“一一列舉”策略的教育價值

“一一列舉”，即列舉法是一種借助對具體事物的特定對象從邏輯上進行分析并將其本質內容全面地、一一地羅列出來的一種手段，再針對列出的項目一一提出改進的方法。列舉法是在美國內布拉斯加大學教授克勞福特創造的屬性列舉法基礎上形成的，是具體運用發散性思維來克服思維定勢的一種創造技法。該技法人為地按照某種規律列舉出創造對象的要素分別加以分析研究，以求創造性地設計解決問題的落腳點和方案。列舉法運用了分解和分析的方法，常用于簡單設想的形成與發明目標的確定。

在數學上，為了解題的方便，把問題不重復、不遺漏、有序的一一列舉出來，以求問題的答案，這種分析問題、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法的基本思想是不重復、不遺漏、有次序地列舉出所有可能的情況， 對列舉出來的對象加以分析，從中尋求滿足條件的結果。它是研究數學問題常用的方法，有很多較復雜的問題常常是從具體情況一一列舉，然后從中找出規律和方法再加以解決的。列舉法的核心是“序”和“類”，序即有序，有順序；類即分類，類別。要想有順序得先分類，才能保證不重復、不遺漏。所以，列舉法對于培養學生思維的縝密性、思考問題的周全性非常重要，這是“一一列舉”策略的根本價值。

下面是筆者的幾點思考。

一、一一列舉的“序”——思維的起點

“序”就是做事要有條理、有次序，整齊不亂。在數學上解決問題的時候同樣要做到有條理、有次序、整齊不亂，這是培養學生思維縝密性的起點。如教學蘇教版五上解決問題的策略的例1：“王大叔用18根1米長的柵欄圍成一個長方形羊圈，有多少種圍法？”書上給出表格讓學生有序填寫，這樣反而束縛學生的有序思考，學生只是按照表格填寫，根本不懂得有序思考的價值，因為那是別人給的。我在教學時沒有給出表格，直接讓學生根據問題進行試做，目的是想了解學生有序思維的起點情況以及認知基礎。結果有的學生最多列出了8種圍法，少的2種，還有的有序地列出了4種圍法。我分別對學生的答案進行了展示、比較，并反問為什么會出現重復、為什么會出現遺漏。 最后引導學生總結出要使列舉過程不重復、不遺漏，關鍵就在于思考的條理性，也就是進行有序的思考。接著我又問：“本題有序思考‘序’的起點在哪里？‘序’到哪里終止？如何表達出思考的‘序’？”從而引導出本題有序思考“序”的起點是長8、寬1，“序”的終點是長5、寬4，即長和寬最接近的時候終止。用列表的方法表達序的思考過程比較清楚、簡潔、明了。這樣教學，突出了“序”在一一列舉中的地位。一一列舉思維的焦點就是“序”，讓學生從中明白“序”的重要性，同時也體會到用合適的方式表達有序思考的必要性，使有序思考的“序”在學生頭腦中留下深刻的印象，烙下深深的印記。所以，找準序的起點和終點，是培養學生思維縝密性的內在邏輯起點。用合適的方式把有序思考的過程表達出來是思維縝密性的外在表現形式，也是有序思考、一一列舉的思維起點。

二、一一列舉的“類”——思維的原點

“類”是很多相似事物的綜合，如種類、類群、類別、分類等。數學上的分類、類比、類推等都與類有關系。思維本身就是反應類事物特征的，反映客觀類事物的本質屬性和規律性，也就是思維反映的是一類事物所共同的、本質的屬性。所以，“類”在思維中非常重要。在用一一列舉策略解決問題的過程中，“類”顯得尤其重要，它是不重復、不遺漏的前提，也是不重復、不遺漏的思維原點。如蘇教版五上解決問題策略中的例2：“訂閱下面的三種雜志（七彩語文、科學世界、數學樂園），最少訂1本，最多訂3本。有多少種不同的訂閱方法？”為了突出“類”在一一列舉中的思維作用，我設計了這樣的問題：“序”的起點在哪里？如何表達“序”？學生說“序”的起點是從1本開始，用列表法表達“序”的排列。從“1本”開始，學生的潛意識里已經進行了分類，分為訂閱1本、2本、3本這三類。因此，我又進行了追問：“那‘序’的終點呢？”生：“3本。”于是引導學生總結得出：這樣的一一列舉問題，其實就是進行先分類，根據具體問題先分成幾類，再來分別進行一一列舉。這樣才會不重復、不遺漏，思維有序，條理清楚。所以，教學時要突出“類”在一一列舉中的思維作用，它是一一列舉的思維原點，可以培養學生有序思考，還能培養數學思維的有序性、縝密性，更能培養學生做事、處事和思考問題周全性、周密性、全面性的優秀品質。

所以，教學一一列舉策略時，要能夠挖掘一一列舉策略的思維起點和原點，找準問題的思維焦點，抓住學生思維的變革點、契合點，使之達到平衡點。這樣可使學生的思維有序又有規律，清晰又有條理，周全又周密，絲絲入扣，條縷析分。同時，也培養了學生人生處事、解決問題、思考問題的細致、周到、全面、謹慎，使之思維如水銀瀉地的嚴密，做事如閃電行空般的果斷抉擇與決策，這才是一一列舉策略的教育價值追求。

（責編 藍 天）