層層體會 建構概念

【教材分析】“眾數”是人教版課標教材五年級下冊第122～123頁的教學內容，是一節概念教學課。學生在三下和五上已經分別學習了平均數和中位數，并知道這兩個統計量的特點，這是學習本節課知識的認知基礎。教材在編排時注意了新舊知識的銜接和對比，讓學生通過平均數和中位數的對比學習掌握眾數的統計意義及特點。

【教學目標】

1. 理解眾數的含義，學會求一組數的眾數。

2. 在問題解決中體會眾數的應用價值，通過比較，體會眾數、中位數和平均數各自的特點，培養學生根據數據特點來選擇合適的統計量的能力。

【教學過程】

一、 引入

（一） 在猜年齡活動中復習“平均數”

師課件出示：草地上有七個人在玩游戲，他們的平均年齡是10歲，猜想一下可能是什么年齡的七個人在玩游戲，把他們的年齡寫下來。

反饋：師板書學生猜想的年齡，全班檢查是否平均數是10。

生：10，10，10，10，10，10，10。

師：每個人的年齡都是10歲，平均年齡當然是10了。

生：8，8，8，10，12，12，12。

師：你怎么看出平均年齡是10？（復習移多補少的方法）

生：7，8，9，10，11，12，13。

師：平均年齡是10嗎？

（二） 在描述數據中關注同一數據出現的次數

師：老師之前也讓其他班級的同學來猜這個問題，有同學是這樣猜的。（課件出示柱形圖：15，10，9，

9，9，9，9）

師（追問）：這七個同學的平均年齡也是10歲，他們的年齡還有什么特點？

生：大部分人的年齡是9歲。

師：還有一位同學是這樣猜的。（課件出示柱形圖：12，12，12，12，10，6，6）

師（追問）：那這七個同學的年齡還可以怎么來介紹？

生：超過一半的人年齡是12歲。

師：我們有了那么多種不同的猜測，那么到底是什么年齡的七個人在玩呢？（課件出示柱形圖，揭示七個人的真實年齡：3，3，3，3，3，3，52）

師：你們怎么這么驚訝？這七個人的平均年齡也是10歲呀！

引起學生議論：這組年齡中有一個人的年齡特別大，另外大部分都是3歲。

師：這樣的一組數據用平均數10來表示整體水平合適嗎？（不合適）那么你們認為用哪個數來表示整體水平更合適？理由是什么？

生：用3來表示整體水平更加合適，因為大部分人都是3歲。

（設計意圖：眾數是一個統計概念，要讓學生真正理解并接受這個概念，必須打破學生頭腦中根深蒂固的思維定勢，即習慣用平均數來描述數據的整體情況，所以本課引入猜年齡這一情境，用一組平均數是10但與學生想象中有很大沖突的數，讓學生感受引入眾數的必要性，從而激發學生對眾數這一概念的學習興趣和研究熱情。）

（三） 借助典型數據，引出眾數概念

師課件出示三組數據（見圖1）。

師：仔細觀察，9、12、3在每一組數據中都可以代表這組數據的整體水平，它們有一個共同的特點，你發現了嗎？（出現次數最多）

板書：一組數據中出現次數最多的數，是這組數據的眾數。

師：眾數和我們學過的中位數和平均數一樣，也是生活中常用的一個統計量，眾數也可以表示一組數據的整體水平。

（設計意圖：一個概念的形成需要一定量的積累，教師讓學生通過對三組具有共同特征的數據的觀察，發現9、12、3在各組數據中的特點是出現次數最多，初步得到眾數的概念，知道眾數和平均數一樣，也能代表一組數據的整體情況。）

二、 展開

（一） 探討計算眾數的方法，感受其多樣性

1. 依據眾數概念直接求眾數。

給出五組數據，請學生找出每一組數的眾數。

師：說一說每組數的眾數是幾？你是怎么想的？

生1：第一組數的眾數是155，因為155在這里出現了3次，出現的次數最多。

生2：第二組數的眾數是40，因為40出現了2次，其他都只有1次。

生3：第三組數的眾數是1.48。

師：同意嗎？你是怎么找的？（投影展示學生統計過程）

生4：我是畫“正”字統計的。

生5：我是數的：1.46（4），1.52（2），1.48（6），1.52（1）1.47（1），1.49（3），1.50（2），1.51（1）。

結合生5的發言，教師課件演示：將這些數落在數軸上（如圖2）。

師：是的，當一組數據中有較多數時，一定要有序統計每個數出現的次數，準確找到眾數。第四組的眾數呢？（生搖頭）

師：遇到什么問題了？

生：這組數中的84和87都出現了2次，怎么辦？

師：看來我們需要再回顧一下眾數的概念：出現次數最多的數。那么這組數中出現次數最多的數是（84和87），所以84和87都是這組數的眾數。同學們，一組數的眾數有時不止１個。

生：第五組數的眾數有5個，因為每個都出現1次，都是出現次數最多的。

師：有不同觀點嗎？

生：我認為這組數沒有眾數，因為大家都是眾數，就沒意義了。

師：對的，當一組數中每個數都只出現1次，那么這組數就沒有眾數。

師小結完善眾數的概念（板書）：眾數的個數有時是1個，有時不止１個，也有可能一組數據中沒有眾數。

（設計意圖：上述五組數據的設計都有其目標：前三組依據眾數概念直接找眾數；第三組數據比較多，反饋時關注找的過程的展示；第四組眾數有2個；第五組沒有眾數。通過這一過程，鞏固眾數的概念，加深對其意義的理解，初步感受眾數與中位數、平均數的區別。）

2. 進一步提煉計算眾數的方法。

再出示一組數，請學生找一找眾數。

口頭反饋，教師追問：n是數字幾重要嗎？在這里會影響我們找到這組數的眾數嗎？從這組數中找眾數你有什么想說的？

師引導學生小結并概括眾數概念的一般特點：眾數只和這個數在這組數中出現的次數有關，而與這個數是幾無關。

（設計意圖：通過帶有字母的數組找眾數，使學生感受眾數概念的一般特點：出現次數最多。）

（二） 結合具體情境體會眾數、中位數、平均數的聯系與區別

1. 結合直觀圖，體會三個統計量的適用性及局限。

出示第一組和第二組數據的直觀圖（如圖３），討論：這兩組數據都能用眾數代表整體水平嗎？

生：第一組眾數155可以代表它的整體水平，因為一組中有3個人跳繩的個數是155個。

生：第二組數的眾數不可以代表整體水平，因為眾數40是最大的一個。

師：觀察第二組數據發現眾數代表整體水平不合適，那么你認為平均數和中位數（課件顯示并排好序），誰代表它的整體水平合適？（中位數34，平均數29.6）

生：中位數34代表它的整體水平更合適，因為這里有一個數7很小，使平均數偏低。

師：你們太棒了，的確如我們討論的，并不是每一組數的眾數都適合代表它的整體水平。

師出示第三組數據，并給出中位數和平均數。

師：這組數用誰代表它的整體水平合適？

生：眾數、中位數、平均數都可以代表它的整體水平。

師：怎么想的？

生：因為這三個數都差不多，這組數里也沒有極端數。

師：是的，有時候眾數、中位數、平均數都可以代表一組數的整體水平。根據不同的數據特征，我們要會選擇用不同的統計數據來分析。

2. 結合數據組中某些數據的變化，分析三個統計量發生變化的情況。

再次出示第二組數據。

師：如果在這組數據中有一個數據發生變化，你認為眾數、中位數、平均數誰會受影響？

生：平均數一定會受影響，因為只要有一個數變了，平均數就變了。

師：大家同意嗎？看來平均數最敏感。那么中位數和眾數呢？

生：中位數可能會變，也可能不變。

師：你能舉例嗎？（結合學生的舉例，師利用excel演示，觀察變化）

生：沈易7個變成20個，中位數還是34。朱迎30變成35個，那么中位數就變成35了。

師：說得真好，我相信這樣的例子一定還有很多。那么眾數會怎樣變化？

生：如果少的那個變成和其他人一樣多，眾數就變，如沈易變成21個，眾數就變成21和40了。如果藍天從40變成41，那么這組數就沒有眾數了，其他情況一般不變。

師：我可以這樣理解你的意思，這個變化的數據如果影響到這些數出現的次數，眾數就會變，否則眾數就不會變，是嗎？

（設計意圖：教師結合具體情境，讓學生深入理解眾數的概念，分析數據的變化，選擇合適的統計量來表示它的整體情況。體會眾數、中位數和平均數的聯系與區別，把握它們各自的本質特征，從而深度理解眾數的概念。）

三、 應用

師出示題目：江干區舉行打字比賽，每校派出1名代表參加，老師對兩位候選同學進行了1分鐘打字測試，9次測試結果如下圖，你認為根據什么條件選擇，應選誰去參加比賽？（學生先小組交流，然后在全班交流）

師小結：同樣的數據，如果從不同的統計角度去分析，就會得到截然相反的結論。這就告訴我們，一定要用好學過的這些統計數據，學會有利的分析。

四、 課堂小結（略）

【課后反思】

一、 順應認知，引出眾數概念雛形

眾數是繼平均數和中位數之后引入小學數學課堂的第三個統計量，本課引入部分依據學生已有的概念，實現認知轉向，把握新的數據特征。在反饋學生猜測的結果時，目標指向兩個不同的層次：第一層次是復習平均數的意義及其特征，感受“根據平均年齡是10，大家猜測的七個數據都是接近10”；第二層次是通過教師補充的數據，將視角慢慢轉向，引導關注數據中某個數出現的次數，讓學生感受這樣的數據還可以用“超過半數都是12”“大部分都是9”來描述數據特征，初具概念的雛形。

二、 層層推進，逐步完善眾數概念

在教學中一個概念的建立需要量的積累過程，這樣才能真正得到建構。通過下面三組數據“15，10，

9，9，9，9，9；12，12，12，12，10，6，6；3，3，3，3，3，3，５２”讓

學生感知這幾組數據的特征：某個數出現的次數特別頻繁。特別是第三組，會給學生強烈的刺激，從而順勢引出“眾數”的概念，即“出現次數最多的數”。

課中用了三個不同層次目標的七組數據，幫助學生掌握眾數的求法及逐步了解眾數的一般特征。

另外，在理解眾數的概念時，如何讓學生了解其真正的適用性，有一定難度。本課設計了應用眾數解決實際問題的幾組數據：結合第一組和第二組的跳繩個數和仰臥起坐個數，選擇“哪一組數用眾數表示整體水平合適”，讓學生知道眾數能表示一組數的整體水平，但并不是每一組數的眾數都適合用于表示整體水平，打破學生新學的知識一定是最有用的思維定勢。

三、 比較辨析相關概念，使理解趨向深刻

教師通過不同數組的眾數比較，讓學生感受眾數應用的局限性；通過眾數與平均數、中位數的比較，讓學生理解眾數應用的適用性。為使學生的理解更深入，教師設計了三個層次的比較辨析。

1. 不同數據不同選擇。通過三個具體情境和三個關鍵問題：“這兩組數據都能用眾數代表整體水平嗎？”“眾數代表整體水平不合適，那么你認為平均數和中位數，誰代表它的整體水平合適？”“這組數用誰代表它的整體水平合適？”讓學生明白眾數、中位數和平均數沒有好壞之分，只有合適之別。有時這三個數都可以代表一組數的整體水平；當眾數處于最大或最小時，不適合；當有極端數據時，平均數不適合。

2. 變化中感受相對穩定。仍然用第二組數，面對“哎呀！我的個數數少了”，拋出問題：“你認為眾數、中位數、平均數誰會受影響？”讓學生感受平均數的敏感性以及眾數的相對穩定性，究其原因還是在概念上。正因為眾數只和出現次數有關，所以某個數的變化只要不影響次數，都不影響眾數；反觀平均數，因為它和每一個數的大小都有關，只要任何一個數變化就會引起它的變化。

3. 不同數據為我所用。創設情境“選誰去參加打字比賽合適”，讓學生能夠根據統計數據，來解釋自己的選擇，來說明問題，同時在交流爭論中發現：依據不同的統計數據，分析得到的結論卻是完全不同的。在引導中讓學生明白，依據數據可以選擇結果，有時候也可以根據結果來選擇有利的數據，即數據為我所用。生活中這樣的現象很多，學會合理看待生活中遇到的統計數據，了解其背后真正的用意。

（浙江省杭州市春芽實驗學校 310020）