“探究→建?！迸c“建?！骄俊?/h1>
2012-04-29 00:00:00朱建良
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版 2012年3期
摘 要：本文探討了對于一個問題從兩個模式，即“探究→建模”與“建?！骄俊?，進(jìn)行建模，并闡述了建模教學(xué)應(yīng)該要讓學(xué)生學(xué)到解決問題的方法，要教會學(xué)生探究和交流，要培養(yǎng)其創(chuàng)新思維能力.
關(guān)鍵詞：建模；拓展；應(yīng)用；聯(lián)想；創(chuàng)新思維
義務(wù)教育階段的初中數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程． 教師就要善于給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維空間，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中敢于質(zhì)疑、勤于反思、善于拓展、大膽聯(lián)想，不拘泥于套用一種模型，學(xué)會多角度、多層次地審視問題，在建模解題過程中鍛煉學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生的分析問題的能力． 本文嘗試把鮮活的2011年中考數(shù)學(xué)試題編擬到課堂教學(xué)設(shè)計中，挖掘中考試題所蘊(yùn)涵的創(chuàng)新教育功能，拓展學(xué)生的認(rèn)知水平，激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性思維意識． 嘗試先探究后建模與先建模后探究二種教學(xué)形式對矩形周長最小值問題的處理策略進(jìn)行剖析，就此拋磚引玉為同行教學(xué)提供參考．
探究→建模
1. 觀察計算、引導(dǎo)學(xué)生思考
例1?搖（德州市2011年中考數(shù)學(xué)第22題）
當(dāng)a=5，b=3時，與的大小關(guān)系是__________．
當(dāng)a=4，b=4時， 與的大小關(guān)系是__________．
解析?搖由特殊值引導(dǎo)學(xué)生思考、創(chuàng)設(shè)辨識問題情境、強(qiáng)化辨異對比、引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識究竟a，b滿足什么條件時才能判斷與的大小關(guān)系．
2. 探究證明、尋求規(guī)律
如圖1所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=a，BD=b．
（1）分別用a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）．
解析：由表及里、究根問底，由代數(shù)不等式問題遷移至圓的相關(guān)問題，擺脫不等式解法的定式，發(fā)揮想象，引導(dǎo)學(xué)生善于識別具有本質(zhì)的因素，把不等式的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到線段OC與OD長，展開探究．
（1）如圖1，OC=，有△ACD∽△CBD，所以=. 即CD2=AD·BD=ab，所以CD=.
（2）當(dāng)a=b時，OC=CD， =；a≠b時，OC>CD， >．
3. 歸納結(jié)論、建立模型
根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：__________．
解析：數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦不在于全盤授予，而在于教會學(xué)生自主探究.一堂高效的數(shù)學(xué)課，不是教師個性能力的體現(xiàn)，而是學(xué)生感悟和參與的過程，在學(xué)生主動探究、證明推理的過程中感悟與的大小關(guān)系，即≥．
4. 實踐應(yīng)用
要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．
解析：從知識的掌握到知識的應(yīng)用不是自然而成的簡單運算，數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識只有在充分、有意識的訓(xùn)練基礎(chǔ)上，學(xué)會從煩亂的數(shù)學(xué)問題中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型．
設(shè)長方形一邊長為x米，則另一邊長為米，設(shè)鏡框周長為l米，則l=2·x+ ≥4=4． 當(dāng)x=，即x=1（米）時，鏡框周長最?。?此時四邊形為正方形時，周長最小為4米.
建模→探究
1. 創(chuàng)設(shè)問題情境
例2 （南京市2011年中考數(shù)學(xué)第28題）
已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
2. 轉(zhuǎn)化問題，給出數(shù)學(xué)模型
設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+（x＞0）．
解析：突破傳統(tǒng)，上題是通過探究得出不等式模型，再求解，本題大膽猜想打破思維的固有模式，直接給出函數(shù)模型求解矩形的最小值問題．
3. 尋根究底、大膽探究
（1）我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+（x＞0）的圖象性質(zhì)．
①填寫下表，在圖1上作出函數(shù)的圖象.
②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；
③在求二次函數(shù)y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值．
解析：引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，通過先建模再探究，類比求二次函數(shù)最大（?。┲档姆椒?，大膽猜想對新的問題能合理地選擇有效的手段和策略，靈活運用所學(xué)的函數(shù)知識和配方法、圖象法進(jìn)行探索研究，既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系．理清解決問題的思路后搭好探究的大方向，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，通過不斷的探索、總結(jié)、反思從圖象的最低點處，發(fā)現(xiàn)圖象最小值的含義，達(dá)到理性升華．
①，，，2，，，．
函數(shù)y=x+（x>0）的圖象如圖3．
②當(dāng)01時，y隨x增大而增大；當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x+（x>0）的最小值為2．
③y=x+=（）2+2＝（）2+2－2·+2··=－2+2． 當(dāng)－=0時，即x=1時，函數(shù)y=x+（x>0）的最小值為2．
4. 解決問題
（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．
解析：從理性證明推理過渡到正確應(yīng)用，解決“問題情境”中的問題，即當(dāng)該矩形的長為時，它的周長最小，最小值為4．
數(shù)學(xué)建模要教什么
1. 淡化形式、注重實質(zhì)
數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的基本方法之一，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，淡化建模的形式化、套路化，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，不管建模順序先后，教學(xué)中應(yīng)用“教者有意，學(xué)者無心”的形式，用建模解決問題的形式潛移默化地影響學(xué)生，使學(xué)生有意識地領(lǐng)會建模思想達(dá)到孕育建模的境界． 在建模過程中學(xué)生學(xué)到解決問題的方法，體驗到知識的產(chǎn)生過程，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、主動性．
2. 教會學(xué)生探究與交流
新課程倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該表現(xiàn)為一個探索與交流的過程，在探究的過程中形成自己對數(shù)學(xué)的理解，引導(dǎo)學(xué)生通過建模教學(xué)對數(shù)學(xué)問題要一題多解，追根溯源、橫向類比、巧妙轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化數(shù)學(xué)體驗，要時刻引導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)計“問題鏈”、主動構(gòu)知識，只有通過自身經(jīng)歷和再創(chuàng)造的做，幫助學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識. 數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)不是機(jī)械化的解題教學(xué)，而是通過“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”式的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生在探究中感悟、理解，啟發(fā)學(xué)生在充分展示思考問題的思維過程中相互探討、改正錯誤、完善解題過程，增強(qiáng)師生、生生之間的信息交流，鼓勵學(xué)生通過建模積極思考，主動進(jìn)行知識的有效延伸和拓展．
3. 培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力
數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，學(xué)起于思、思起于疑，疑則激發(fā)創(chuàng)新． 本案例對于同一問題從不同角度建模，從不等式建模到函數(shù)建模，激發(fā)學(xué)生在質(zhì)疑、探索和求異中有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，體會數(shù)學(xué)建模是橋梁.在教師合理設(shè)計和組織下，抓住教學(xué)契機(jī)讓學(xué)生思維飛揚(yáng)，跨越思維障礙，引向縱深，推向高潮. 經(jīng)歷艱難曲折的思維過程才能提高思維層次，發(fā)展思維能力，建模過程就是數(shù)學(xué)思維的碰撞與整合的過程，是認(rèn)知策略與學(xué)習(xí)策略的形成、改變與完善的過程，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)思維的活動．
蘇霍姆林斯基曾說：“教給學(xué)生能借助已有的知識獲取新的知識，這是最高的教學(xué)技巧所在．” 這正是運用建模思想解決數(shù)學(xué)問題的真實寫照，通過建模引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的探究思維過程充分展示剖析，讓學(xué)生了解探究問題的思維發(fā)展過程，從模仿體驗到實踐探究，掌握類比、對比、聯(lián)想、歸納、猜想等多種問題的探究方法，鼓勵學(xué)生從多角度建模，去思考． 建模教學(xué)要從學(xué)生的認(rèn)知特點出發(fā)，把握好建模的時機(jī)與目的，處理好建模與探究的關(guān)系，即在建模教學(xué)過程中什么地方適時介入探究、探究什么，只有正確處理好這一問題才能發(fā)揮探究學(xué)習(xí)在建模教學(xué)中應(yīng)有的作用． 同時也把所探究的問題上升到多角度分析、靈活處理、恰當(dāng)選擇的數(shù)學(xué)思維高度，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展性．
摘 要：本文探討了對于一個問題從兩個模式，即“探究→建模”與“建?！骄俊?，進(jìn)行建模，并闡述了建模教學(xué)應(yīng)該要讓學(xué)生學(xué)到解決問題的方法，要教會學(xué)生探究和交流，要培養(yǎng)其創(chuàng)新思維能力.
關(guān)鍵詞：建模；拓展；應(yīng)用；聯(lián)想；創(chuàng)新思維
義務(wù)教育階段的初中數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程． 教師就要善于給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維空間，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中敢于質(zhì)疑、勤于反思、善于拓展、大膽聯(lián)想，不拘泥于套用一種模型，學(xué)會多角度、多層次地審視問題，在建模解題過程中鍛煉學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生的分析問題的能力． 本文嘗試把鮮活的2011年中考數(shù)學(xué)試題編擬到課堂教學(xué)設(shè)計中，挖掘中考試題所蘊(yùn)涵的創(chuàng)新教育功能，拓展學(xué)生的認(rèn)知水平，激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性思維意識． 嘗試先探究后建模與先建模后探究二種教學(xué)形式對矩形周長最小值問題的處理策略進(jìn)行剖析，就此拋磚引玉為同行教學(xué)提供參考．
探究→建模
1. 觀察計算、引導(dǎo)學(xué)生思考
例1?搖（德州市2011年中考數(shù)學(xué)第22題）
當(dāng)a=5，b=3時，與的大小關(guān)系是__________．
當(dāng)a=4，b=4時， 與的大小關(guān)系是__________．
解析?搖由特殊值引導(dǎo)學(xué)生思考、創(chuàng)設(shè)辨識問題情境、強(qiáng)化辨異對比、引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識究竟a，b滿足什么條件時才能判斷與的大小關(guān)系．
2. 探究證明、尋求規(guī)律
如圖1所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=a，BD=b．
（1）分別用a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）．
解析：由表及里、究根問底，由代數(shù)不等式問題遷移至圓的相關(guān)問題，擺脫不等式解法的定式，發(fā)揮想象，引導(dǎo)學(xué)生善于識別具有本質(zhì)的因素，把不等式的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到線段OC與OD長，展開探究．
（1）如圖1，OC=，有△ACD∽△CBD，所以=. 即CD2=AD·BD=ab，所以CD=.
（2）當(dāng)a=b時，OC=CD， =；a≠b時，OC>CD， >．
3. 歸納結(jié)論、建立模型
根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：__________．
解析：數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦不在于全盤授予，而在于教會學(xué)生自主探究.一堂高效的數(shù)學(xué)課，不是教師個性能力的體現(xiàn)，而是學(xué)生感悟和參與的過程，在學(xué)生主動探究、證明推理的過程中感悟與的大小關(guān)系，即≥．
4. 實踐應(yīng)用
要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．
解析：從知識的掌握到知識的應(yīng)用不是自然而成的簡單運算，數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識只有在充分、有意識的訓(xùn)練基礎(chǔ)上，學(xué)會從煩亂的數(shù)學(xué)問題中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型．
設(shè)長方形一邊長為x米，則另一邊長為米，設(shè)鏡框周長為l米，則l=2·x+ ≥4=4． 當(dāng)x=，即x=1（米）時，鏡框周長最?。?此時四邊形為正方形時，周長最小為4米.
建模→探究
1. 創(chuàng)設(shè)問題情境
例2 （南京市2011年中考數(shù)學(xué)第28題）
已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
2. 轉(zhuǎn)化問題，給出數(shù)學(xué)模型
設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+（x＞0）．
解析：突破傳統(tǒng)，上題是通過探究得出不等式模型，再求解，本題大膽猜想打破思維的固有模式，直接給出函數(shù)模型求解矩形的最小值問題．
3. 尋根究底、大膽探究
（1）我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+（x＞0）的圖象性質(zhì)．
①填寫下表，在圖1上作出函數(shù)的圖象.
②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；
③在求二次函數(shù)y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值．
解析：引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，通過先建模再探究，類比求二次函數(shù)最大（?。┲档姆椒?，大膽猜想對新的問題能合理地選擇有效的手段和策略，靈活運用所學(xué)的函數(shù)知識和配方法、圖象法進(jìn)行探索研究，既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系．理清解決問題的思路后搭好探究的大方向，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，通過不斷的探索、總結(jié)、反思從圖象的最低點處，發(fā)現(xiàn)圖象最小值的含義，達(dá)到理性升華．
①，，，2，，，．
函數(shù)y=x+（x>0）的圖象如圖3．
②當(dāng)0
③y=x+=（）2+2＝（）2+2－2·+2··=－2+2． 當(dāng)－=0時，即x=1時，函數(shù)y=x+（x>0）的最小值為2．
4. 解決問題
（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．
解析：從理性證明推理過渡到正確應(yīng)用，解決“問題情境”中的問題，即當(dāng)該矩形的長為時，它的周長最小，最小值為4．
數(shù)學(xué)建模要教什么
1. 淡化形式、注重實質(zhì)
數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的基本方法之一，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，淡化建模的形式化、套路化，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，不管建模順序先后，教學(xué)中應(yīng)用“教者有意，學(xué)者無心”的形式，用建模解決問題的形式潛移默化地影響學(xué)生，使學(xué)生有意識地領(lǐng)會建模思想達(dá)到孕育建模的境界． 在建模過程中學(xué)生學(xué)到解決問題的方法，體驗到知識的產(chǎn)生過程，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、主動性．
2. 教會學(xué)生探究與交流
新課程倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該表現(xiàn)為一個探索與交流的過程，在探究的過程中形成自己對數(shù)學(xué)的理解，引導(dǎo)學(xué)生通過建模教學(xué)對數(shù)學(xué)問題要一題多解，追根溯源、橫向類比、巧妙轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化數(shù)學(xué)體驗，要時刻引導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)計“問題鏈”、主動構(gòu)知識，只有通過自身經(jīng)歷和再創(chuàng)造的做，幫助學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識. 數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)不是機(jī)械化的解題教學(xué)，而是通過“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”式的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生在探究中感悟、理解，啟發(fā)學(xué)生在充分展示思考問題的思維過程中相互探討、改正錯誤、完善解題過程，增強(qiáng)師生、生生之間的信息交流，鼓勵學(xué)生通過建模積極思考，主動進(jìn)行知識的有效延伸和拓展．
3. 培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力
數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，學(xué)起于思、思起于疑，疑則激發(fā)創(chuàng)新． 本案例對于同一問題從不同角度建模，從不等式建模到函數(shù)建模，激發(fā)學(xué)生在質(zhì)疑、探索和求異中有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，體會數(shù)學(xué)建模是橋梁.在教師合理設(shè)計和組織下，抓住教學(xué)契機(jī)讓學(xué)生思維飛揚(yáng)，跨越思維障礙，引向縱深，推向高潮. 經(jīng)歷艱難曲折的思維過程才能提高思維層次，發(fā)展思維能力，建模過程就是數(shù)學(xué)思維的碰撞與整合的過程，是認(rèn)知策略與學(xué)習(xí)策略的形成、改變與完善的過程，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)思維的活動．
蘇霍姆林斯基曾說：“教給學(xué)生能借助已有的知識獲取新的知識，這是最高的教學(xué)技巧所在．” 這正是運用建模思想解決數(shù)學(xué)問題的真實寫照，通過建模引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的探究思維過程充分展示剖析，讓學(xué)生了解探究問題的思維發(fā)展過程，從模仿體驗到實踐探究，掌握類比、對比、聯(lián)想、歸納、猜想等多種問題的探究方法，鼓勵學(xué)生從多角度建模，去思考． 建模教學(xué)要從學(xué)生的認(rèn)知特點出發(fā)，把握好建模的時機(jī)與目的，處理好建模與探究的關(guān)系，即在建模教學(xué)過程中什么地方適時介入探究、探究什么，只有正確處理好這一問題才能發(fā)揮探究學(xué)習(xí)在建模教學(xué)中應(yīng)有的作用． 同時也把所探究的問題上升到多角度分析、靈活處理、恰當(dāng)選擇的數(shù)學(xué)思維高度，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展性．
