以問題為中心 構建有效課堂

摘 要：函數是中學數學的重要內容，也是貫徹在中學數學中的一條主線，更是教師教學和學生學習的難點. 本

文通過具體的函數概念的教學片段的展現和分析，充分體現了發揮教師學生的雙主作用、鉆研教材、關注主體等在優化課堂、發展學生思維、培養學生能力、構建有效課堂等方面的重要作用.

關鍵詞：概念教學；主動思考；有效課堂

函數是中學數學的主要內容之一，函數思想作為基本的數學思想，貫穿于中學數學教學的始終. 那么，我們應該怎樣從函數概念的重要性的角度重視此概念的教學，在具體的教學過程中又如何實施對函數概念的教學？筆者于教學中進行了一些思考和實踐，在此談談心得.

創設問題——激發學生主動學習興趣

問題1：同學們在初中已經學過“函數”，請你舉幾個函數的例子.

在學生所列舉例子都是解析式的情況下，教師可繼續發問：

問題2：函數關系都是可以用解析式表示的嗎？

設計意圖：通過具體例子，不僅能提高學生主動學習的興趣，達到激活學生原有知識的目的；同時從中創設的問題2引發了學生的認知沖突，讓學生回顧初中學習過的函數概念，把握內涵. 教師根據所舉例子的具體情況，引導學生列舉分別用解析式、圖象法、列表法表示函數的對應關系，為下一步用集合語言來描述函數作好鋪墊，起著承上啟下的作用.

確定問題——引導學生主動觀察思考

問題3：一物體從靜止開始從490米的高空下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y=4.9x2.

教師：你能得出物體下落5秒、10秒、20秒時下落的距離嗎？其中時間x的變化范圍是什么？物體下落的距離y的變化范圍是什么？

學生：物體下落時間x的變化范圍是數集A=｛x0≤x≤10｝，下落的距離y的變化范圍是數集B=｛y0≤y≤490｝.

教師：A與B之間有關系嗎?

學生：我覺得應該有一種對應關系.

教師：對！從問題的實際意義可知，對于數集A中的任意一個時間x按照對應關系y=4.9x2，在數集B中是否都有唯一確定的下落距離y和它對應？

學生：是！

問題4：估計人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據. 從人口統計年鑒中可以查得我國從1949年至1999年人口數據資料如表所示. 你能根據這個表說出我國人口的變化情況嗎？

人口數單位：百萬

教師：年份的變化范圍是多少？人口數的變化范圍是多少？

……

問題5：如圖1為某市24小時內的氣溫變化圖.

圖1

教師：時間t與氣溫θ的關系是否和前兩個實例中的兩個變量之間的關系相似？ 如何用集合與對應的語言來描述這種關系？

……

設計意圖：在這里精選與本節課主題密切相關的三個實際問題，通過集合的觀點直接引出函數的定義，這就給學生創造了主動觀察、思考的條件和空間，充分體現運用教材的新課程理念.對于這三個問題，教師主要引導和組織學生觀察和思考，不僅讓學生分別體會到了用解析式刻畫變量之間的對應關系，用圖象刻畫變量之間的對應、關系，用表格刻畫變量之間的對應關系和初步感知了函、數中蘊涵著集合與對應關系的屬性，而且激活了學生的思維，調動了學習的主動性.

提煉問題——引導學生主動合作交流

教師：以上三個實例有什么不同點和共同點？

學生活動：先自主探究，再分小組討論交流.

學生1：歸納以上三個實例，可看出其不同點是：問題3是用解析式刻畫變量之間的對應關系，問題4是用表格刻劃變量之間的對應關系，問題5是用圖象刻畫變量之間的對應關系.

學生2：其共同點是：

（1）兩個集合之間都有一種確定的對應關系；

（2）對于A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都有確定的y值和它對應.

教師：這位同學歸納得準確不準確呢？我們先來思考下面這個問題：

問題6：下面四個圖象表示的對應關系有沒有和上述三個問題不同的？

學生3：應該是A吧，因為我發現兩個不同的x對應了相同的y.

學生4：不對，問題5中就有兩個不同的x對應了相同的y，我覺得應該是B，一個x只能對應一個y，上述三個實例都有這個特點.

……

設計意圖：能否歸納出三個實例的共同點和不同點是學生能否從集合的觀點理解函數的關鍵. 在這里，筆者為學生創設了先自主探究，再分小組討論、交流的學習情境，既有效地化解了學習的難點，又調動了全體學生學習的主動性. 特別是當學生出錯時，教師并沒有直接予以糾正，而是巧妙地出示問題6，讓學生從圖象中自己發現錯誤. 這樣的處理，不但使學生深化了對函數概念中的集合與對應關系的理解，真正成為知識的意義建構者，而且進一步體會到數形結合的方法，從而豐富了解決數學問題的經驗和方法.

延伸問題——引導學生主動嘗試歸納

教師：在三個實例中，大家用集合與對應的語言分別描述了兩個變量之間的依賴關系，其中一個變量都是另一個變量的函數，你能否用集合與對應的語言來刻畫函數，抽象概括出函數的概念呢？

筆者首先讓學生嘗試歸納，然后師生共同概括.

學生：一般地，設A，B是兩個非空數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為

y=f（x），x∈A.

其中，所有的輸入值x叫自變量，集合A叫做函數y=f（x）的定義域. 集合｛f（x）x∈A｝叫函數y=f（x）的值域.

教師：在函數的定義中有哪幾個要點？

學生：在函數的定義中有下面三個要點：

（1）函數是非空數集到非空數集上的一種對應；

（2）集合A中數的任意性， 集合B中數的唯一性;

（3）值域由定義域和對應關系唯一確定.

設計意圖：從三個問題中引申、抽象出用集合與對應的語言描述函數的定義，對大部分學生而言會比較困難. 這時，教師要先鼓勵學生嘗試，再由師生共同完成. 這個活動過程看似平淡，實際上體現了教師注重讓學生經歷函數概念的概括過程，重視學生歸納、概括能力的培養的現代教學理念.

反思整堂課，在新課標的指引下，首先是教師扮演著組織、引導和與學生合作的角色，注重為學生搭建自主探究、討論、交流的平臺. 通過這個平臺，不但激發了學習主體的探索精神和創造力，而且有效地促進了學習方式的轉變，改變了原來單一的、被動的學習行為，構建了旨在發揮學生主體性的多樣化學習方式，充分體現了教師是學生學習的組織者、引導者、促進者和合作者，學生是活動的主體的現代教學理念. 其次是整個教學過程以問題為載體，緊緊圍繞函數概念的本質引導學生分析、探究、歸納，概括出用集合與對應的觀點描述函數的定義和深化對函數概念的理解. 讓學生經歷了函數概念形成的四個階段：感知認識階段、分析本質屬性階段、概括形成定義階段、應用與強化階段，有效地實現了學生對函數概念和本質的意義建構.