折扣引路,函數作綱,投影相伴,貫通三角

摘 要：三角函數概念在教學中有太多的疑惑和不解，教師經常會覺得“講不通”. 筆者根據教學實踐，闡述了一個能夠將初、高中三角函數定義更好的銜接起來的一種定義方式，即引入投影、折扣率等新鮮的模型，將函數定義進行了改進并且還闡述了筆者認同這種改進的理由.

關鍵詞：三角函數概念；困惑；折扣率；投影定義法

三角函數在高中數學中有著重要的地位與作用. 因此，學生深刻理解三角函數的概念尤為關鍵.在初中，定義了銳角三角函數.到高中，一般來說有“單位圓定義法”和“終邊定義法”兩種定義（蘇教版用“終邊定義法”引入三角函數，而人教版則用“單位圓定義法”引入三角函數）.教材中不管采用哪種定義，實踐證明，教師在教學中有很多的疑惑和糾結.

背景

來自一線從教多年的教師（四位高中教師和二位初中教師）與數學教育專家張奠宙教授一起，對三角概念進行了有益的探索與討論.

1. 一線教師的困惑

偶偉國（蘇州太倉高級中學）：在直角三角形中，銳角的正弦是對邊與斜邊的比值. 高中從銳角推廣到任意角的三角函數，銳角放到第一象限，學生可以解釋和理解，如果角推廣到鈍角甚至到任意角就很難用“正弦是對邊與斜邊的比值”來說明和解釋. 近日，聽了一節《任意角三角函數概念》省級公開課，教師請學生先操作，再探究與討論. 第一象限可以用類比的方法，終邊上任意一點，利用兩個三角形相似、比值不變性定義三角函數. 至于推廣到任意角三角函數，沒有探究出“所以然”. 只說是類比，那怎么類比呢？講不通道不明，就一筆帶過，弄得學生不明不白，一頭霧水.

2.?搖 張奠宙教授談三角

三角函數怎么教？三角函數的背景如何？對邊比斜邊的值是不變，是描述性理解，只要記住就行，但還要確認過.

（1）投影、折扣率與三角比

如果按照過去的辦法來教，什么叫正弦？對邊比斜邊的比值. 這個東西將來有什么用處，怎樣測量. 正弦的定義是怎么來的是不管的，知其然，不知其所以然. 將來慢慢地用到，才明白定義的作用.

三角函數與三角比問題，能不能借助折扣率理解三角比？是新鮮事，張景中院士提出來希望將此觀點編入教材. 正弦、余弦原來就是折扣率，一個梯子放在墻上，它的投影的長與梯子長的比就是正弦. 角度一樣，兩個梯子平行，梯子長了它的的影子也長了，梯子短了它的影子也短了. 但它的折扣率是一樣的，如都打了個八八折等，反映出比值的不變性. 這個是核心，是關鍵性問題.折扣率的重要性在于到高中以后的單位圓中得到正弦線、余弦線、正切線就是投影.由此可以畫出三角函數圖象，得到它的性質. 影子長度關系全局，它不光是生活的原型，在整體的數學上來看，它貫穿三角函數知識的全部. 從影子的長度來看，比值一樣折扣率也一樣，折扣率隨著角度的變化而變化就是三角函數. 單位圓里斜邊為1，所以投影就是折扣率，正弦線等于折扣率.

（2）三角比的現實生活原型

三角比在目前的教科書中沒有生活原型. 折扣率可以作為生活原型，這個觀點的提出有它的價值與意義. 例如與面積的關系問題，為什么面積公式為absinC，面積為什么會與sin連在一起？對它要有一個整體的認識. 直角三角形如果一歪的話，面積里面就出現sin. 邊a上的高等于bsinC，就是b在邊a的高線上的投影.

（3）從斯根普（R.Skemp）理解分類剖析三角

三角比是一種語言，本來正弦就是對邊比斜邊的比值. 正弦是一個名詞，為了我們今后講話方便起見，這個比值被單獨賦予了一個名稱. 以后講正弦是同角有關的一個函數時，工具性理解分三類：第一類是記憶的，即記住這個知識，sinA就是對邊比斜邊的比值，記住就達到目的. 第二類是描述性的，原來的對邊比斜邊的比值，比值是不變的. 通過三角形相似的知識來解釋比值的不變性. 第三類是確認性的，即你量一量線段的長度，算出比值確實是不變的，只要角度不變，隨便你怎么放大，對邊比斜邊的值總是不變. 確認了就好了. 至于進一步的理解，后面也有三層：一層是結構性的理解，就是對邊比斜邊，還有鄰邊比斜邊，對邊比鄰邊等共六個三角函數，這是一種結構. 這個結構建筑在相似三角形之上，沒有相似三角形三角函數就出不來. 不能籠統地說三角函數是陡度，因為陡度是講一個傾角或一個仰角就可以了. 三角函數要比陡度要更進一步，因為三角函數有比值的問題. 第二層是過程性理解，它是怎么來的？原始是怎么定義的？當時是怎么想到的. 我們是不是需要這些過程？學生解題可以不需要. 第三層是思想方法的理解，三角比的價值在于將三角、代數、幾何聯系在了一起，它的形式化表達是怎么樣的？可以將這些提煉成數學的思想方法，這樣的理解是最高層次的.

改進

能不能把初中銳角三角函數概念作為高中任意角三角函數定義的鋪墊？能否將高中任意角的“單位圓定義法”和“終邊定義法”形成統一的定義？筆者進行了以下的探索.

1. 建議初中引進投影概念

如圖1，在Rt△ABC中，斜邊AB在α的另一邊上的投影為AC=ABcosα，在與AC垂直的直線上的投影為BC=AB sinα. 在銳角△ABC中，AB投影分別為AD與DB（如圖2）. 在鈍角△ABC中，α為鈍角，AB投影分別為AD與DB（如圖3）. 特別注意的是當AD在AC的反向延長線上時投影值為負數. 投影與射影不同，投影值可以為負數、正數和0.

2. 改進初中銳角三角函數定義

?搖?搖如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sin∠A=.

改進為：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的斜邊在直線BC上投影與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sin∠A==折扣率.

三角比的現實生活原型為斜邊在直線BC上投影的折扣率. 定義的關鍵是找出這個角的另一邊和該邊所在直線垂線上的投影，還要注意投影的正負性. 銳角在直角邊上的投影不可能在反向延長線上，因此銳角三角函數的值為正.

3. “單位圓定義法”與“終邊定義法”合并起來改進為“投影定義法”

在人教版《普通高中實驗教科書·數學4·必修（A版）》中，三角函數采用了如下定義（簡稱“單位圓定義法”）：

如圖4，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

圖4

（3）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）．

圖5

改進為：如圖5，設α是一個任意角，它的終邊取一點P（x，y），令OP=r=1，那么：

（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

（2）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）.

說明：（1）y，x的幾何意義分別是OP在鉛垂方向、水平方向的投影.

（2）α的正弦是OP在鉛垂方向投影對于OP的折扣率. 因為分子、分母同時擴大的倍數相同時折扣率不變，所以函數值與點P在終邊上的位置無關.

（3）折扣率分母為1，就是“單位圓定義法”，此時P（cosα，sinα）. 折扣率分母為r，就是“終邊定義法”，此時P（rcosα，rsinα）. 點P的橫、縱坐標分別是OP在水平方向與鉛垂方向的投影.

理由

用折扣率定義銳角三角函數和用投影定義任意角的三角函數有許多優點.

1. 整合概念，彰顯本性

“單位圓定義法” 中自變量與函數值之間的對應關系 ，有函數的“味道”.能簡單、清楚突出三角函數最重要的性質——周期性. “終邊定義法”在引入時的自然與和諧，然后特殊化為“單位圓定義法”，也受很多教師的青睞. 整合兩種定義，合并成“投影定義法”. 更突出了兩個定義的一致性. 因此，“投影定義法”既有“單位圓定義法”的直截了當、理解本質，又有“終邊定義法”的邏輯嚴謹、便于教學. 如此整合概念，適應了認知規律，體現了初、高中教材的連貫性，彰顯了編者與教者的智慧和匠心，突出了三角的本性.

2. 解決疑惑，便于理解

根據現有教材，教師的疑惑主要有三個方面：①“單位圓定義法”中，交點是特殊的，缺乏一般性，不符合數學定義的要求. ②“單位圓定義法”和“終邊定義法”不利于解釋將銳角三角函數推廣到任意角三角函數的因果關系. ③“單位圓定義法”不利于解題. 如在解“已知角α終邊上一點的坐標是（3a，4a），求角α的三角函數值”時，用“終邊定義法”非常方便，而用“單位圓定義法”很不方便. 在“求的正弦、余弦和正切值”時，用“終邊定義法”就不方便了，用“單位圓定義法”就有優勢.

概念形成一般遵循：“歷史發展、概念本質、認知規律、便于應用”的原則，可見，“投影定義法”定義任意角三角函數是適當的. 如銳角三角函數推廣到任意角三角函數，引進投影，由于投影可以取正、負、0，銳角推廣到任意角三角函數顯得和諧、自然、易懂. 這樣就能突出重點，突破難點，解決疑惑.

3. 構建知識，凸顯思想

“投影定義法”有利于構建任意角的三角函數的知識體系. 自變量α與函數值x， y（x軸上的投影與y軸上的投影）的意義非常直觀且具體，三角函數線與定義有了直接聯系，克服了教學上的一個難點. 由此，使我們能方便地采用數形結合的思想討論三角函數的定義域、值域、函數值符號的變化規律、同角三角函數的基本關系式、誘導公式、周期性、單調性、最大值、最小值等.

我們還可以這樣來理解三角函數中自變量與函數值之間的對應關系：把實數軸想象成一條細線. 三角函數定義中取OP=1，P在單位圓運動時，正弦值是OP在y軸上得投影，且投影y的變化范圍為［-1，1］線段上伸縮，P的坐標為（cosα，sinα）. 取OP=r，P的坐標為（rcosα，rsinα）與半徑為r的圓的參數方程x=rcosα，y=rsinα（α為參數）相關聯.

4. 符合歷史，找回原型

三角函數發展史表明，任意角的三角函數是因研究圓周運動的需要而產生的，曾被稱為“圓函數”. 但是用線段的比來定義三角函數，是歐拉在《無窮小分析引論》一書中首次給出的. 在歐拉之前，研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的.所以，采用“投影定義法”能更真實地反映三角函數的發展進程. 又能與時俱進地發展概念. 對于銳角三角函數定義，張景中院士提出：邊長為1的菱形它的面積就等于sinA. sinA是對于邊長為1的正方形壓扁成菱形的折扣率.三角形的面積為什么不是兩邊相乘，而一定要乘以高，因為它矮了，所以要乘以一邊上的折扣. 直角三角形兩個直角邊相乘就好，一彎的話就不能這樣做，相差一個折扣. 打折扣，打多少？就是這邊上的高（投影）. 初中的平面幾何中三角形的高與正弦有關，其本質反映了投影與面積的關系.

5. 投影相伴，貫通三角

“投影定義法”使三角函數反映的數形關系更直接，為后面討論三角函數的性質和圖象奠定了很好的直觀基礎. 不僅如此，這一定義還能為“兩角和與差的三角函數”的學習帶來方便，因為和、差公式實際上是“圓的旋轉對稱性”的解析表述，和、差化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述.

另外，向量數量積中（如圖4），b在a方向上的投影為OP=bcosθ=∈R（注意OP是射影），所以a·b的幾何意義是a·b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積. 再如，S△=acsinB=bcsinA，即a和b分別在邊c垂線上的投影與c的積乘以就是這個三角形的面積.在解三角形中，已知二邊和其中一邊的對角會產生一解、二解和無解問題，其本質就是對投影與一邊的大小進行討論.總之，在學習三角時，只要腦子中有投影，所有內容就好學易懂了.

說明

三角函數概念教學是困惑筆者多年的一個心結. 和所有一線教師一樣，筆者有太多的疑惑和不解. 在處理教材時，筆者一直補充“投影定義法”來幫助學生理解三角函數知識，多年實踐證明教學效果良好. 這是由于學生不是死記硬背一些結論，而是在弄清知識的來龍去脈后的基礎上形成了知識體系. 當然，“投影定義法”需要在教學實踐中不斷地完善，讓我們一起來嘗試和探索吧！