基于啟發式數學教學思想的命題教學設計

一、數學命題的教學有待進一步關注

數學命題是表示數學概念具有某性質或者數學概念之間具有某種關系的判斷，正確的數學命題一般表現為數學公式、法則、性質、公理、定理等（多數公式和法則是數學命題的符號化表示，可轉換為文字表示的數學命題），因此將它們統稱為數學命題。數學命題構成了中學數學知識結構的核心，從而使得數學命題的教學在數學教學中占有非常重要的地位，因此如何搞好數學命題的教學也自然成為數學教師持續思考的經典話題。

在某縣的初中數學教師招聘活動中，筆者聽了11位應聘教師關于人教版九年級《一元二次方程》中的課題：“公式法”的教學。其中8位應聘教師都基本采用如下教學方式：上一節我們學習了一元二次方程的配方法，今天我們學習另外一種方法——公式法，然后寫出一元二次方程的一般形式，直接用配方法求出根，并把這種用公式解一元二次方程的方法稱為公式法，之后通過例題和練習強化公式法。

誠然，在學生還沒有感到學習需要的情況下，教師直白地告訴學生“今天我們學習…”，從表面上看節約了教學時間，但新學習的內容似有天上掉下來之感。雖然提到配方法，但未啟發學生使其與今天新學習的課題建立內在的實質性聯系，學生體驗不到一元二次方程一般形式配方的必要性，不知為什么要學習公式法，怎么會想到要研究這個問題？由于學生沒有經歷必要的困惑階段，沒有產生疑難和問題，從而難以產生內在的學習需求，其思維活動缺乏主動性和積極性。

本節課教學重點為一元二次方程求根公式的獲得及用求根公式解一元二次方程，教學難點為一元二次方程求根公式的推導，屬于數學公式、性質的教學及配方法、公式法的運用，并滲透了化歸思想和分類討論思想。其中公式法的定義“用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法”是在得到求根公式后顧名思義加以描述的，并非教學重點。而11位應聘教師中有9位把教學重點局限于教科書中公式法定義的獲得，只有兩位應聘教師強調了一元二次方程的求根公式及特征，在突出數學學習內容的重點和本質方面體現得不夠，由此暴露出新教師的課堂教學行為存有一定偏差。

教育教學思想制約和影響著課堂教學行為，數學教師只有在科學合理的教育教學思想指導下，才能使自己的教學遵循并符合教與學的規律，從而使教學效果不斷提升，教學能力與日俱增。啟發式教學作為中國傳統教育思想的精華，是教學法最基本的方法論和課堂教學需要遵循的教學思想，其不會因為古老而過時，而是需要不斷豐富和發展。由于數學是思維的科學，思維是在個體頭腦中進行的，是他人無法替代或簡單告訴的，在課堂中離不開教師的有效啟發和引導，因此在數學教學中實施啟發式教學顯得尤為必要。義務教育數學課程標準（2011年版）把注重啟發式、實行啟發式教學作為課程的基本理念和實施建議，由此彰顯出啟發式數學教學的重要性。

二、基于啟發式數學教學思想的命題教學設計思路

1.啟發式數學教學思想的實質

鑒于數學的學科特點和數學教學的特殊性，即數學是思維的科學，數學教學是數學思維活動的教學，對啟發式數學教學可做如下概括：啟發式數學教學是指教師從學生已有的數學知識、經驗和思維水平出發，力求創設“憤悱”的數學教學情境，以形成認知和情感的不平衡態勢，從而啟迪學生主動積極思維，引導學生學會思考，使學生的數學思維得以發生和發展，數學知識、經驗和能力得以生長，并從中領悟數學本質，達到和生成教學目標。

啟發式數學教學中，學生數學思維真正的主動積極性并不在于頻頻舉手和猜中教師所期望的答案，而在于教師有目的地引導學生“想數學”，使學生經歷必要的認知和情感的困惑階段，處于“欲知還未知，欲言還未能”的“憤悱”狀態，以此產生內在的學習需求，從而全神貫注地、目標明確地動腦思考，在其頭腦內部展開豐富的數學思維活動。

2.基于啟發式數學教學思想的命題教學設計思路

數學命題學習的已有研究包括數學命題獲得、命題論證、命題應用3個階段，并且積累了一些研究成果。但就內容而言，基于啟發式數學教學思想的命題教學設計研究較少，使得數學教師在命題教學中如何貫穿啟發式教學思想存有諸多困惑，因此以啟發式教學思想為指導如何進行數學命題的教學設計值得深思。

啟發式數學教學作為數學教學的指導思想，雖然沒有相應的教學模式，但基本操作思路主要包括：教學發動——創設“憤悱”的數學教學情境，引起學生思維的懷疑、躊躇、困惑或心智上的困難等，從而產生內在的學習需求，自然引入課題；學習保持——學生行為、認知和情感的深層參與，通過探究活動，求得解決疑難、困惑的路徑；正確導向——教師運用啟發性提示語朝著每個學生獲益的方向適時適度啟發，使學生逐步學會自我啟發和自我探究。

基于啟發式數學教學思想的命題教學設計路線圖：

三、基于啟發式教學思想的一元二次方程求根公式教學設計

1.創設憤悱教學情境，引發學生數學命題的內在學習需求

用配方法解下面的方程：

（1）6x2-7x+1=0，（2）2x2-4x+3=0。

教師運用啟發性提示語設問：通過解上述兩方程，你覺得配方法有哪些優勢和不足？你發現了哪些問題？

[設計意圖]一元二次方程求根公式的課例中，與公式法有實質性聯系的內容是前一節所學的配方法，教師以此為新知識生長點呈現練習題：用配方法解上述兩方程，既激活了學生頭腦中與新知識密切相關的已有知識經驗，又鞏固了配方法。使學生認識到每一個數字系數的一元二次方程都可用配方法來求解，并且用配方法解具體一元二次方程的思路及步驟都相同，同時體驗到配方法的局限性，即形如（1）的一元二次方程，一次項系數不是2的倍數或數字較大時配方運算較繁瑣、用起來不方便。方程（2）配方后完全平方式為負數，原方程無實數根卻花費時間配方，由此產生疑難和困惑，感悟到具體的配方法已經不夠用了。

教師引導學生自然提出問題：能否有更簡便和更一般的方法求一元二次方程的根？使學生產生尋找一般方法的內在需求。

2.數學命題的發現與推理論證

使學生認識到尋找一般方法需要寫出一元二次方程的一般形式，并體驗到對一般形式的一元二次方程配方的必要性，自然而然生長出今天的新內容——公式法。

教師運用啟發性提示語設問：對一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否類比前面的研究方法？

教師引導學生類比數字系數一元二次方程配方的步驟，經歷用配方法獲得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推導過程。

因為a≠0，所以方程兩邊都除以a，得x2+x+=0，

移項（把常數項移到方程右邊），得x2+x-=-，

配方得：x2+x+（）2=-+（）2，

即（x+）2=（）2。

當學生未考慮b2-4ac的符號直接開平方時，教師運用啟發性提示語反問：你認為直接開平方妥當嗎？是否記得開平方時對被開方數的要求？

再次引發學生的認知沖突，產生新的疑難和困惑，從而彌補已有認知的缺陷，認識到b2-4ac？叟0時才能直接開平方，從而獲得一元二次方程的求根公式。

[設計意圖]在使學生體驗到一般形式配方必要性的基礎上，類比數字系數的一元二次方程的配方法，引導學生對一般形式進行配方。在學生未考慮判別式的符號直接得到求根公式時，教師運用啟發性提示語給予暗示，從而形成恰當程度的認知沖突，使學生產生了新的疑難和困惑，引發其深層思維和探索興趣，并認識到對b2-4ac需要進行分類討論。同時使求根公式由潛在發展水平轉化為學生的現有發展水平，又為一元二次方程根的判別式與根的關系這一新的潛在發展水平做了鋪墊，使學生進入新的最近發展區。

3.數學命題的理解

由上面的探究過程可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）時，x=。當b2-4ac<0時，上述一元二次方程無實數根。

教師設問：觀察公式你有哪些發現？對今后解一元二次方程有什么幫助？

通過討論加深對求根公式及條件的理解，一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根由方程的系數a，b，c確定，同時讓學生進一步感受到數學公式、方法的簡潔美和統一美。x=叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法稱為公式法，其中b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。

[設計意圖]：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意義及條件，把握公式的結構特征，突出數學問題的本質。

4.數學命題的應用

（1）用求根公式解前面的方程：6x2-7x+1=0。

[設計意圖]回到情境中的練習，運用求根公式解方程6x2-7x+1=0，使學生體味到求根公式的優越性，感悟科學研究從特殊到一般、發現提出問題的方法。

（2）變式練習

1）6y2+13y+6=0

2）5x+2=3x2

3）x（x-2）=5-8x

[設計意圖]使學生進一步體味求根公式的實質，并歸納用求根公式解一元二次方程的基本思路，即先化簡為一元二次方程的標準形式再運用求根公式。

（3）運用精加工策略優化學生的認知結構，體味判別式與根的個數的關系。

1）2x2-4x+6=0

2）x2-7x-18=0

3）9x2+6x+1=0

[設計意圖]上述一元二次方程1）、2）和3）的判別式分別小于0、大于0和等于0，旨在使學生運用求根公式解方程的同時，體驗判別式與根的個數的關系，特別是判別式小于0時直接得到無實數根而不必代入求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程時可先確定判別式的值再代入求根公式，從而豐富和優化學生的認知結構。

5.數學命題的系統化

建立直接開平方法、配方法與求根公式法的內在聯系，使學生感悟化歸思想和分類討論思想。

[設計意圖]引導學生建立知識之間的內在聯系，概括本節課的核心知識及運用的數學思想和研究方法，旨在使學生生成組織良好的數學認知結構網絡。

四、結束語：數學命題教學要自然、合乎情理

學源于思，思源于疑。基于啟發式數學教學思想的命題教學過程中，教師需創設“憤悱”的教學情境，使學生處于“欲知還未知，欲言還未能”的“憤悱”狀態，經歷必要的疑難和困惑階段，并內化為學生自己的問題。使學生體味到已有命題、方法不夠用了，才需要自然引入新命題和新方法，以此產生內在的學習需求，在頭腦中展開激烈的數學思維活動，感悟到數學命題和方法的生長自然、合乎情理，從而使鮮活的數學命題和數學方法在課堂教學中自然而然地流淌出來，這里的自然主要包括：情境創設的自然、課題引入的自然、命題生長的自然、思路方法獲得的自然、教學環節銜接的自然等。在教學過程中教師運用啟發性提示語在思考方向、思考方法、思維策略上適時適度地點撥和啟發，使學生的思維深層參與，并學會數學地思考，形成良好的數學命題網絡結構。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）.北京：北京師范大學出版集團，2012.

[2] 韓龍淑.數學啟發式教學的基本特征.數學教育學報，2009，18（6）.

[3] 周友士.基于認知建構理論的數學命題學習研究.數學教育學報，2008，17（5）.

（責任編輯 劉永慶）