化歸思想在小學數學應用題教學中的應用

小學數學教學是基礎教學，而應用題既是小學數學教學的重點，同時也是學生學習的難點。學生只有掌握牢固的小學基礎知識，才能在往后學習中獲取更廣泛的數學知識，能運用學到的知識解決實際問題。聯合國教科文組織在《教育——財富蘊藏其中》這一報告中明確指出：“教育的使命是每個人（無例外的）發展自己的本能和創造潛能。”在突出素質教育的當代，教師不再是單純地授之以“魚”，而是授之以“漁”，即培養學生智能，使其有在快速變遷發展的社會中為獲得高質量的生存所需要的基本素養、能力和情感。也就是說，教師要教給學生解題的方法和技巧，指引解題的途徑和步驟，使每位學生在數學上得到不同的發展。

科技日新月異，應用題在生活實際中的運用也越來越多。教師要讓小學生在接受基礎知識的同時養成善于觀察、善于思索、善于分析的好習慣，學會把復雜的問題簡單化，創造性地解決問題，為今后能獨立思考，解決生活中的實際問題。有獨特的見解或開辟蹊徑是運用化歸思想解決小學應用題的本源。化歸思想就是在解決一個數學問題時，人們不是直接尋找問題的答案，而是常常將待解決的問題甲，通過某種轉化過程，歸結為一個已經解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過對問題乙的解答返回去求得原問題甲的解答。基本方法是在考察待解決問題時，能意識到與對象有內在聯系的諸多對象，將對象劃歸為一個較為熟悉的另一個對象，最終達到對原問題的解答。

轉化

問題甲 → 問題乙

↓ ↓

解答甲 ← 解答乙

化歸思想的形式很多，這里僅對分解、輔化、轉化三種方法闡述如下。

一、分解 ：一種化整為零的化歸思想

笛卡兒曾說過：“把你所考慮的每一個問題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解。”這就是分解這一化歸思想的基本觀點。具體到數學上就是把一個復雜的題目分解成若干個簡單易于求解或熟悉已解決的問題，抓住問題內部的各種關系，化整為零，逐個解決，從而完成題目。

例1. 姐弟兩人年齡相差7歲，三年后姐姐的年齡是六年前弟弟年齡的3倍，問姐弟兩人今年各幾歲？

分析：這道題目的第一、第三句都十分容易理解，但中間一句卻顯得復雜難解。我們不妨把這道題目進行二步分解。第一步，把它分解成幾個易懂的小問題：①3倍時兩人相差幾歲？（7+3+6）②3倍時兩人相差幾倍？（3-1）第二步，把3倍分解成（2+1）倍，這一倍正是弟弟三年前的年齡。

解：（7+3+6）÷（3-1）+6=14（歲）

14+7=21（歲）

答：今年姐姐21歲，弟弟14歲。

在這里，學生學到了如何巧妙地把“相差的1倍年齡與弟弟三年前的年齡”聯系起來的解題技巧。

二、輔化：一種由表及里的化歸思想

美國數學家哈爾莫斯曾說過：“數學的真正組成部分是問題和解。”要想抓住“問題”和“解”，必須有敏銳的思維能力和很強的推理能力。許多應用題的“問題”不直截了當，關鍵條件也常常被隱在其后。解題時，若不仔細揣摩推敲，很難抓住“問題”實質，“解”也就無從說起了。“輔化”即運用添設中間條件、尋找已知的關鍵條件等輔助手段，透過現象看本質，由表及里的解決問題。

例2.浦江縣某校六年級有（1）、（2）、（3）三個班，共有102人，（1）班比（2）班少4人，（2）班比（3）班多2人。（1）、（2）、（3）三個班各有多少人？

分析：若不仔細推敲，很難發現關鍵條件，但如輔以調整語序手段，把“（2）班比（3）班多2人”改為“（3）班比（2）班2人”后再解這道題目時，（2）班的人數就成了關鍵條件，總數加上（4+2）人就是3倍（2）班的人數。

解：（102+4+2）÷3=36（人）

36-4=32（人）

36-2=34（人）

答：（1）班32人，（2）班36人，（3）班34人。

在這里，解題要點是能運用輔助手段尋找關鍵條件。

三、轉化：一種化難為易的化歸思想

雅諾夫斯基說過：“解題——就意味著把所要解的問題轉化為已經解決的問題。”轉化，即在直接求解原問題比較困難時，把問題進行適當的轉化，歸結成一個比原問題簡單、難度降低或者熟悉掌握的、易于求解的簡單問題，最終成功解決問題。

例3.浦江縣某校五年級有男生22人，女生23人，女生人數是男生的幾分之幾？

再不斷變換題目：

男生人數是女生的幾分之幾？

男生人數是全班的幾分之幾？

女生比男生多幾分之幾？

女生比男生多全班的幾分之幾？

……

在分數應用題的教學中，為了使學生熟練掌握“求一個數是另一個數的幾分之幾”的解題方法，可先出示一道基本題，再通過問題的不斷變化，但都是求一個數是另一個數的幾分之幾，目的是使學生掌握數量關系，從而提高對分數應用題的理解和辨別能力，逐步掌握分數應用題的解題規律，進一步滲透轉化等基本的數學思想方法。

這樣，通過理論與實際相結合，學生真正體會到運用化歸思想可以化繁為簡、化難為易、化特殊為一般、化復合為單一，把隱蔽在里面的內在問題顯現出來，使學生能夠很快的掌握解題技巧。

一位有名的數學家在談自己學數學的心得時說過這樣一句話：“有許多具體的數學知識在學過后是可以忘掉的，但是那些知識所表現出的數學思想是永遠不應該忘記的，而且會使你受用一生。”而且，數學教育目的不僅是傳授知識，更重要的是培養能力和發展學生的思維；考察一個人的數學文化素養，主要表現在用數學思想去觀察、分析、處理現實中的數學問題。因而，我們應當相信隨著化歸思想的深入推廣，也必將使小學生的智能在素質教學的感召下茁壯成長。

（責編 藍 天）