深化小學數學教學改革的八個新動向(上)

2011年12月，教育部頒布了《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）。這是根據１０年數學課程改革實踐取得的經驗以及發現的問題，在深入調查、認真研討和廣泛征求意見的基礎上，對《標準（實驗稿）》的修訂和完善，是對數學課程改革的深化。與《標準（實驗稿）》相比，《標準（2011年版）》對數學課程的基本理念、課程目標、核心概念、課程內容、實施建議以及課程標準的體例結構等都作了一定的修改，但總體是一脈相承、不斷完善、與時俱進的。縱觀本次數學課程標準的修訂，數學課程基本理念的闡述更清晰、更辯證，有利于更好地指導教師的教學實踐；數學課程總目標中提出了“四基”“四能”，更加突出了培養學生創新精神和實踐能力的改革方向和價值取向。小學階段的數學課程內容總體變化不大，一小部分內容有增有刪，有調整學段的、也有調整教學要求的。教師需要理解、準確把握修訂后的課程標準的精神實質和主要變化，把握數學教學改革的新動向，深化數學教學改革，進一步推進數學課程改革。

【動向之一】從“雙基”到“四基”，關注學生數學基本思想的領悟和基本活動經驗的積累，促進學生創新精神和實踐能力的發展。

我國數學教育一直重視“雙基”教學，對保證我國數學教育的質量起著重要的作用。在此基礎上，《標準（2011年版）》在數學課程目標中明確提出了“四基”，即“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。從“雙基”發展到“四基”，是本次課程標準修訂的重要變化之一，將“基本思想”和“基本活動經驗”確定為數學課程的基本目標，體現了對于數學課程價值的全面認識，有利于促進學生學習方式的轉變，有利于提高學生的實踐能力和培養學生的創新精神，有利于適應當前經濟和社會發展的人才的培養。

數學思想是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。關于數學基本思想，史寧中教授曾這樣闡述：“數學思想需要滿足兩個條件：一是數學產生、發展過程中所必須依賴的那些思想；二是學過數學的人所具有的思維特征。可以歸納為三種基本思想：抽象、推理和模型。通過抽象，把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學研究的對象；通過推理，得到數學的命題和計算方法，促進數學內部的發展；通過模型，創造出具有表現力的數學語言，構建了數學與外部世界的橋梁。”也就是說，抽象、推理和模型是三種數學基本思想。而處于“數學的基本思想”下一層次的數學思想，還有很多，如歸納思想、演繹思想、分類思想、化歸思想、轉化思想、類比思想、逐步逼近的思想等更具體化的數學思想。學生的數學思想的形成要經歷積累感性認識，到逐步感悟、理解的過程。數學知識的學習過程要成為學生對數學思想的感性認識不斷積累直至理解的過程。如學習“乘法分配律”時，學生經歷“生活原型—提出猜想—舉例驗證—歸納總結”的過程。學生通過“3×（2＋4）＝3×2＋3×4”“32×（15＋25）＝32×15＋32×25”等大量的例子說明猜想的正確性，并歸納得出“a×（b+c）=a×b+a×c”的結論，在理解乘法分配律的同時，又一次積累了“歸納思想”的感性認識。再如，在學習圓柱體的體積計算方法時，可以先引導學生思考“我們學過長方體、正方體體積的計算方法，想一想，怎樣計算圓柱的體積呢”？由于圓柱和長方體、正方體都是直柱體，學生容易通過類比提出“圓柱的體積計算方法也可能是‘底面積×高’”的猜想，再把圓柱通過“切、拼”轉化為長方體，根據長方體體積的計算方法推導出圓柱體積的計算公式。這樣的教學，經歷了“類比猜想—驗證說明”的過程，學生不再僅僅是學會正確計算圓柱的體積，更是又一次體會了“類比思想”“化歸思想”等數學思想，從更上位的角度說就是領悟了“數學推理思想”。

數學基本活動經驗是學生個體在經歷數學活動的過程中獲得和積累的經驗，是學生經歷數學活動的過程與結果的有機統一體。數學活動經驗具有動態的、隱性的和個性化的特點，其核心是在數學活動中學生通過不斷累積形成自己的數學現實和數學直覺，逐步學會思考問題。積累基本活動經驗，主要是指在數學活動中思考的經驗，就是要讓學生“愿想問題，會想問題”，會有計劃、全面、仔細地思考問題。數學活動是積累活動經驗的前提，包括直觀感知、觀察發現、實踐探索、空間想象、歸納類比、猜測驗證、演繹證明等。無論是直接的活動，還是間接的活動，其核心都是學生思考問題，積累數學思維活動經驗的過程。經歷數學活動是積累活動經驗的關鍵，正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說：“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的。”因此，數學教學要倡導學生“做數學”，讓學生充分經歷數學活動的過程，積累數學活動經驗。例如，在前面的案例“乘法分配律”的學習過程中，學生積累了“歸納”的活動經驗。再如，在學習“長方體的認識”時，教師鼓勵學生用多種方式探索長方體的特征，如把長方體剪開，然后用重疊等方法比較面的特點；用小棒或塑料吸管沿長方體的棱比一比、剪一剪，觀察探索棱的特點；用直尺測量等方式研究棱的特點。學生在充分的數學活動中，不僅掌握了“長方體有6個面、12條棱、8個頂點，長方體相對的面相等”等數學知識；而且積累了“從頂點、棱、面等不同角度研究立體圖形”的數學活動經驗，當學生在以后遇到其他立體圖形時，能從頂點、棱、面等不同角度去思考問題。又如，“圖形分類”的教學，學生首先要想“按什么標準進行分類”，確定標準后，觀察圖形，按一定的標準進行分類，最后再反思分類是否合理。這樣的過程有利于學生全面、仔細地考慮問題，有利于學生積累“從頭開始想問題”的基本活動經驗，啟發學生“愿想問題，會想問題”。

從“雙基”到“四基”，需要教師不斷思考“數學學習究竟給孩子們留下什么”？日本數學教育家米山國藏曾闡述這樣的觀點：在學校學的數學知識，畢業后沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘記在心中的數學精神、數學思想、研究方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。因此，作為學生數學學習初始階段的小學數學，不僅要重視數學概念、法則、公式、性質等顯性的數學知識的教學，更應該重視數學意識、數學思想方法、數學思維方式等數學素養的培養。引導學生學會思考問題，全面提升學生的數學素養，給學生留下“意識”“思想”“經驗”“習慣”“快樂”……為學生的后續學習和可持續發展奠定基礎。

【動向之二】從“兩能”到“四能”，關注學生發現問題與提出問題能力的培養，進一步提高學生解決問題的能力。

學生數學素養的高低，一個重要標志就是能否用數學的方法、策略、思想等去解決數學問題以及日常生活中的實際問題。在《標準（實驗稿）》重視學生“分析問題和解決問題能力培養”的基礎上，《標準（2011年版）》在數學課程目標中明確提出了“四能”，即“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。從“兩能”發展到“四能”，也是本次課程標準修訂的重要變化之一。將“發現和提出問題的能力”確定為數學課程的基本目標，是基于當前教學中重視學生解題但不重視學生提出問題的現狀提出的，也是基于培養學生創新精神和實踐能力的教育總目標提出的。因為任何創造都是從發現和提出問題開始的，科學上的許多發明往往都是從假設（提出問題）開始的。李政道說過：“要開拓創新路子，最關鍵的是你會不會自己發現和提出問題，能正確地提出問題，就是創新的第一步。”愛因斯坦也曾指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決問題，也許僅是數學上的或實驗上的技能而已，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看舊問題，卻需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。”

培養學生“發現和提出問題的能力”，指的是學生能從數學的角度發現數量或空間方面的關系，并能將這些關系用數學語言以問題的形式表達出來的能力，關鍵是學生的問題意識以及數學的抽象、建立模型等相關能力。學生發現和提出問題中的“問題”，可以是溝通生活與數學聯系的應用問題，也可以是純數學的問題。學生提出問題的層次也可以不斷提高，逐步學會從數學的角度發現問題和提出問題。例如，“張老師用60元錢，可以買12千克橘子，或可以買10千克香蕉，或可以買6千克香梨，或可以買5千克蘋果”，不僅要學生學會提出“橘子每千克多少元”“每千克蘋果比每千克香梨貴多少元”這樣的問題，而且還要引導學生學會從數學的角度提出數學問題。如“單價越貴，水果的數量是不是越少”“單價與數量成反比嗎”等更有數學味的問題。再如，在某路口組織學生進行車流量的統計，不僅要讓學生會提這樣的問題：“這個時段一共有多少輛車通過路口”“客車與貨車哪一種車多”，更要會提這樣的問題：“一天中不同時段的車流量相同嗎”“每天同一時段的車流量相同嗎”。發現和提出問題是建立在學生具備一定的知識積累、思維能力和語言組織能力的基礎上實現的。教師應根據不同年齡段的學生確定不同的要求，如低年級學生可以先從簡單的描述性問題開始，高年級學生逐步提高從數學的角度提出數學問題的要求，提升學生發現問題和提出問題的能力。教學中，教師要有意識地培養學生發現問題和提出問題的能力，營造寬松和諧的學習氛圍，鼓勵學生提出問題，同時要給予一定的示范引導，指導學生掌握科學的思考問題的方法，拓寬學生的思路；要構建熟悉而有趣的生活情境，并進行一定的語言引導，如“從這幅圖中你能發現什么數學信息，你能提出什么數學問題”“你能結合自己的生活實際發現并提出一個數學問題嗎”，讓學生不斷嘗試發現和提出問題的機會。這樣，通過長期引導和指導，學生的問題意識會不斷增強，發現問題和提出問題的能力也會不斷提升。

培養“分析和解決問題的能力”，要圍繞解決問題的過程，抓住關鍵環節進行針對性指導，即圍繞“情境理解，表征問題—分析數量關系，尋求解決方案—確定解決問題的方案并嘗試解決—檢驗、評價與反思”進行指導。一是要重視引導學生理解問題情境，學會閱讀信息和選擇信息，學會用多種方式表征問題，提高學生讀懂題意的能力；二是要變“分類教學”為“專題指導與運用提高相結合”，變“教解法”為“策略指導”。小學階段要經常進行畫圖、列表、模擬操作等策略的指導，在教學中一以貫之，逐步成為學生的思維習慣。三是加強運算意義的教學，注意溝通運算意義與解決問題的聯系。對運算意義的理解，對于能否有效地分析數量關系起著關鍵的作用。要加強運算“原型”教學，為學生理解數量關系以及順利實現“化歸”提供必要的“原型”支撐，以加深學生對運算意義的理解。如乘法的“原型”有“幾個幾”“面積”“倍數”“折扣”等。在具體解決問題時，還要注意溝通運算意義與解決問題的聯系。四是加強分析數量關系能力的培養。分析數量關系是從“數學問題”到“用數學方法解決問題”的“橋梁”，教師要加強數量關系的分析指導，引導學生分析已知數量與已知數量、已知數量與未知數量之間的關系，再根據運算的意義來選擇解決問題的方法。對于比較復雜的數量關系，教師要引導學生利用畫圖、列表等表征方式進行分析，并引導學生用“先……再……”“根據……可以知道……”等語言來表述，增強學生語言表達的條理性和嚴密性，但也不要過分追求“形式化”。五是引導學生對解決問題的過程和結果進行檢驗、評價，檢驗過程是否合理、結果是否正確。通過反思、回顧，不僅能幫助學生檢驗結果，而且能增加學生積累解決問題的經驗，幫助學生總結出解決問題的方法與策略，并將方法策略內化為直覺性的知識和個人的數學素養，并將它們應用到新的問題中去，從而實現學生分析解決問題能力的可持續發展。

【動向之三】以核心概念為紐帶把握數學課程內容的聚焦點，圍繞課程內容的核心要素展開教學，促進學生數學素養的綜合發展。

《標準（2011年版）》指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識。”與《標準（實驗稿）》相比，核心概念從“六個”變為“十個”，其中，空間觀念、推理能力、應用意識三個核心概念名稱不變，也基本保持了原有內涵。數感、符號意識、數據分析觀念三個核心概念名稱或內涵發生較大變化，新增加了運算能力、模型思想、幾何直觀、創新意識四個核心概念。這些核心概念其實質是在數學學習中需要培養學生的感悟、觀念、意識、思想、能力等，是義務教育階段需要提升的數學素養。同時，這些核心概念又往往是一類課程內容的核心或聚焦點，是組織教學內容、建立內容間聯系，使同一課程內容保持連貫和一致的紐帶。

把握好核心概念，有利于教師以核心概念為紐帶把握數學課程內容的聚焦點，理清課程內容的線索和層次，把握教學關鍵，結合具體的數學學習內容有意識地去提升學生的數學素養。如關于“運算能力”的培養，《標準（2011年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”教學中，教師首先應正確認識“運算能力”的內涵，運算能力不等同于運算技能，運算能力是運算技能與思維能力的有機結合，具體體現在分析題目條件和特征、選擇運算方法、確定運算順序等一系列思維過程中，也體現在運算遇到障礙而調整運算策略的過程中。運算教學中，教師要以“運算能力的培養”為紐帶把握好運算教學的內容，引領學生不僅學會根據法則等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據題目條件和特征尋求合理、簡潔的運算路徑。

（注：另外五個新動向將會在本刊第5期《深化小學數學教學改革的八個新動向（下）》繼續刊載，敬請關注！）

（浙江省嘉興市南湖區教研室 314000）