在多樣化表征討論交流中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

摘 要：為了讓學(xué)生在交流討論中提高對(duì)數(shù)學(xué)的理解，美國(guó)德州農(nóng)工大學(xué)在與當(dāng)?shù)刂袑W(xué)開展的教育科研活動(dòng)中使用了多樣化表征的數(shù)學(xué)教學(xué)方式。這種方式為學(xué)生提供同一數(shù)學(xué)問題的多種表征形式，讓學(xué)生在分組分析問題的基礎(chǔ)上交換各自表征的特征和解決方式，以促進(jìn)學(xué)生從多渠道深入理解數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)交流能力，豐富情感體驗(yàn)，同時(shí)，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展。

關(guān)鍵詞：多樣化表征；數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)交流

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2012）05-0046-03

一、國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究

世界各地的數(shù)學(xué)課程改革普遍強(qiáng)調(diào)要提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。我國(guó)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿在對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的“實(shí)施建議”中提出，要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)[1]。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解存在操作性理解、關(guān)系性理解和遷移性理解三個(gè)層次，調(diào)查表明，我國(guó)大部分學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解處于第一層次，他們可以在帶有識(shí)記性與操作步驟的問題解答中取得較好的認(rèn)知成績(jī)，但因?yàn)樵S多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解尚未達(dá)到關(guān)系性理解與遷移性理解水平的深刻理解，所以綜合性問題測(cè)試成績(jī)、解決實(shí)際問題的能力測(cè)試不盡如人意。因此在教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平是很有必要的。[2]

對(duì)數(shù)學(xué)交流的重視同樣日益突出，美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）在“學(xué)校數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)”中提出的學(xué)校數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)學(xué)生七個(gè)方面的素養(yǎng)之一就是數(shù)學(xué)交流能力。在1995年和2000年NCTM制定的《數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》中都倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)課堂中讓學(xué)生使用數(shù)學(xué)詞匯進(jìn)行交流表達(dá)、建立數(shù)學(xué)聯(lián)系。從幼兒園到12年級(jí)的教學(xué)過程都應(yīng)當(dāng)使得學(xué)生通過交流組織和鞏固他們的數(shù)學(xué)思想；一致、連貫、清晰地向同伴、教師和其他人交流自己的數(shù)學(xué)思想；分析和評(píng)價(jià)他人的數(shù)學(xué)思想和策略；使用數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地解釋數(shù)學(xué)思想。[3]

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是提升理解，不僅僅需要讓學(xué)生全面投入到學(xué)習(xí)中去，還要讓教師能夠從多種側(cè)面了解學(xué)生的思維過程，并嘗試用多種途徑指導(dǎo)引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)。生生之間、師生之間的數(shù)學(xué)交流可以有效暴露學(xué)生的思維，因此，目的性的數(shù)學(xué)理解和工具性的數(shù)學(xué)交流在教學(xué)中勢(shì)必融合在一起。有研究表明，小組合作對(duì)于讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題有很大的幫助，同時(shí)可以促進(jìn)他們反思自己的解決方法[4]。在對(duì)上述理論的關(guān)注中孕育出了多樣化表征這一新的教學(xué)方式，作為教學(xué)輔助形式它可以很好的促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，提高他們對(duì)問題認(rèn)識(shí)的深度，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，讓學(xué)生更全面地參與到學(xué)習(xí)中來。

基于上述認(rèn)識(shí)，在德州農(nóng)工大學(xué)與當(dāng)?shù)刂袑W(xué)開展的教育科研活動(dòng)中，數(shù)學(xué)教育專家與一線教師一同研制了多樣化表征的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，并在“以教學(xué)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)”項(xiàng)目中推廣，受到一致好評(píng)。本研究試圖探索多樣表征教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解的促進(jìn)作用，并提出在使用該教學(xué)方法時(shí)該注意的地方。

二、研究界定

多樣化表征的數(shù)學(xué)教學(xué)是指：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師向?qū)W生呈現(xiàn)同一問題的多種表達(dá)方式，學(xué)生要對(duì)各種表征方式加入自己的理解，在觀察、分析問題的基礎(chǔ)上解決問題，并深化對(duì)不同表征之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。

在對(duì)數(shù)學(xué)語言的多樣化表征的研究中，比較權(quán)威的觀點(diǎn)是蔡金法等人本世紀(jì)初所做的研究，[5]他們認(rèn)為：高水平的學(xué)生可以識(shí)別符號(hào)化或較抽象的表征，可以熟練地在自己的語言、數(shù)學(xué)語言、符號(hào)語言、公式表征之間轉(zhuǎn)換；低水平的學(xué)生在問題解決的語言轉(zhuǎn)換和表征上常常遇到困難。此外，不同的學(xué)生的解決問題策略各有不同，教師要采取一定策略促進(jìn)各種學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提高他們的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。之后，他們還針對(duì)此問題做了量化研究，一定程度上支持了自己的理論。[6]

多樣化表征教學(xué)正是試圖提高學(xué)生對(duì)各種數(shù)學(xué)表達(dá)的認(rèn)識(shí)，并能建立起其間的聯(lián)系。面對(duì)多樣化表征任務(wù)時(shí)，學(xué)生首先要讀懂題目含義，繼而將文字表征或圖表表征中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為符號(hào)等數(shù)學(xué)語言，然后用書寫或口頭表述的方法呈現(xiàn)出對(duì)該問題的理解，最重要的環(huán)節(jié)是，學(xué)生們以小組為單位交流各自如何對(duì)不同表征建立理解。這一合作學(xué)習(xí)的過程可以培養(yǎng)學(xué)生的興趣，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，養(yǎng)成有效的學(xué)習(xí)策略，更可以讓學(xué)生在集體討論中樹立分享的意識(shí)，以及向他人學(xué)習(xí)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的溝通能力。

三、開展步驟

開展多樣化表征教學(xué)時(shí)，教師首先對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題提供出4種到6種不同表征。我們以5組為例說明教學(xué)過程。5組表征分別記為A組，B組，C組，D組和E組。第一階段為小組討論階段，各組均由5位同學(xué)一起討論完成，如A組的5位同學(xué)記為A1，A2，A3，A4和A5，每小組的5為同學(xué)一起研究同一個(gè)問題表征。

10分鐘的討論之后進(jìn)入第二階段，交換匯總階段，各組編號(hào)為1的同學(xué)又重新組合為新的小組，在新的匯總交流組中，5位同學(xué)都帶著自己的問題——共5種表征方式，他們要分享各自的任務(wù)卡片，分別講解自己小組是如何分析并解決問題的。

最后的第三階段是全班討論階段。在此過程中教師承擔(dān)了資料的籌備者和課堂的協(xié)作者的角色，教師要適時(shí)提出適當(dāng)?shù)木哂袉l(fā)性的問題。

我們以下面這個(gè)案例對(duì)該教學(xué)形式加以說明：在開展“二元一次方程組的應(yīng)用”教學(xué)時(shí)，教師設(shè)計(jì)了如下的多樣化表征教學(xué)。材料共分為7個(gè)組，分別涵蓋了不同的問題背景呈現(xiàn)方式，有畫圖形象陳述（A組）、剪紙方式輔助解題（B組）、直接陳述（C組）、直接解方程組（D組）、謎題方式陳述（E組）、多維表格輔助解題（F組）、表格陳述（G組）等等。

在教學(xué)中，7組內(nèi)容并非都要使用，教師可以根據(jù)自己學(xué)生的情況和人數(shù)有選擇的使用其中的4～6組。經(jīng)過第一階段的小組討論和第二階段的交換匯總之后，全班再一起進(jìn)行第三階段，交流探討各自的發(fā)現(xiàn)、方法和結(jié)論，一起總結(jié)各組之間的異同。

在B組題目的討論中，學(xué)生依據(jù)要求動(dòng)手剪下了圖片，發(fā)現(xiàn)所有8個(gè)水果的價(jià)格之和是20元，可以求出一把香蕉和一個(gè)蘋果的總價(jià)，接下來從三把香蕉一個(gè)蘋果中拿走一把香蕉和一個(gè)蘋果，就只剩一下兩把香蕉了，可求其價(jià)格。在F組題目的討論中，學(xué)生首先要讀懂表格的含義，接下來習(xí)慣性的用常規(guī)解方程組的方法解決問題。但有學(xué)生提出，其中的第四個(gè)問題“你是如何利用表格得出的結(jié)論”啟發(fā)他們思考，不解方程組能不能解決問題？繼而發(fā)現(xiàn)，在表格中12元位子可記為（3，1），8元位置可記為（1，3）。將兩組數(shù)據(jù)相加，即可得到（4，4）的數(shù)值，即4把香蕉和4個(gè)蘋果的價(jià)格，因此對(duì)角線上的數(shù)據(jù)都可以算出來，再將（3，1）與（1，1）相減，即可得到2把香蕉價(jià)格為7元，故問題可解。在G組的題目討論中，學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了表格對(duì)解方程組的幫助。第二階段和第三階段的交流中，大家討論的重點(diǎn)是充分展示各種工具的利與弊及其使用條件。

四、討論

多樣化表征教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的促進(jìn)作用可以總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

（一）多渠道深入理解數(shù)學(xué)

多樣化表征教學(xué)的一大特點(diǎn)就是開闊了學(xué)生的視野，用多種表征形式豐富他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，找到各種方法之間聯(lián)系和差異的過程可以提高學(xué)生的思辨能力。在教學(xué)中會(huì)發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生對(duì)圖示表示非常有悟性，可以敏銳的捕捉到其中蘊(yùn)含的信息，有的學(xué)生認(rèn)為直觀的表格更能幫助他認(rèn)識(shí)問題，有的學(xué)生則對(duì)解決文字表述問題更為擅長(zhǎng)，在充分的討論交流中，各類表征的優(yōu)勢(shì)劣勢(shì)都可以互相彌補(bǔ)。

（二）提升學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力

由于在交流討論中每一位同學(xué)都要發(fā)言，所以多樣化表征教學(xué)對(duì)提高學(xué)生的交流能力有很大幫助，這對(duì)于平時(shí)不愿意發(fā)表見解的學(xué)生來講是一個(gè)很好的契機(jī)。數(shù)學(xué)交流不僅僅包括表達(dá)，還要學(xué)會(huì)傾聽，在此活動(dòng)中，學(xué)生有機(jī)會(huì)分析和評(píng)價(jià)各式各樣的想法，他們學(xué)會(huì)了欣賞他人、傾聽并學(xué)習(xí)他人的見解，這使得該教學(xué)形式的價(jià)值不僅僅指向知識(shí)本身，更指向了在合作交流中獲取的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（三）豐富學(xué)生的情感體驗(yàn)

在多樣化表征教學(xué)過程中，全班學(xué)生都能投入到學(xué)習(xí)中來，課堂氣氛很活躍熱烈，對(duì)每一個(gè)學(xué)生的情感發(fā)展都有幫助。尤其是在數(shù)學(xué)認(rèn)知上具有較低能力的同學(xué)，他們也能獲得表達(dá)的機(jī)會(huì)，也能體驗(yàn)到他人的尊重和他人的認(rèn)可，這對(duì)他們來講是莫大的鼓勵(lì)。

（四）促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展

該教學(xué)形式對(duì)教師有較高的要求，經(jīng)歷了這樣的教學(xué)，教師的學(xué)科知識(shí)和學(xué)科教學(xué)法知識(shí)都得以提升。教師不僅要提供具有挑戰(zhàn)性、典型性的問題材料，還要確保問題蘊(yùn)含思維含量、具備探索空間。在活動(dòng)中教師的角色發(fā)生轉(zhuǎn)變，起到了協(xié)調(diào)、引導(dǎo)、歸納提升的作用。實(shí)際教學(xué)中可以依據(jù)需要選擇小組長(zhǎng)，負(fù)責(zé)確保每一個(gè)學(xué)生都參與討論，并領(lǐng)會(huì)了其他方法的精髓。教師則要關(guān)注和引導(dǎo)每一個(gè)小組討論的主要方向。

多樣化表征對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用不可低估，它轉(zhuǎn)變了學(xué)生的學(xué)習(xí)角色，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，教師適當(dāng)使用這樣的方式可以開闊學(xué)生的思維，具有積極的推廣意義。同時(shí)，需要開發(fā)大量適合中學(xué)數(shù)學(xué)使用的材料，配套的科學(xué)評(píng)價(jià)方式也有待進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

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