關注前概念 找準生長點

“前概念”指學生對將要學習的數學概念在先前的生活與學習過程中已經形成的認識與觀念。了解學生的“前概念”，是引導學生理解數學概念的基礎。如何才能準確地了解學生的“前概念”？了解學生的“前概念”對教學有哪些方面的啟發？下面筆者以“垂直與平行”的前概念調查研究為例，談一些思考和看法。

一、 “前概念”推測與調查

一般地，教師對學生“前概念”的把握，主要依據教學經驗或教育心理學理論，即主要來自于主觀的推測，但這樣的推測往往是單薄的、片面的，甚至是錯誤的。因此，即使有豐富教學經驗的教師，也要在對學生的“前概念”做出主觀推測的基礎上，組織有效及有針對性的調查。

（一） “前概念”推測

“前概念”推測是指教師依據自己已有的教學經驗，對學生的“前概念”做出的主觀推測。一般地說，“前概念”推測可以從學校數學學習基礎、學生生活經驗和概念名稱解釋三個方面展開。

1. 從數學學習基礎角度的推測

根據學習的遷移性，學生已有的數學知識、學習經驗與學習方式等都會對新概念的學習產生影響。所以當一個新概念出現時，學生會用已有的數學學習基礎做出自己的推測。

例如，當要求學生解釋“平行”時，學生可能與三上學習的辨認“平行四邊形”相聯系，根據在辨認“平行四邊形”時對平行的直觀思考來理解平行。而“垂直”則可能會與直角相聯系，認為像直角那樣就是垂直。很顯然，新概念的學習離不開已有的數學學習基礎，但同時，用這樣的基礎解釋新概念，也可能是錯誤的。

從數學學習基礎角度做“前概念”推測，需要教師熟悉教材體系，分析知識結構，找準新概念與原有知識的連接點。

2. 從生活經驗角度的推測

許多數學概念學生在日常生活中已經有了初步的感知。如“相交”，在日常生活中隨處可見，學生會用“交叉”這個詞來形容“相交”的情況。但是，從生活經驗角度積累的“前概念”可能不全面。

從生活經驗的角度推測“前概念”，需要教師平時與學生多交流，并去“成人化”思考，用學生的視角去解釋學生的行為。

3. 從概念名稱角度的推測

概念名稱是概念特征的抽象，學生可能通過概念名稱望文生義形成“前概念”。如“平行”，是一個帶有動態色彩的概念名稱，“平”會聯想到水平的，因此學生可能會認為水平的一條直線或兩條直線的關系才可能是“平行”的。顯然，從概念名稱的角度解釋概念，會與數學概念的本質含義有很大區別。

從概念名稱的角度推測“前概念”，需要教師從學生的理解水平出發去解釋字面意思，區分可能出現的各種歧義。

（二） 調查題設計

“前概念”推測有可能與學生的認識基礎相吻合，但也可能有很大出入。因此，編制調查題，進行“前概念”調查顯得十分重要。

“前概念”調查題不同于習題，不是為了簡單地判斷學生會還是不會、對還是不對，而是要通過學生對調查題的解答，真實地展現出學生的認識狀態。因此，編制主觀問答題作為調查題較為合適。

如筆者為“相交”“平行”與“垂直”的“前概念”分別編制了下面三個調查題。

什么叫兩條直線相交？請你用圖或語言來描述。

什么叫兩條直線平行？請你用圖或語言來描述。

什么叫兩條直線垂直？請你用圖或語言來描述。

同時，也可以根據第一次調查結果統計中發現的新疑問，設計第二輪調查題。如在第一輪調查中發現極大部分學生把“相交”等同于“交叉”，大多用畫“×”來表示，因此筆者編制了第二輪調查題。

下面的三組直線中，是相交的打“√”。

調查學生是否能把第三組題也看成“相交”，從而判定學生所理解的“交叉”與數學概念中的“相交”是否同一意義。

（三） 調查對象確定

作為一線教師進行的“前概念”調查，樣本不宜過大，同時，可以根據調查的目的靈活選定對象。

（四） 調查活動組織

調查一般以紙筆作答為主，利用課余時間完成。一輪調查時間一般控制在15分鐘以內。

二、 “前概念”分類與分析

調查題的主觀性與開放性使得學生的回答豐富多樣。為了便于統計，教師要從回答的差異性中找到相似性，并進行合理的分類；然后再對每一類進行細致分析，從相似性中辨析學生回答的差異性。在進行“前概念”分析時，對有疑問的調查結果，教師還可以進行個別訪談。

（一） 調查結果分類

調查結果分類的標準在于區分不同的回答中所體現的不同的學習水平或思維狀態。

分類時，先找出具有相同意思的典型例子，從這些典型例子中概括出它們的共同點作為某一類的特征。如對“平行”的調查結果中，筆者選取了以下三個典型的例子。

這三位學生的圖示雖然位置不同，并都用“互不相干”來表述“不相交”，但與“平行”的數學定義相一致，所以可以把它們歸為：正確描述或繪畫。

依據這樣的分類方式，筆者把“平行”的“前概念”分為以下四類：正確描述或繪畫、平行是一條平的線、畫平行四邊形和不回答。

（二） 調查結果統計

把調查結果分好類后，就可以對學生的回答進行分類統計。“前概念”的調查結果統計一般只要統計出每一類學生的回答數和每一類人數占整體的百分比就可以了。

（三） 調查結果分析

調查結果分析是指依據學生的回答情況，對學生的“前概念”做出歸因分析。一般可以分為整體分析、個體剖析與訪談追問等三個方面。

1. 整體分析

整體分析，指對調查結果統計所獲得的數據進行比較與歸因分析。如從“平行”前概念的調查統計數據中，筆者發現學生的“平行”前概念是有差異的。從“有31%的學生畫平行四邊形或長方形表示平行”可以判定，三上學習的“認識平行四邊形”對于理解平行具有一定的遷移作用?！坝?2%的學生認為‘平行’就是一條平平的線”則反映出這部分學生更多地從“平行”的字面意思來解釋平行。

2. 個體剖析

個體剖析，就是在每一個類別中抽取具有典型意義的學生回答進行細致的推測與剖析。如為什么有部分學生只把“平行”想成一條線，而且是一條“平的線”？這可以從以下兩個方面做出解釋：首先是從“平行”的字面意思來看，“平”可以解釋成“平的”“水平的”，“水平地走”不就是一條直的線了嗎？其次是在認識直線時，教師為了讓學生直觀地理解直線的本質特征，會出示方向不同的直線（如下圖），問學生：這些都是直線嗎？

在比較總結得出這些都是直線的同時，學生會認為直線有三類位置：平的直線、斜的直線和豎直的直線。其中“平的直線”就是“平行”，就產生了負遷移。

3. 訪談追問

訪談追問，是指為了進一步了解學生答題時的操作或思考的過程，有針對性地選取部分學生進行面對面交流的過程。如在表述“平行”時，有學生正確地畫出了平行線。那么，學生是如何畫出平行線的？從不同畫法中可以推測出怎樣的“前概念”？為解答以上疑問，筆者抽取了其中的八位學生，請他們重新畫一畫。八位學生有以下兩種基本的畫法。

畫法一：平移法。用直尺先畫一條直線，畫好后再把直尺平移一段距離后再畫另一條直線。

畫法二：描畫法。把直尺平放到紙上，再把直尺的兩邊描畫下來。

從畫法一中可以看出，學生已經初步感受到“平移”與“平行”的聯系。

從畫法二中可以看出，學生已經能夠發現實物中線與線的平行關系。

總之，上述三個方面著眼于“前概念”的不同分析視角?！罢w分析”著眼于“前概念”的差異度，“個體分析”著眼于“前概念”的差異處，“訪談追問”著眼于“前概念”的差異點。由面及點，形成全面而又細致的分析體系。

三、 對教學的啟發

通過透析學生的“前概念”，教師可以改進前期教學中存在的問題，重組優化教學結構，從而進行較好順應學生學習心理的教學。

（一） 改進前期教學中的問題

在“前概念”調查中可以發現學生的一些錯誤認識，可能是在前期教學中所導致的。因此，教師就要反思原來的教學，找到改進的策略。

如在調查“平行”前概念時，有31%的學生用“畫平行四邊形”的方法來解釋“平行”，這可能就跟三上學習的“初步認識平行四邊形”有一定聯系。

下圖是人教版“認識平行四邊形”的教材內容。顯然，學生說出了圖例的名稱，并不意味著對圖形的本質有全面的認識，更不能說對其中的從屬概念有所感知。因此，在學生已經初步認識平行四邊形之后，為了讓學生對其中的從屬概念進行進一步研究，教師可以設計以下兩個相關聯的問題。

（1） 為什么叫平行四邊形？

（2） 平行是什么意思？

引導學生在初步認識的基礎上，發現還有一些平行四邊形的屬性沒有認識，需要大家進一步進行研究的問題，體現數學概念學習的階段性與發展性。

（二） 重組后續教學時的結構

不同版本的數學教材對于同樣的數學內容編排結構不盡相同。教師該選擇哪一種結構組織教學更合理？通過“前概念”的調查與分析可以找到答案。

如“垂直與平行”的編排，人教版先安排垂直與平行的概念，再設置它們的畫法；北師大版先安排平行與畫平行線，再設置垂直與畫垂線。北師大版的編排有利于概念本質、畫圖方法的整體學習，但是不能形成如人教版第一課時的概念結構。如何改進，形成更加合理的教學結構？筆者借助于“前概念”調查發現了線索。

在“垂直”的前概念調查中發現，學生在學習垂直之前，并沒有把“垂直”看成是“相交”的一種特殊情況，因此教師就可以如北師大版編排的那樣進行教學。再綜合“相交”與“平行”的前概念調查分析，認為相交與平行應該是反映“同一個平面內兩條直線位置關系”的一組概念。因此，教師可以把教學結構調整為“平行與相交”“垂直與距離”兩個部分，具體如下：

與前面兩個版本的編排相比較，概念結構更嚴謹，學習過程更切準學生的思維生長點。

（三） 組織順應學生思維的教學

“前概念”的調查與分析，可以讓教師全面真實地了解學生的思維狀態。因此，在教學時，教師就能做到緊扣學生的“前概念”，組織材料，設計問題，順應學生的思維狀態組織教學。

如在“垂直”的前概念調查中發現，沒有一位學生能正確地表述垂直的概念，卻有67%的學生認為垂直就是“一條豎著的直線”（如圖１）。也就是說，大部分學生把垂直等同于日常用語中的“豎直”。如何在課堂中暴露錯誤，發現錯誤，并通過分析比較，形成正確的垂直概念？筆者進行了如下教學。

教師出示一組特例（見圖２）。學生認為兩幅圖的區別是左邊的是“斜的”，右邊的是“直的”。

接著教師出示圖３，問：這兩幅圖哪一幅是“直的”，哪一幅是“斜的”？學生通過反思比較，發現“直的”應該是相交后的角是直角，“斜的”應該是相交后的角不是直角。

教師根據學生回答，把垂直的兩幅圖圈到一起，并說明：像這樣相交后成直角的兩條直線，叫做互相垂直（如圖４）。

教師最后出示下面的圖形，請學生判斷哪幾組表示兩條直線互相垂直。

綜合上面的研究過程，可以發現，在數學概念教學設計前，通過學生“前概念”的調查研究，可以真實地了解學生的思維起點，真切地把握新概念的生長支點。這樣的實踐研究植根于學生，有利于形成教師自己的教學特色。

（浙江省杭州市蕭山區教研室 311201

浙江省杭州市蕭山區湘師附小 311201）