例析新西蘭“幾何與測量”領域內容標準

摘 要：本文介紹了新西蘭教育部2009年出版的《1～8年級數學課程標準》中7～8年級“幾何與測量”領域的內容標準，并用兩個案例加以解釋，以期思考與借鑒.

關鍵詞：新西蘭；課程標準；幾何；測量

新西蘭是一個重視教育的國家，其教育質量屬世界前列. 2009年，新西蘭教育部出版了新的《1～8年級數學課程標準》（下面簡記為《標準》）. 從2010年起，所有新西蘭的以英語授課的學校的教師開始執行這套標準. 國家標準提供了一個全國統一的方式來看待、解釋并回應學生在1～8年級的數學學習中的進步與成就.《標準》將數學學習領域劃分為三大分支，分別為：數與代數（Number and Algebra）、幾何與測量（Geometry and Measurement）、統計（Statistics）. 本文將介紹《標準》中7～8年級“幾何與測量”領域的內容標準，并用案例加以解釋，以期得到一些有益的啟示.

“幾何與測量”領域內容標準

《標準》中7～8年級“幾何與測量”領域的內容標準如下：

七年級：①利用公制的和其他標準的度量單位來測量時間和物體的屬性；②利用整數在單位間進行簡單的轉換；③利用給出的整數的邊長來找到矩形和平行四邊形的周長和面積、長方體的體積；④將二維和三維形狀進行分類，定義其性質并解釋所作出的結論；⑤給出的形狀或圖案，識別并描述所產生的變換；⑥創建或識別直棱柱和其他簡單固體的集合；⑦畫出物體的平面圖、正視圖、側視圖和透視圖；⑧利用格子參照物（grid references）、簡單的比例、轉動、指南針的指向來描述位置并給出方向.

八年級：①使用公制的和其他標準的測量單位；②利用小數在單位之間進行簡單的轉換；③利用邊長來找到矩形、平行四邊形和三角形的周長和面積、長方體的體積；④將二維和三維的形狀進行歸類，考慮各類之間的關系并解釋所作出的結論；⑤識別并描述形狀或圖案在變換下有改變或沒有改變的特征；⑥給出特定的要求，創建或識別直棱柱和其他固體的集合；⑦給出物體的平面圖、正視圖、側視圖和透視圖，畫出或制作出物體；⑧利用比例、方位和坐標來描述位置并給出方向.

例析“幾何與測量”領域內容標準

《標準》中關于每一年級的內容，都分成數與代數、幾何與測量和統計三個分支進行闡述.在列出了這三個分支的內容標準之后，再對其中某些標準配以例子加以解釋. 同時，這些例子也說明了學生在學習數學時應該進行哪種類型的任務. “達到一條標準依賴于學生對給定問題的回應的實質，而不僅僅只是他們解決這個問題的能力.” 出于這個原因，這些例子還給出了一系列學生可能的回應，并說明這些回應能否達到課程標準的期望.在許多情況下，這些例子（包括達到期望和沒達到期望的回應）都是為了展示學生的理解過程. 這有助于教師對學生的學習層次進行判斷，也有利于分析學生問題解決的心理過程. 下面是八年級“幾何與測量”部分中的兩個案例.

案例1 給學生一把尺子、一輛玩具車以及下面插圖所示的幾個盒子. 利用尺子來盡可能準確地測量小車的長、寬、高. 先用毫米，再用厘米給出答案.哪個盒子最適合用來裝這輛小車？盒子的體積是多少？

《標準》中指出，若學生經歷了如下的解決問題的過程，那么他們達到了課程標準的期望：利用尺子，學生準確地將小車的長度、寬度和高度測量到最接近的毫米和厘米.他們選擇最適合的盒子——就是比小車大的尺寸盡可能小的那個.

案例1 不僅要求學生測量出小車的長度、寬度和高度，還要求學生找到一個最適合用來裝小車的盒子. 這個看似不起眼的設計，卻告訴了我們學生學習測量的意義所在，那就是服務于生活.學生通過案例1的學習，可以感受測量的實用性和必要性，從而為后續的學習明確目的. 從中我們也可體會到新西蘭數學課程重視數學應用的價值取向.

案例2 是否存在一個類，使這三個立體圖形都從屬于它？是否存在另一個類，使得標有“Rolo”的盒子從屬于它？

?搖?搖《標準》中指出，若學生經歷了如下的解決問題的過程，那么他們達到了課程標準的期望：有學生說這三種立體圖形都是棱柱. 他們解釋：棱柱有一個統一的橫截面，并以此命名這個棱柱（例如，“三棱柱”）. 有一個關于棱柱的定義的爭論，圓柱是否為棱柱呢？如果學生不把圓柱當做一個棱柱，同時解釋“它沒有像其他棱柱一樣有矩形面”，那么他們仍然能達到期望. 回答第二個問題，學生可能把圓柱歸在包括球體和錐體的曲面立方體（curved solids）的類中. 在這里，其他的任何歸類只要有一定的道理都是可以接受的（例如，具有圓面的立方體）.

通過案例2的學習，學生能夠直觀地辨認棱柱和圓柱，在此基礎上，讓學生試著精確完整地描述棱柱和圓柱的共同、一般的特質，這樣的練習有助于控制原始、直觀. 這個過程中，學生是在學習如何從實物練習和直觀解釋中抽象出數學結構，并學習如何描述它們的深層意義. 這樣的設計能為后續理解一般抽象意義和定義做準備，理清不同概念及操作之間的關系，建立共同結構.

解讀《標準》，筆者最深有體會的是：幾何教學應該建立在學生的直觀經驗的基礎上. 幾何概念的形成一般不是像代數概念那樣，需要經歷一個從操作程序到靜止對象的過程，而是直接對空間物體及其位置關系的抽象的結果. 因此，幾何概念的學習應該建立在學生的直觀經驗的基礎之上，有助于幫助學生思考，把抽象的對象變得更加直觀形象，把難以理解的內容變得容易把握. 但要注意的是，幾何圖形畢竟是一種經過抽象和形式化處理的數學概念，學生在日常生活中所積累的直觀經驗往往難以解釋幾何圖形的性質與關系. 因此，需要通過一定的教學途徑去澄清、補充和重組相應的直觀經驗.