轉化法的巧妙應用

轉化是解決問題的一種重要手段。在教學中，教師如果能讓學生確立轉化的思想，掌握一些轉化的方法，讓他們用轉化的觀點去學習新知識、分析新問題，就能化新為舊、化難為易、化繁為簡，很多問題就可迎刃而解，事半而功倍。

一、 計算題中的轉化

計算是數學教學的重點之一，面廣，量大，題雜。四則運算的教學過程既是培養學生計算能力的過程，又是學生轉化思想和方法形成、運用的過程。對此，教師決不能只滿足于求得一個正確結果，而更應要求學生做到方法新、思路活、過程簡、效率高。

［例1］將數轉化為式

0.1257×8=（0.125+0.0007）×8

9×19=（10-）×19

［例2］將式轉化為數

4÷9×27=×27

6÷17+11÷17=+

［例3］改變數的形式

24×0.375=24×

13÷3=12÷3

［例4］同時加減同一個數

73×64+27×63=73×64+27×64-27

凡此種種，只要細加觀察，稍作轉換，就會柳暗花明。當然還有很多轉化形式，緊要處也不盡相同，需要慢慢練習，逐漸積累，才能掌握其中的要領。

二、 空間與圖形中的轉化

在空間與圖形的教學中，公式推導和運用是重點，更是體現轉化思想和策略的重點。

（一） 在公式的推導中體現轉化的作用

［例5］對于平行四邊形面積公式的推導，教師可以將“怎樣計算平行四邊形的面積”直接拋給學生，讓學生獨立思考，調動相關知識及經驗，尋找可能的方法解決問題；然后通過剪一剪、拼一拼，將平行四邊形轉化為長方形，讓學生真實感受變化前后它們的面積相等；引領學生觀察、比較，認識長方形的長和寬就是平行四邊形的底和高，從而推導出平行四邊形面積為底×高。

（二） 在解決問題過程中體會轉化的魅力

教材中安排的任何一個新知識，總是原有知識深化和發展的結果。教學中，教師應引導學生找到新舊知識的連接點，促使他們快速高效地學習新知。

［例6］在“容積和容積單位”教學中，有這樣一個問題：形狀不規則的物體（如西紅柿、梨、石塊……），怎樣求得它們的體積？

這是個很有趣的問題，既困難又容易，既復雜又簡單。如果僅有會求體積的基礎，而沒有轉化的思想和方法，或雖能轉化，但找不到轉化前后的聯系，還是徒勞的。對此，筆者給學生講了這樣一個故事：一天早上，愛迪生外出前，交給徒弟一個任務：測出一個燈泡的體積。但直至愛迪生回來，徒弟還在那里拿著燈泡和尺子量了又量，急得團團轉！愛迪生見狀，二話沒說，拿起燈泡，按入量杯，燈泡的體積立馬求得！這就是轉化！那么，燈泡的體積與量杯中水的體積之間有什么本質的聯系？等學生悟透后，再用量杯做實驗，這樣，求土豆、石塊等的體積就易如反掌了。這個轉化過程將不易求得的不規則物體的體積轉換成已學的形體的體積，不僅使問題迎刃而解，而且使學生做到觸類旁通！

［例7］如下圖，AB=8cm，甲的面積比乙少7.12cm2，求BC的長。

要想解這道幾何題，如果不對圖形進行認真觀察，不對條件作必要的轉換，是無法求得的。經過考察發現，乙加右下的空白部分就是半個圓，甲加左下的空白部分就是一個三角形，這樣“甲的面積比乙少7.12cm2”就轉化為“三角形ABC的面積比半圓少7.12cm2”，問題便順利解決了。

三、 解決問題中的轉化

（一） 在分率轉換中體現轉化的優勢

1. 把比轉化成分數

［例8］小明讀一本書，已讀的與未讀的頁數比是1∶5，如果再讀30頁，則已讀的與未讀的頁數比是3∶5，這本書一共有多少頁？

這題看似簡單，但若把這兩個比轉化為和 就易出錯了，因為這兩個分率的標準不同。因此要先統一標準，把兩個“已讀的與未讀的頁數比”分別轉換為已讀的占總頁數的和，從而求出總頁數：30÷（-）。

２. 把分數轉化成比

［例9］趙、錢、孫、李按勞動工種分配獎金，趙分得的獎金是錢、孫、李三人獎金和的，錢分得的獎金是趙、孫、李三人獎金和的，孫分得的獎金是趙、錢、李三人獎金和的，李分得獎金31200元。趙、錢、孫各分得多少元？

這題的已知條件雖用分率給出，但它們的標準各不相同，這就給解題帶來了難度，若用方程解答，會出現多個未知數，小學生無能為力。但如果對題中的條件細加考察，利用分數與比的內在聯系，把分率都轉化成比，就能輕易求得趙、錢、孫各占獎金總和的、和，列式計算總獎金：31200÷（1---），然后分配。

這種轉化已知條件的方法對提升學生的思維能力是十分有利的。

（二） 在條件變換中撥開迷霧

1. 改變題中條件的敘述順序

［例10］一項工程，甲、乙合做30天完成，乙獨做40天完成，現由甲獨做若干天后，剩下的甲、乙又用25天完成，那么甲先做了幾天？

工程問題的數量關系本來就比較抽象，按這樣的條件敘述，學生理解起來難度較大，若在保持題意不變的情況下，把后兩個條件倒敘為“現由甲、乙先做25天，剩下的由甲獨做，甲還要多少天完成”，理解的障礙就掃清了。

２. 對已知條件作適當的重組

［例11］一件工作，甲獨做要12小時完成，現由甲、乙合做2小時后，剩下的工作乙又用了5.5小時完成，若全部由乙獨做，幾小時完成？

初看這題，三個條件似乎風馬牛不相及。但如果對“甲、乙合做2小時”進行認真分析，作適當的拆分和組合，變成“甲、乙各做了2小時”，并把甲做的2小時分離出來，變成“甲先做2小時”；接著“乙又用了（2+5.5）小時完成”，解答就順了。

（三） 轉換角度重新詮釋雞兔同籠問題

“雞兔同籠”是我國民間廣為流傳的數學趣題，解決方法有畫圖法、列表法、假設法和方程法，古人還有“金雞獨立”的奇思妙解，令人嘆為觀止。

但教師在教學中發現，這些方法都有局限性：畫圖法和列表法受數據的制約；“金雞獨立法”只對“雞兔”“龜鶴”有效，范圍狹窄；傳統的假設法，假設都是雞，求得的卻是兔的只數，假設都是兔，求得的卻是雞的只數，這讓學生感到匪夷所思。雞換兔，兔換雞，每換一只，總相差2條腿，要用總腿數之差除以一只雞兔腿數之差，讓學生如墜入云里霧里；而用方程法來解答，雖然思路較順，但往往要出現形如“2x+32-4x=26”的方程，這對還沒有接觸過諸如“a-bx=c”與“a÷x=b”（新課程中沒有此類方程，也不要求解答）的學生來說，解答確有難度，而且與新教材的編排體系相矛盾。

為了改變這種尷尬狀況，筆者另辟蹊徑，用“縮腿法”或“伸翅法”來詮釋傳統的假設法，大大降低了理解的難度。在讓學生感到新奇、好玩的同時，激發了學習興趣，而且改變了傳統方法的局限性，幾乎適合所有此類問題的解答。

［例12］籠子里有雞和兔。共35個頭，94條腿。雞和兔各有多少只？

……

師：我的這個方法更絕，叫“縮腿法”。聽好了，全體立正！動物們注意，以腿少的雞為標準，每個“縮起”2條腿！開始！

師：想一想，這時出現了怎樣的情況？

師：這時，兔子在想，幸好我有四條腿，縮兩條沒關系，我就用兩條腿站唄。不過，看雞們怎么辦！正當兔子幸災樂禍時，奇跡發生了，只聽一陣“撲哧撲哧”后，雞全飛走了。

調侃到這里，學生頓悟：這時，雞飛走了，只剩下兔了！35只動物少了70條腿，剩下24條腿，全是兔子的，這時每只兔子只用2條腿站立，所以有12只兔。好玩！

轉化的思想和策略雖然重要，但這種洞察力，這種變通方法的掌握，是無法一蹴而就的，需要通過一定的練習，日積月累才能形成。所以教師應結合教學內容有意滲透、介紹、運用，持之以恒地訓練，讓學生在運用中學習，在運用中領悟，在運用中掌握，在運用中熟練，最終學會用轉化的思想去學習新知識，分析新內容、解決新問題。

（浙江省寧海實驗小學教育集團城西校區 314400）