“長方體認識教學研究”校本教研活動方案

一、 活動目標

1． 教師經歷閱讀、思考、解答并與同事交流有關長方體教學研究的相關資料的過程。

2． 教師能夠明確長方體概念的嚴格定義，并知道長方體的相關概念及其關系。

3． 教師能夠比較不同的教學導入方式，并形成自己的導入方式。

４. 教師能夠提升自己對長方體特征教學的能力。

二、 活動內容、形式與時間

1． 數學組教師獨立解答長方體認識的相關問題，并與同事交流；獨立解答時間約2小時，交流時間約1小時。

2． 教研組確定一位教師上一節教研課，其他教師聽課后評課。聽課時間約40分鐘，評課與交流時間約1小時。

可以根據學校教研活動的時間和教研組教師的情況，選擇下面“活動前準備”中的一些問題進行解答與交流。

三、 活動前準備

解答下面的問題，并準備交流。

一

1． 請你先閱讀下面一些概念的定義，體會這些概念之間的邏輯關系，感受數學的嚴密性，并解決相應的問題。

（1） 觀察圖1，想一想，哪幾個圖形是多面體？如果要給多面體下定義，應該怎么表達？對多面體的“組成元素”（頂點、棱、面）又該如何定義？

讀一讀下面的定義，體會這些數學概念的本質屬性。

①由幾個多邊形圍成封閉的幾何體叫做多面體。

②圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面。

③相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱。

④若干個面的公共頂點叫做多面體的頂點。

想一想，在平面內，多邊形邊數最少是幾邊形？在空間中，多面體面數最少是幾面體？

（２） 觀察圖2，想一想，哪幾個多面體是棱柱？如果要給棱柱下定義，應該如何表達？

讀一讀下面關于棱柱的定義，想一想，棱柱的本質屬性是什么？

有兩個面互相平行，其余每相鄰兩個面的公共邊都互相平行的多面體叫做棱柱。這兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側面。相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱。

（3） 觀察圖3，想一想，什么叫斜棱柱？什么叫直棱柱？

先閱讀下面的定義，再判斷圖3中哪個是三棱柱，哪個是正棱柱。

側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四邊形等，這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱等。

（4） 觀察圖4，想一想，什么叫平行六面體？斜平行六面體、直平行六面體、長方體和正方體各是怎么定義的？

先閱讀下面這些概念的定義，再畫一個集合圖來說明這些概念之間的相互關系。

底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體。其中，側棱與底面斜交的叫斜平行六面體。側棱和底面垂直的叫做直平行六面體。底面是長方形的直平行六面體叫做長方體。棱長都相等的長方體叫做正方體。

2． 一般的教材中，通常把長方體的特征描述為：“長方體有6個面，且都是長方形，相對的兩個面完全相同；長方體有12條棱，并可以平均分成三組，每一組4條棱的長度相等。長方體有8個頂點。”看了這些特征后，你能否確認這一定是底面為長方形的直平行六面體？為什么？

3． 現行人教版教材五下第28頁中，有這樣的描述：“長方體是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。……”想一想，上面括號里的這句話是否正確？為什么？在特殊情況下，這6個長方形中，三個面是正方形是否有可能？四個、五個或六個面是正方形是否有可能呢？為什么？如果除了兩個面是正方形這種特殊情況外，還存在其他的特殊情況，是否也需要在括號里加以說明呢？為什么？

二

1． 現行的各版本教材中，認識長方體、正方體（立方體）一般分為兩個階段：在一年級或二年級時，初步認識長方體、正方體；在五年級或六年級時，對長方體、正方體作進一步的認識。你覺得前后兩次“認識長方體、正方體”在教學目標上有什么不同？

2． 教師在引導學生得到長方體的特征時，一般是從頂點的個數、棱的條數與長短、面的形狀與大小這三方面來把握。你認為在教學時，教師是應該引導學生先研究頂點，再研究棱，最后研究面？還是應該從面的研究開始？為什么？

3． 如果在“長方體認識”這節課的開頭，設計以下導入環節：教師依次拿出事先準備好的各種長方體形狀的實物，并與學生進行以下交流：師（手拿魔方）：這是什么東西？用什么材料做成的？生：這是魔方，是塑料做的。師（手拿盛藥的紙盒）：這是什么東西？是用什么材料做的？是什么顏色的？生：這是盛藥的盒子，是用紙板做的，白色的。教師繼續拿出鐵皮做的紅色餅干箱，玻璃做的透明的魚缸等實物。通過上述交流教師想讓學生明確這些東西在用途、材料、顏色等方面的不同。接著教師提出：這些東西有許多不同的地方，想一想，它們有什么共同的地方呢？從而讓學生得出：這些東西的樣子都是方形的，形狀都是長方體。最后教師導出課題：認識長方體。

對于上面引入的教育價值，甲、乙兩人有不同的觀點，甲認為：這個導入過程很不好，東西的用途、顏色、材料都不是數學要研究的，教師沒有必要引導學生關注這些非數學的內容，這是在浪費時間。應該開門見山問學生：這些東西是什么形狀的，直接導出要研究的內容。而乙認為：這是一個很好的導入過程。教師先引導學生關注這些現實生活中的實物，包括它們的用途、材料、顏色等。在此基礎上，引導學生關注這些物體的共同點，從形狀的角度去發現共性，這正是從數學的角度去觀察這些物體，這個過程能夠讓學生感受什么是數學的視角。

你認為這是一個好的導入過程嗎？甲、乙兩人的觀點，哪一個更有道理？為什么？

4． 如果在教學長方體的認識時，設計下面的導入環節：教師在黑板上事先畫好一個長方形和一個長方體，并指著長方形與長方體問學生：

（１） 它們分別叫什么名字？學生可能回答：分別叫長方形和長方體。

（２） 這兩個圖形有什么不同？學生可能回答：長方形是平面圖形，長方體是立體圖形；長方形只有一個長方形，長方體中有六個長方形；長方形只有一個面，長方體有六個面。

（３） 長方形的特征是什么？學生可能的回答：長方形的對邊相等，四個角都是直角。

今天這節課我們要研究長方體的特征。教師板書：認識長方體。

你喜歡上面這個導入嗎？這樣的導入有什么優點？

5． 在教學長方體面的特征時，可以讓學生：摸一摸每一個面；看一看面的形狀；數一數面的個數；比一比面的大小。

（１） 在數面的個數時，教師常常引導學生按照“上面，下面；前面，后面；左面，右面”這樣的順序數。想一想，按照這樣的順序數，有什么優點？

（２） 在比一比面的大小時，你怎樣引導學生得出：相對的兩個面的大小相等？

以下是兩個引導學生得出“相對的兩個面的大小相等”的過程，這兩個引導過程各有什么特點？你更喜歡哪一個過程？為什么？

引導過程一：①教師拿出事先做好的一個長方體模型，先讓學生指一指哪兩個面可能是相等的。當指出上面與下面相等時，教師將教具模型中的這兩個面（紙板）剝下來（撕下來），并把這兩個面重疊在一起，讓學生看到這兩個面完全重合，從而得到上面與下面這兩個相對的面相等。前面與后面、左面與右面也作類似的操作。②用電腦課件演示：將上面這個面向下移動與下面這個面重合。其他面也作類似操作。

引導過程二：①教師拿出事先準備好的長方體模型，告訴學生上面的這個長方形的長是6厘米，寬是4厘米，即面積是一個6×4（平方厘米）的長方形，那么，想一想，在長方體的其他面中，也有面積為6×4（平方厘米）這樣大小的長方形嗎？為什么？讓學生運用長方形對邊相等，得到下面這個長方形的面積也是6×4（平方厘米）的。教師進一步假設前面的這個面是面積為4×3平方厘米的長方形，同樣讓學生運用長方形的特征說明前面與后面、左面與右面的大小也相等（見圖5）。② 教師出示長方體的模型，并在頂點標上字母（見圖6），讓學生說一說哪兩個面的大小相等，為什么？

引導學生表達：上面這個長方形AEFB與下面這個長方形DHGC大小相等。這是因為左、右兩個面都是長方形，根據長方形的特征，它們的對邊相等，所以得到AE=DH，BF=CG；根據前、后兩個面都是長方形同樣可以得到AB=DC，EF=HG。所以上下兩個面大小完全一樣。同樣道理可以說明前后、左右面的大小也分別相等。（在研究了棱的特征以后，學生已經明確了長方體有12條棱，分成三組，每組的四條棱長度相等。也可以用棱的特征來說明相對面的大小相等。）

6． 在學生初步認識長方體面的特征后，教師設計以下教學環節，你覺得這樣的教學過程有什么價值？

教師出示一個面積為4×3（平方分米）的長方形實物紙片，問：如果這是長方體的一個面，那么你可以知道什么？

學生可能會說：可以知道還需要五個面才能做成長方體；如果把這個面作為前面，那么這個長方體的后面也是面積為4×3（平方分米）的一個長方形。

師：你還能想象出其他面的樣子與大小嗎？

學生可能會說：其他面的形狀都是長方形，但大小不知道。如果這個面是前面，那么左右兩個面是相等的，兩個長方形都有一條邊長是3分米；上、下兩個面都有一條邊長是4分米（見圖7）。

師：確定長方體的一個面，這個長方體的其他面能夠完全確定嗎？為什么？

生：不能，如果這個4×3的面是前面，那么與它一樣大小的后面這個面可以離它近一點，也可以離它遠一點。（教師根據學生的回答出示圖8）

師：確定一個面的大小，不能確定這個長方體其他面的大小，那么確定兩個面、三個面……六個面呢？至少要確定幾個面呢？

引導學生得出：至少要兩個相鄰的面（相鄰的面就是有一條公共邊的兩個面）。出示圖9，確定前面的面積是4×3，確定上面的面積是6×4，這樣就可以確定長方體的其他四個面，長方體的大小就完全確定。

7．在北師大版教材五下年級第15頁有這么一道題目：

憑你的經驗，在學生學習了長方體面的特征后，大約有多少學生能夠獨立地解決這個問題？在上面題目中，如果不給題目中的這個長方體圖形，學生也能夠解決這個問題嗎？有圖與沒有圖這兩個題的難度哪一個大？為什么？如果有部分學生在沒有圖時，就不能解決這個問題，那么，這些學生的困難是什么？

8． 在學生認識了頂點、面和棱后，教材常常會安排讓學生用材料來做一個長方體的模型。浙教版教材五下年級第91頁中，在學生做長方體的模型之前，提出了以下的制作要求：用小圓球（頂點）和四種不同長度的小棒（棱）（分別以A，B，C，D表示），制作長方體、立方體模型的框架。①每組制作兩個長方體框架，其中一個是正方體框架；②制作前先小組討論填好領料單；③按照領料單領取材料；④制作完成后，討論棱和頂點各有什么特點。如果材料不夠或有多余請說明原因。

你覺得讓學生在制作前先填寫領料單，有什么好處？制作后說明材料的情況，又有什么好處？

9． 在認識長方體時，需要學生認識長、寬、高的含義。如果你去上這節課，你會通過什么途徑讓學生認識長、寬和高？

請你先閱讀以下的教學過程，再回答問題。

教師出示一個還沒有制作完成的長方體的模型框架（見圖10）。

接著教師問學生：如果讓你來進一步完成制作，那么你還要幾根小棒（棱）？這些小棒的長度分別與已經搭好的哪幾根小棒（棱）的長度相等？

學生通過觀察、想象得出還要5根小棒，其中，與AB一樣長的兩根，與AD一樣長的也是兩根，與AE一樣長的一根。同時教師選出相應小棒并作繼續制作的演示。

師（指著圖10）：這個還沒有完成的模型已經有了7條棱，我們就可以確定其他棱的長度，從而來確定這個長方體。那么，沒有完成的模型不到7條棱，比如是6條、5條時，我們也能完成繼續制作一個長方體框架的任務嗎？

學生進一步觀察、想象，可能先會考慮到：由于AE=DH=CG，所以，去掉其中的任意兩根小棒（棱），留下一根小棒（棱），就可以確定這個方向上的小棒（棱）的長度（如圖11所示，在這三根中，只留下了AE，這樣就只有5條棱了，也能夠確定這個長方體的大小）。進一步考慮留下4條、3條、2條、1條。從而發現：最少需要留下相交于同一個頂點的三條棱，這樣才能夠確定這個長方體的大小。把必須的相交于同一頂點的三條棱分別叫做長方體的長、寬、高（見圖12）。

師：前面我們研究過，如果有兩個相鄰的面確定了，這個長方體就確定了。現在我們又知道，相交于同一個頂點的三條棱確定了，這個長方體就確定了。請想一想，這兩種“確定”之間有什么關系？讓學生得出兩者實質是可以相互確定的。也就是確定了長、寬、高就可以確定兩個相鄰面的大小，相反確定了兩個相鄰面的大小，也就是確定了長、寬、高。

問題：

（１） 這樣的教學過程有利于學生理解長、寬、高的含義嗎？為什么？

（２） 這樣的教學過程有利于學生理解長方體的面與棱在確定長方體大小時的關系嗎？為什么？

（3） 這樣的教學過程有利于培養學生的空間觀念嗎？為什么？

1０． 當研究了長方體的面、棱與頂點后，要求學生對這三個方面進行歸納，在歸納時，有些教師會給學生提供類似于下面這樣的表格。

你認為如果教師不提供給學生表格，學生在歸納時，能夠畫出類似這樣的表格嗎？教師提供表格或者不提供表格各有什么好處與不足？

（以上活動方案中問題的相應參考答案略）

（浙江省杭州市上城區教育學院 310006）