理解概念是關鍵

人教版數(shù)學教材三年級上冊的“有余數(shù)的除法”是表內除法知識的延伸和擴展，教材安排了豎式格式學習、有余數(shù)除法意義理解以及有余數(shù)除法豎式學習三課時。“有余數(shù)的除法”作為除法筆算的起始課，理解概念應該是這一內容學習的前提。對此，筆者設計了如下教學過程。

一、 關注操作，突顯概念的本質特征

“有余數(shù)的除法”是以表內除法知識作為基礎來進行學習的。學生在實際生活中會有一些感性的認識和經(jīng)驗，但缺乏清晰的概念認識。因此，筆者有意識地聯(lián)系學生已有的知識和經(jīng)驗，來溝通有余數(shù)除法和表內除法的關系，在具體情境中感知“有余數(shù)的除法”的意義。在引出新概念的同時，來揭示概念的發(fā)生和形成過程。

【片段一】

師（課件出示15個三角形）：一共有15個三角形，現(xiàn)在取其中的5個拼成一朵小花。想一想，15個三角形一共可以拼成幾朵像這樣的小花？

生：三朵。

師：你是怎么想的？

生：5個三角形拼成一朵，15除以5等于三朵。

師：你真能干，用一道簡單的除法算式就表示出了你分的過程。

師：這里有19個三角形，靜靜地想一想，每5個拼成一朵小花，可以拼幾朵這樣的小花？如果換一個造型，每3個拼成一條小魚。想一想，19個三角形又能拼出幾條這樣的小魚呢？

師：有結果了嗎？在你的練習紙上分別有19個三角形。請圈一圈，圈好后，試著用一道除法算式來表示出你分的過程。

師：看著你圈的圖，對照你的算式，說說你是怎么分的？

生：這里有19個三角形，我把它們每5個圈一圈，最后多了4個。

師：那你呢？

生：我也是每5個圈一圈，多的4個是余數(shù)。

師：同學們，你們也是這樣想的嗎？讓我們一起看著大屏幕再來分一分吧。（課件演示思考過程，幫助學生理解分到不能再分一份，所剩下的數(shù)就是余數(shù)）

師：剩下的4個三角形已經(jīng)不能再拼成一朵花了。難怪剛才有些同學用了“余數(shù)4”來表示。

在理解“余數(shù)”意義的環(huán)節(jié)中，選擇比較簡單的圈圖形的形式，更好地幫助學生進行知識和生活經(jīng)驗的遷移，通過“15個三角形，每5個拼成一朵花，能拼幾朵”到“19個三角形，拼花（5個一朵）和拼魚（3個一條）”引發(fā)學生的認知沖突。學生通過圈圖等活動，用自己的方式表示出了分的結果。學生自主地把自身的活動經(jīng)驗內化為對有余數(shù)除法的理解，并從不同的角度充分感受“余數(shù)”的意義及“有余數(shù)除法”的意義。

二、 注重對比，揭示概念的內涵和外延

數(shù)學概念教學的根本任務就是正確揭示概念的內涵和外延。對于“有余數(shù)除法”的概念，不僅要準確地揭示它的內涵，而且要挖掘它的外延，使學生對概念的理解逐步完善。本節(jié)課，教師通過設置不同層面的分析、比較、歸納、概括等活動，讓學生把握有余數(shù)除法的本質和規(guī)律，從而形成概念。

【片段二】

在學生初步理解4個三角形不能再拼成一朵小花，是剩余的數(shù)之后，教師又組織了“用3個三角形拼魚”情況的討論，教師用投影儀展示學生圈出的結果以及算式：19÷3＝6（條）……1（個）。

師：能說說你是怎么圈出拼小魚的結果的？

生：我就是每3個圈在一起，圈出了六條，還剩下1個三角形。

生：我是想誰最接近19，18除以3等于6，那么就是六條，19比18還多1個。

師：你剛才提到了18，那么你能結合這幅圖，說說18在哪里嗎？你能在圖上指一指嗎？

師：也就是說19個三角形，用18個拼了六條小魚，還剩下1個。讓我們一起看著屏幕觀察這個分的過程吧。

師：拼出一條小魚，二條小魚，三條小魚，四條小魚，五條小魚，還能再拼嗎？（課件出示３個三角形圈一圈，剩下4個三角形）

師：我有個小小的疑問。同樣是剩下4個三角形，剛才拼花的時候，你們說剩下4不能再拼了，這會兒也剩下4個，怎么就還能再拼了呢？

生：因為拼小花需要5個三角形，剩4個三角形不足以拼成一朵小花，現(xiàn)在是拼小魚，它是３個三角形拼成的，還能拼出一條小魚。

師：你真厲害，一下子就找到原因了，掌聲送給他。（課件演示只剩下1個三角形）

師：那現(xiàn)在還能再拼嗎？

師（小結）：像這樣拼到不能再拼出一份所剩下的數(shù)，在數(shù)學上它就叫做余數(shù)。

師：數(shù)學上，我們還用了一個專門的符號來表示。

生（接）：省略號。

師：那么這個算式就可以改成19÷5=3（朵）……4（個），讀作：１９除以5等于3朵余4個。表示把19個三角形，每5個拼成一朵小花，拼成了三朵，還多了4個三角形。

師（指著拼小魚的題）：你能按照我們的分法把這道有余數(shù)的除法寫出來嗎？請再次修改你的算式。寫好算式的同學可以和你的同桌說一說，這個算式表示的意思。

教師通過不同的分類，讓學生感受到“分到不能再分一份”或“不夠每份再分一個”所剩下的是“余數(shù)”。教學中設置了三次不同層次的對比分，引發(fā)學生對余數(shù)的思考，直擊余數(shù)和除數(shù)的關系，也再次感受到“只有分到不能再分一份”的時候才是余數(shù)。這樣，經(jīng)過幾次不同層面的對比、分析和概括之后，學生對有余數(shù)除法的內涵和外延都有了更深刻的認識，并為后續(xù)學習打下了良好的基礎。

三、 呈現(xiàn)過程，理解豎式的表達方式

對“有余數(shù)的除法”豎式的計算格式以及豎式意義的理解，是本課的教學難點之一。那么在教學中是否可以通過加強“分的過程”與“豎式”之間的聯(lián)系，幫助學生理解豎式各部分的意義？

【片段三】

討論的問題：19個三角形，平均分給6個小朋友，結果會怎樣？

學生操作思考，并寫出算式，口頭交流計算結果和思考過程以后，交流的重點指向對豎式的寫法與意義的理解。

師：其實，在數(shù)學上，可以用一道除法豎式很清楚地表示出這個分的過程，想試試看嗎？

（學生嘗試用豎式表示出分的過程，教師巡視，并選擇學生不同的表示方式進行板書）

師：我發(fā)現(xiàn)同學們大致會用兩種表示方法。說說你的這道豎式是怎樣表示出你分的過程的？

生：我是想19個三角形平均分給6位小朋友，每位小朋友分到3個，還剩1個。

師：你是把橫式豎著來表示，對吧？挺有想法的。

師：那你能結合圖形，說說你的豎式是怎樣表示出分的過程的？

生：19個三角形，平均分給6個小朋友，就除以6，每個小朋友分到了３個，三六十八，19減18等于1。

師：謝謝你。同學們，對比這兩個豎式，你覺得誰更能表示出分的過程？

生：第二個。

師：為什么？它好在哪？

生：多了18。

師：那18是從哪里來的？

生：三六十八。

師：那這個18表示什么意思？可以結合拼圖仔細想一想，再回答。

生：18是分完的三角形。

生：19減18很容易就算出剩下1個三角形了。

生：19個三角形，平均分給6個小朋友。

師：19就是要分的總數(shù)，也就是被除數(shù)，平均分給6個小朋友，６這個位置是除數(shù)。

師：這個豎式究竟是怎么寫出來的呢？這位小老師，你說，我來寫。（示范寫豎式并練習）

師：比較橫式和豎式，哪一個更能表示出分的過程？

生：豎式。

師：是呀！所以當人們遇到被除數(shù)或除數(shù)比較大的時候，就會利用列豎式的方法來幫助計算。你能在這個橫式中找到隱藏的18嗎？

生：3乘6等于18。

事實上，復雜計算通常會被分解，而豎式就是按一種程序計算并把中間結果記錄下來而得到的形式。可以說，豎式就是一種簡潔有效的表達方式，它是意義轉化為方法的有效載體，既是方法，更是概念。因此，理解每一步、每一個數(shù)的意義，是掌握方法、正確計算的前提。

（浙江省杭州市采荷第二小學 310016）