過學生們的探索，使筆者猛然想起了2003年春季上海市的一道高考題． 筆者馬上啟發大家：“若A，B不是曲線的頂點，而是曲線上關于原點中心對稱的任意兩點，結論怎樣？”然后筆者急步趕到辦公室，從其文摘卡中找到該題． 當筆者回到教室時，發現有些學生已經成功了．

“結論怎樣？”筆者問道．

“結論不變．” 大家眾口一詞．

“很好，下面我們來看一道高考試題．” 筆者邊說邊把這道試題投影到屏幕上．

題 （2003年春季上海市高考題）已知橢圓C1：+=1（a>b>0）具有性質：若M，N是橢圓C1上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時，則kPM·kPN是與點P無關的定值．試對雙曲線C2：－=1寫出類似的性質，并加以證明．

通過前面的探索，大家對這道習題的回答已不成問題了．

本節課純屬是一堂“意料之外”的一節課，事先毫無準備，但從整節課的氣氛及效果來看，氣氛是熱烈的，學生們的參與度也比較高，效果也比較好．為什么會產生這堂課，筆者想這與其平時在課堂上要求學生“多用聯系的觀點審視問題，多注重解后反思”的思想是分不開的． 雖有意料之外，但也在情理之中．通過這節“意外”之課，使筆者深有感悟．

（1）教師應幫助學生及時反思解決問題的過程． 現代心理學告訴我們，認知結構中如果沒有適當起固定作用的觀念，那么知識的同化和順應是難以實現的，而反思解題實際上是一個解題學習的強化過程，一個增加解題的可供聯想儲備信息的過程． 通過反思，有利于學生進行深層次的建構． 在學生解決問題的整個過程中，教師應適時地給予評價，促進學生的反思，培養學生的反思習慣，即元認知的意識． 通過反思使整個解決問題的活動得到升華，使學生新的知識經驗得到鞏固． 本節課可以說是學生通過作業反思而引申出來的一節課，在學生不斷的反思中，激發了他們解決問題的熱情和興趣，并通過學生自己的探索從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗． 另外，在反思過程中，教師應不斷地鼓勵學生進行交流，讓學生在交流中反思，在反思中交流，充分給學生以發現、探索、總結、發展的空間，以使學生可以不斷地調整、修正自己對新問題的理解． 從而，進一步培養學生的創新精神和實踐能力．

（2）教材首先是學生獲得知識結論的載體． 隨著學習的深入，知識積累的增多，各部分知識在各自發展中的縱向聯系和部分知識之間的橫向聯系日益密切，不失時機地構筑知識網絡并在各個階段逐步擴充和完善是扎實掌握基礎知識的重要一課． 教材中的許多例題和習題都反映了相關數學理論的本質屬性，蘊含著數學的重要思維方法和思想精髓． 對這類數學問題，通過類比、延伸、遷移、拓展，提出新的問題并加以解決，能有效地鞏固基礎知識，發展數學能力，發揮教材的擴張效應． 美籍匈牙利數學家G·波利亞也指出：在解題時，應不斷地變換你的問題，必須一再地變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止． 本節課通過學生作業的“偶然”發現，以一及類，層層遞進，不斷變化，使學生在“火熱的思考”當中，欣賞了數學“冰冷的美麗”，也發現了高考試題的“廬山真面目”． 這對挖掘教材習題的潛在功能，構建學生的知識網絡，提高學生探索解決問題的信心，無疑是有幫助的．?搖

（3）學生課堂學習的方式可以是多樣的．《高中數學課程標準》指出：“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識．” 高中數學教學大綱也要求，在高中階段必須開展形式多樣的研究性學習．研究性學習在課堂上應如何開展？關鍵在于教師要把研究性學習的理念滲透到學科教學之中，在教學中充分發揮學生學習的主體作用，結合學科教學內容，讓學生在教師的指導下自主地發現問題、探究問題、獲得結論，而不是把現成的結論告訴學生． 本節課從課本中兩個習題的相似性出發，由學生自主地提出問題，進行一系列的探究活動，讓學生在活動的過程中體驗問題意識與創新的重要性，并理解利用數學對象之間的相似性是問題產生的一種有效策略，從根本上改變學生的學習方式． 這是完全有助于激活學生的創新思維意識、培養學生良好思維品質的． 而且這對于面臨高考在有限時間內進行復習的高三學生而言，這樣的學習尤其顯得更有意義．