唱響數學概念教學“四部曲”

南京大學哲學系的鄭毓信教授認為：“數學概念教學是數學課程改革深入發展所必須解決的一個難點，教學時要淡化形式，注重實質，要由‘靜態’的教學定義向‘動態’的生成過程過渡。”這段話充分表明概念教學是擺在數學教師面前的一個重要問題，同時也啟示我們在教學中應重視概念的形成過程。

然而，在實際教學中，由于一些教師在認識上存在偏頗，致使數學概念教學出現“走過場”或“囫圇吞棗”的現象，導致學生對數學概念的理解似是而非，抓不住數學概念的本質特征，思維訓練缺乏必要的根基。即使花大量時間進行練習，但最后還是收效甚微，以至于出現了一部分很難補救的學困生。針對這一問題，我進行了實踐與研究。下面將結合教學中的具體實例，從概念的引入、形成、鞏固與應用四方面來談談有效實施概念教學的淺見。

一、充實感知，建立表象——引入概念

數學概念的引入，是數學概念教學的首要環節。由于數學概念的抽象與嚴謹，而小學生思維又是以直觀形象為主，因此，一般在概念的引入過程中，教師還是應遵循學生的心理與認知特點，盡可能提供豐富的感性材料，借助觀察與操作活動，積極發揮表象的橋梁作用，讓學生感知具體事例，為下一步數學概念的形成奠定基礎。

1．在觀察比較中建立表象

在學習新概念前，教師可以有目的地組織學生觀察比較與概念對應的學習素材，并提出思考性問題，讓學生借助知覺，豐富感知性表象。例如，在“軸對稱圖形”教學伊始，教師首先對圖形王國中這種“對稱”現象進行探底，讓學生先說說自己印象中的“對稱”，在此基礎上出示有關對稱的組圖，讓學生觀察分辨哪幾個圖形是“對稱”的，并說說理由，使學生豐富了軸對稱圖形的表象。又如，在教學“乘法的初步認識”時，為引出乘法的概念，教師往往首先通過看圖提問和列加法算式解決問題，然后讓學生觀察、比較這一類算式（相同加數連加）有什么特點，從中積累“相同加數相加”的表象，建立“幾個幾”相加的概念，從而為認識乘法做好準備。

2．在動手操作中建立表象

小學生的表象形成經常是從動作開始的，借助動作思維可以獲得鮮明的感知。因此，學生在學習數學概念時，教師要多鼓勵學生運用學具進行動手操作，通過操作直接獲得表象。例如，在“倍的認識”教學中，我們可以通過讓學生利用學具擺一擺、用筆圈一圈等操作活動，使學生在腦海中建立“第一行幾個，第二行有多少個同樣多的幾個，就是幾的多少倍”這一清晰的表象。又如，在教學“圓的認識”一課時，為了讓學生建立圓心、直徑的表象，可讓學生進行下列動手操作活動：一是借助實物圓描畫剪紙，得到圓；二是反復折紙，發現交點，即圓心；三是觀察折痕，發現兩端在圓上，并且通過圓心，即直徑。有了這一表象作支撐，后面形成圓心、直徑及半徑的概念就輕而易舉、水到渠成了。

3．在對比辨析中建立表象

在概念引入階段，將兩個相關聯的概念進行對比，能使學生初步體會這兩個概念間的聯系與區別，也為更深刻地理解概念的本質作好鋪墊。例如，在“面積”一課教學中，有位教師利用課件創設了這樣一個對比的情境：美術課上，兩位同學給同樣大小的圓片添色，一個是沿著圓片邊線的一周涂了顏色，另一個給整個圓片都涂上了顏色。在此基礎上，教師通過提問“兩人分別涂了這個圓片的什么”，引導學生進行對比。這樣在概念的感知過程中，適當地運用對比，有助于建立正確的表象，為下面面積概念的形成及面積與周長區別的認識打下了基礎。

二、剖析屬性，揭示本質——形成概念

概念的形成是從了解事物的外部、具體、非本質屬性，到認識事物的內部、抽象、本質屬性這樣的一個逐步深化的過程。因此，在概念剛引入時，學生對概念的認識往往只停留在感性階段，只有對感性材料進行深入剖析才能抽象出客觀事物的本質屬性，舍棄非本質屬性，從而形成并理解概念。可見，要使學生真正理解和掌握概念，關鍵在于揭示概念的本質特征，也就是反映事物的根本屬性及其主要表現，這也是該事物區別于其他事物或該概念區別于其他概念的根本之處。

1．操作發現，體會含義

操作發現是指在新授過程中，教師提供學生相關的學具并按照要求進行操作、實驗，使學生主動地、獨立地發現事物的本質屬性或規律。如在“分數的初步認識”教學中關于“1/2”這一概念的建立，教師可以設計兩個層次的操作活動。第一層次：借助統一的長方形紙片折一折 、涂一涂來表示1/2，讓學生明確表示方法不同，但都是將同一個長方形平均分成兩份，表示這樣的1份；第二層次：借助教師提供的不同平面圖形紙片（如圓、正方形、等邊三角形、長方形等），選其中一個折一折、涂一涂來表示1/2，讓學生體會圖形不同，但涂色部分都可以用1/2來表示。通過以上兩個層次的操作活動，讓學生體會1/2的含義，從而抽象出1/2的本質屬性。

2．對比發現，理解特征

對比發現是指通過比較事物之間的相同點和不同點，從而總結出本質屬性或規律。運用這種方法可以防止知識間的割裂與混淆，有助于弄清容易產生混淆或者難以理解的概念，使學生深刻地把握概念的本質所在。例如，教學“梯形”一課時，為讓學生理解梯形的概念，教師可以將梯形與平行四邊形進行對比，這樣就可以突出“只有一組對邊平行的四邊形”這一梯形的主要特征。又如，在教學“折線統計圖”時，為了理解折線統計圖的特征與作用，我利用統一的學習素材——聰聰一周（5天）的1分鐘跳繩統計情況，將制成的折線統計圖與條形統計圖進行比較。學生通過比較發現它們之間的聯系與區別，從而加深對折線統計圖特征及作用的理解。

3.類比發現，感悟聯系

類比發現是指根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，聯想或猜想它們的其他屬性也可能相同或相似，繼而得到新的結論。這種方法可以使學生明確知識間的聯系，建立概念系統。例如，教學“比的基本性質”時，教師可引導學生根據比與分數和除法之間的關系（即比的前項相當于分數的分子或除法中的被除數，比號相當于分數線或除號，后項相當于分母或除數，比值相當于分數值或商），及分數的基本性質和商不變的規律，教師引導學生大膽進行猜測：“在‘比’這部分知識中是不是也有一個比值不變的規律？”最后通過驗證，得到比的基本性質。

4．歸納發現，揭示本質

歸納發現是指引導學生對大量的個別材料進行觀察、分析、比較、總結，從特殊中歸納出一般的帶有普遍性的規律或結論。它是一種不完全歸納，但它仍能從特殊事例中發現該類事物的一般規律。教學中可以引導學生通過對具體實例的直接觀察，進行歸納推理，得出結論；也可以讓學生對實際例子進行分析，歸納出結論。例如，在學習“乘法分配律”時，先讓學生計算以下題目：①（32+25）×4 和 32×4+25×4；② （64+12）×3 和 64×3+12×3。計算后很容易發現每組中兩個算式的結果相同，再引導學生觀察、分析，可以看出左邊算式是兩個數的和與一個數相乘，右邊算式是兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加。雖然兩個算式不同，但結果相同，背后所蘊涵的意義和算理是相同的。最后在揭示這一本質的基礎上，引導學生歸納總結出乘法分配律。

三、變式判斷，內化認知——鞏固概念

數學概念的鞏固過程，是概念教學中不可忽視的重要環節。它是識記概念與保持概念的過程，也就是加深理解與靈活運用的過程。因此，在概念形成以后，教師可以采用變式判斷這一手段，充分利用其“似是而非”的特點，挖掘、強化概念的本質特征，從而進一步鞏固和理解概念。例如，在“角的初步認識”這一課教學中，當學生已初步建立角的概念、掌握角的特征之后，教師安排了一道“請把角寶寶送回家”的辨析練習題（如下圖）。

此題教師以多媒體課件呈現，讓學生先判斷，再進行有層次的反饋。首先，借助前三個圖中的其中一個，說說為什么是角。其次，借助圖（4）和圖（5），說說為什么不是角，從而明確角的特征，再通過修改使它們變成角。第三，修改圖（5），將它變成角，并利用多媒體將角分兩次順時針旋轉90度，讓學生判斷是否還是角。在學生回答的基礎上，教師順勢小結：“看來，不管位置怎么變，它還是和其他角一樣具有一個頂點與兩條邊，所以它還是角。”此練習的設計，教師充分利用了變式例證，通過動靜結合，讓學生深切感悟到“雖然角的方向位置不同，但是所具有的特征相同，本質不變”，從而使角的概念深入人心。

又如，在“倒數的認識”教學中，當學生初步理解倒數的概念之后，有不少學生頭腦中因先入為主的觀念——“倒”，簡單地誤認為“倒數”就是位置顛倒。因此，教師在概念的鞏固階段，可以設計類似“0.5和2是倒數嗎”這樣的變式判斷練習，讓學生在思辨中，從倒數的概念從發，真正理解“只要乘積是1的兩個數就是互為倒數”。這樣不僅有效地強化了倒數的正確概念，而且培養了讓學生從本質上去認識事物的科學態度。

所以，在概念的鞏固階段，我們往往會把有關對象暫時從它與周圍事物的豐富聯系中割裂開來，相對獨立地加以學習與研究，設計專項練習，利用變式判斷突出概念的本質屬性，排除影響學生形成概念的其他干擾因素，從而進一步獲得正確的概念。

四、解決問題，深化理解——應用概念

概念教學，不僅應重視概念的邏輯建構，還應注重概念的實際應用。將抽象的數學概念運用于各種現實情境并解決相應的問題，既能促進學生對數學概念的深刻理解，又能讓學生體驗到數學概念學習的價值。

例如，在學習“比的意義”后，為進一步加深對“比”的認識與理解，體會數學與生活實際的聯系，教師設計了這樣一個解決問題的練習：“家里來客人，我想給客人泡一杯蜂蜜水，現在有三種不同的配制方案（課件出示）：蜂蜜與水的比是1︰1、1︰10、1︰100。”

（1）你建議老師選擇哪種？并說說理由。

（2）如果現在就把蜂蜜與水按1︰10的比配制成蜂蜜水，攪拌均勻后，蜂蜜和蜂蜜水的比是（ ）。

（3）老師把配制好蜂蜜水中倒入10個小杯，每一杯一樣甜嗎？你能用我們今天學過的知識來解釋這個原因嗎？

通過設計這樣的練習，不僅有效地鞏固了比的意義，加深了對比的理解，而且培養了學生運用數學概念解釋生活現象的能力。

又如，學習“折線統計圖”后，教師安排了這樣一道習題：根據圖（略）猜測可能會是哪種事物的變化情況。在學生充分發言的基礎上，教師出示三種選項：A.運動后心跳變化；B.寧波8～12月平均氣溫情況；C.某同學最近5次數學測驗成績。讓學生進行選擇，并說明理由。通過這一先開放、再集中的分層練習，不僅提高了學生對折線統計圖的認識，而且讓學生體驗到數學知識在實際生活中的應用價值。

上述教學結合生活實際，使概念在解釋、應用中得到鞏固，在鞏固中又進一步加深對其的理解。同時，用所學的概念去解決學生身邊的一些實際問題，讓學生深切感受到運用數學解決問題的成功喜悅，從而激發新的學習動力。

當然，以上概念教學主要是針對新授課而言。由于數學是一門結構性很強的學科，因此，當教學進行到一定程度時，教師還可以利用概念間的內在邏輯，對概念進行歸類整理，逐步形成概念體系。通過概念的系統整理，幫助學生找到新舊概念之間縱向或橫向的聯系，并將新學的概念納入原有的概念系統中，使學生在頭腦中形成良好的認知結構。這樣，既有利于學生對知識的檢索、提取和應用，又促進知識的遷移，發展學生的數學能力。

總之，在整個小學數學教學過程中，突出概念教學地位，掌握概念教學規律與方法，對提高教師業務水平、教學質量都具有重要的意義。我們應遵循小學生的心理特點和認知規律，充分利用學生的知識基礎和生活經驗，采取正確、有效的教學方法，使學生獲得清晰、完整、準確的數學概念，從而達到夯實學生數學根基和提高數學素養的目的。

（責編 杜 華）