例談學生基本數學經驗積累的課堂指導

2011年《數學課程標準（修訂稿）》中，將原本的“雙基”增加至“四基”，其中“積累基本數學經驗”引起了大多數一線數學老師的關注。那么，什么是“基本數學經驗”呢？張奠宙、竺仕芬、林永偉三位教授將其界定為：“在數學目標的指引下， 通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。數學活動經驗的積累過程是學生主動探索的過程。”同時，他們將積累數學經驗、數學活動分為以下4種類型.：直接數學活動經驗、間接數學活動經驗、專門設計的數學活動經驗、意境聯結性數學活動經驗。

如何在實際操作中合理設計與實施，幫助學生更多更好地積累有效的基本數學經驗呢？以下是筆者的幾點思考：

一、 經歷探究，積累直接經驗

由于年齡的限制，小學生更注重親身經歷所得到的感受。因此，他們很多經驗的形成必然得經歷動手實踐，使經驗變得“摸得著、看得懂”，簡潔地說，就是“在做中學”。

教學“軸對稱圖形”時，有一重要環節——判斷“正方形、長方形、平行四邊形”是否為軸對稱圖形，并要求找出軸對稱圖形各有幾條對稱軸。

師：（出示一個正方形紙）它是軸對稱圖形嗎？你能找出幾條對稱軸？

（學生回答后教師現場演示，證明4條對稱軸是正確的結論。）

師：（出示長方形紙）長方形呢？

生：也有4條。

師：大家手里都有長方形，想知道它是不是軸對稱圖形，有幾條對稱軸，最好的方法是什么？

生：折一折（動手操作后，匯報：長方形只有兩條對稱軸。）

師追問：沿著兩條對角線對折的結果是怎么樣的？

生：沿對角線對折，兩邊的形狀與大小相同，但不會重疊，所以不能算對稱。

師：（出示一張普通的平行四邊形紙）平行四邊形是軸對稱圖形嗎？

生（肯定地）：是

師：怎樣驗證你們的想法是正確的？

生1（動手折，發現無法做到“兩邊重合”）：平行四邊形不是軸對稱圖形，我們只能沿著一條直線把它分成大小與形狀相等的兩個圖形，但一樣做不到重疊。

師：平行四邊形不是軸對稱圖形，大家同意嗎？

生2：（出示一張菱形紙片）我這個也是平行四邊形，可它是軸對稱圖形呀！（示范折的過程）

師（拿著那張菱形紙片）：這是平行四邊形嗎？它有幾條對稱軸？

生：這個平行四邊形有兩條對稱軸。

師：那怎么辦？平行四邊形到底是不是軸對稱圖形？

生（討論、總結）：普通的平行四邊形不是軸對稱圖形，特殊的平行邊形圖，如菱形，是軸對稱圖形。

在經歷猜一猜、折一折、議一議的活動過程中，學生收獲了“猜測后可以用動手操作來驗證”的經驗，也對教師平時強調的“眼見不一定為實”的說法有了更深的體會。歸納總結時，與其說結論是教師“教”會他們的，不如說是他們自己總結得到的。

實踐探究活動重結果更應該重過程，課堂教學中要給出充分的時間與空間讓學生在數學學習活動中去“親歷過程”，體驗數學，感悟數學，積累數學活動經驗。

二、 巧設情境，豐富間接經驗

戴爾的“經驗之塔”把經驗從低到高分為三層：塔基——做的經驗，塔腰——看的經驗，塔尖——想的經驗。上面的例子屬于“做的經驗”。但課堂教學在時間與空間上畢竟有一定的局限性。這時，可以借助媒介讓學生充分體驗所學知識。

例如：“分數的意義”教學中，教師設計了游戲情境：

師：（出示不透明的漂亮紙袋）這里面有一些本子，老師拿出來8本，是拿了一半，誰能猜出老師紙袋里原本共有多少本子？

生：16本。

師：現在，我再取出袋子里的一半，應該怎么拿？

生：應該拿出4本。

師：再繼續拿出一半？

生：拿2本

師：還能繼續拿出一半嗎？

生：可以，再拿出一本。

師：現在，老師袋子里還剩多少本子呀？

生：只有一本了。

師：只有一本了，我還能再取出它的一半嗎？

生：行，把一本平均分成兩份，拿出半本。

師：就剩這半本了，還能再拿出一半嗎？

……

師：只剩一張紙了，還能再取它的一半？你是怎么想的？

生“把它平均割成兩份，每份是半張。

……

師：奇怪，同樣是一半，為什么每次取出來的數卻不一樣，這是什么原因呢？

生：單位“1”代表的具體數量不一樣了。所以它的一半也就不同。

師：這個問題，在我國古代《莊子·天下篇》中莊子就提出來了：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。你能說說這句話的含義嗎？

……

學生沒有生活經驗，且因為客觀環境限制無法形成直接經驗時，結合游戲情境與教師的演示也可以順利積累間接經驗。當“做的經驗”無法積累，“看的經驗”可以作為另一種必要的補充進行。如解決問題時會遇上理解播種機的作業寬度、壓路機壓路面等情境，實地參觀顯然不太現實。如果借助視頻或教師有技巧的黑板演示，一樣能有效幫助學生得到間接經驗，從而真正理解題意。

三、 內培外引，提升思維經驗

當學生的經驗積累到一定程度，會實現量變到質變的飛躍。“做的經驗”加上大量“看的經驗”，學生的數學經驗會向“想的經驗”發展，即經驗的最高水平“抽象的經驗”。教師在培養學生積累基本數學經驗的同時，適時的引導也是必不可少的。

例如：三年級教學“面積計算”后，在拓展練習中可以設計：

第一層次動手、思考：請你在紙上畫一個面積6平方厘米的長方形，再分別畫一個面積12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米的長方形，想一想，怎樣才能畫得又對又快？

第二層次提升：一個長方形的長不變，把它的寬乘2，面積會（ ）。把一個正方形的邊長同時乘3，面積會（ ）。

第一層次的練習是為第二層次的引入作鋪墊，“做的經驗”的積累可以為“想的經驗”提供支撐。到了五年級學習《長方體與正方體》時，應該有所發展，可以設計：

第一層次（具體數據為依據）：某正方體的棱長是5厘米，如果把它的棱長擴大到原來的2倍，表面積會擴大到原來的（ ），體積會擴大到原來的（ ）倍；

第二層次（上個層次的延續與提升）：一大一小兩正方體，大正方體的棱長是小正方體的3倍，大正方體的體積會是小正方體的（ ）倍？

第三層次（抽象）：為什么長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍，體積會擴大到原來的8倍呢？試舉例驗證并概括。

在第三個層次中，學生表現出思維經驗的抽象水平不同，有的學生會繼續舉具體的例子來驗證，當大部分學生停留在舉例子說明時，老師加以引導：“你們舉的這些例子能用一個式子來概括嗎？”于是，抽象水平較高的孩子便會得出：

這時，可以再追問：“如果是長方體的長寬高均擴大到原來的3倍，體積又是如何變化的呢？”“你能用這樣的方法解釋為什么正方體的棱長擴大n倍，而它的表面積會擴大到原來的n2倍嗎？

學生開始是在實際經驗中作為一名參與者，接著作為一名間接事物的觀察者，觀察到的是真實事物的替代者，最后，學生觀察到的是一個事件的抽象符號。前兩個階段是“內培”的過程，而教師適時巧妙的引導，好比臨門一腳，使學生的抽象經驗水平往更高層次發展。

四、 尊重起點，避免經驗越位

所謂經驗越位是指教師以其本身的經驗來推斷學生的理解水平。從教師的角度出發，“想當然”地用教師的經驗替代學生已有的經驗基礎，忽視學生的年齡與心理特點，最終出現一方說得“天花亂墜”而另一邊“一頭霧水”的局面。

在教學六年級“圓”這一單元時，不少教師習慣將求半圓的周長公式進行推導：C半圓=2？仔r÷2+2r = ？仔r+2r，最終歸結為：已知半徑（r）求半圓的周長則用公式C半圓=（？仔+2）r；如果已知直徑（d）則得出半圓的周長公式為C半圓=d÷2+d = （？仔÷2+1）d =（仔+1）d 并要求學生像圓的周長公式一樣牢記：C半圓=（？仔+2）r 與C半圓=（+1）d，甚至要求解決問題時，代入公式再列式計算。這樣做的出發點是好的，套用公式簡潔、方便，學生的正確率也確實有所提高，速度也更快了。但實際上，教師自以為“更簡便”的這種方法是得不到學生的認同的。因為，相對于公式中抽象的符號，“圓周長的一半加一條直徑的長”更容易被學生理解與掌握，盡管按這樣的理解去解題，看上去增加了好幾個步驟，但這符合他們的經驗水平與認知能力。如果不遵循學生的認知規律，把教師的意志與經驗強加上去，無異于是“揠苗助長”，其后果不但導致所學容易淡忘，也會引著學生走向思維的死胡同。如果出現四分之一圓或其他情況，生搬硬套就行不通。

教學中應該注意給學生最基礎的經驗與思考，幫助他們找到最根本的解決問題的方法，而不是盲目地拔高要求、見題講題。更不能把教師的認知經驗強加在學生身上。

綜上所述，學生要有效積累數學基本經驗，就要求教師要尊重其原來的生活經驗與知識經驗，重在課堂的訓練與巧妙引導，還應留出充分的時間與空間，搭建平臺，讓學生有經歷積累經驗的過程才能成就富有魅力的數學課堂。