數(shù)形結(jié)合,巧解數(shù)學(xué)難題

“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”，這句話形象、生動地指明了數(shù)形結(jié)合思想的價值，也揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、相互利用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。那么在教學(xué)中教師該如何去挖掘并適時地加以滲透呢？對此，筆者結(jié)合自身的教學(xué)實踐，從數(shù)的概念教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)的運(yùn)算中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在解決問題的過程中來談數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的滲透。

一、 在數(shù)的概念教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合

“數(shù)”對于低年級學(xué)生來說十分抽象，那么，教師如何才能讓學(xué)生更好地理解數(shù)的意義呢？筆者認(rèn)為最好的辦法是通過“數(shù)形結(jié)合”，將數(shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為圖形，使數(shù)經(jīng)歷變抽象為形象，再回到抽象的過程，這是基本的、自然的手段。如在教學(xué)“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”時，先出示實物圖，看實物圖畫點(diǎn)子，再寫數(shù)，建立實物圖與點(diǎn)子之間的一一對應(yīng)關(guān)系，再抽象出數(shù)。學(xué)生經(jīng)歷了“抽象—形象—抽象”的過程，建立起對數(shù)的形象感知。

又如，在認(rèn)識了100以內(nèi)的數(shù)以后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上寫數(shù)、找數(shù)，將數(shù)有規(guī)律有方向地排列，從而使抽象的數(shù)能夠在可以看得見的數(shù)軸上形象、直觀地表示出來，將數(shù)與位置建立一一對應(yīng)關(guān)系，既有助于理解數(shù)的順序、大小，又有助于理解數(shù)列的規(guī)律（見下圖）。

在數(shù)軸上找到80、50，想一想，1大概在什么位置？95呢？

數(shù)軸不但將抽象的數(shù)直觀形象化，而且在找數(shù)的過程中感知了數(shù)的大小，發(fā)展了數(shù)感。

二、 在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

一些有規(guī)律的運(yùn)算如幾個連續(xù)奇數(shù)相加1+3+5+7+9，或者1+2+3+4+3+2+1，如何簡單地計算這些有規(guī)律的式題呢？教師可以借助正方形將這兩道加法式題形象地表示為點(diǎn)陣圖，使加法式題形象化、視覺化，讓學(xué)生在生動有趣的活動中觀察、尋找圖形的特點(diǎn)，從而探索出數(shù)列的規(guī)律，并體會到圖形與數(shù)的聯(lián)系（見下圖）。

正方形中的點(diǎn)陣特別適宜于學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合思想的魅力，學(xué)生通過觀察、推理等活動，在生動的情境中找出圖形的變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、想象與歸納概括能力，提高學(xué)生合作交流與創(chuàng)新的意識，這是一個從數(shù)到形的過程。在學(xué)生概括規(guī)律后，教師可以讓學(xué)生觀察下圖。

根據(jù)圖的變化推理出下一個點(diǎn)陣圖，再根據(jù)點(diǎn)的變化規(guī)律計算出它的點(diǎn)數(shù)，這是一個從形到數(shù)的過程，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化”的思想方法。

三、 在解決問題的過程中挖掘數(shù)形結(jié)合思想

如果說從圖形上抽象出符號，只能代表人們的認(rèn)知事物的過程，還不能體現(xiàn)其在數(shù)學(xué)中的獨(dú)特作用；那么以形助數(shù)，則善于在圖形的分析中快捷地解決問題，促使思維層次不斷上升，這就充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的用處了。

數(shù)形結(jié)合的思想方法將小學(xué)數(shù)學(xué)中一些抽象的代數(shù)問題進(jìn)行了形象化，將復(fù)雜的代數(shù)問題賦予了靈活變通的形式，這正是用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)與代數(shù)問題的有效途徑。如雞兔同籠問題。

籠子里關(guān)著一些雞和兔，數(shù)一數(shù)它們的頭一共有5個，數(shù)一數(shù)它們的腳一共有14只，請問籠子里分別有幾只雞、幾只兔？你知道這題是怎么運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來解決的嗎？

用“”表示頭，用“”表示腳，先畫出5只雞，如圖：

這樣一共只有10只腳，多出14－10=4只腳，再給其中兩只“雞”各添上２只腳，成為了“兔子”，如圖：

用算術(shù)方法解決雞兔同籠問題，有的學(xué)生不能完全理解，而借助畫圖，一步一步總結(jié)方法和規(guī)律，幫助學(xué)生理解。即使一、二年級的學(xué)生，也能完全掌握這種數(shù)形結(jié)合的方法。

四、 在建立函數(shù)思想前打好數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)

小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然還沒有學(xué)習(xí)函數(shù)，但已大量滲透“函數(shù)”思想，在教學(xué)中使學(xué)生初步感知函數(shù)與圖象的關(guān)系，是很有必要的。如一、二年級確定位置的教學(xué)設(shè)計中，用數(shù)對表示平面圖形上的點(diǎn)，在用“數(shù)對”表示“位置”時，可以將“座位”平面圖轉(zhuǎn)化為比較形象的“直角坐標(biāo)系”，建立“數(shù)對”與平面上“點(diǎn)”之間的一一對應(yīng)關(guān)系。點(diǎn)的平移引起了數(shù)對的變化，而數(shù)對變化也對應(yīng)了不同的點(diǎn)。這些學(xué)習(xí)為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。此外，在學(xué)習(xí)比例中，讓學(xué)生通過描點(diǎn)連線來表示正比例函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)只要是成正比例關(guān)系的式子，畫在坐標(biāo)圖中就是一條直線，從而體會到圖形與函數(shù)之間密不可分的關(guān)系。

“數(shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號和文字，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。通過數(shù)形結(jié)合的方法研究，可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形的性質(zhì)的問題很好地轉(zhuǎn)化；通過幾何直觀可以幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，幫助學(xué)生理解數(shù)運(yùn)算的意義，使解題思路與過程具體化。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，需要教師在平時的教學(xué)中有機(jī)地滲透，并不斷研究滲透的策略。

（浙江省諸暨市實驗小學(xué)教育集團(tuán)城東小學(xué) ３１１８００）