把握特點 拓展空間 豐富體驗

教材解讀

在數學教學中，概念是構成數學知識的基礎和解決數學問題的前提。“成正比例的量”就是人教版數學六年級下冊比例單元的一個重要概念。就整個數學知識結構而言，學生通過這個內容的學習可以加深對比例的理解，應用此概念可以解決生活中的一些實際問題。教學中函數思想的進一步滲透也為學生以后的學習打下基礎。

教材在本課安排了兩個例題。例1提供了一個典型情境（如下圖），讓學生根據杯子中水的情況填寫表格，并思考體積和高度變化的規律，從而導出正比例的概念以及字母表達式，然后讓學生舉例說明生活中還有哪些成正比例的量。例2要求學生依據例1數據畫圖像，并依據圖像進行判斷。

根據以往的教學經驗，參與磨課的教師普遍認為以此種結構進行教學，學生不能真正理解概念，在舉例時容易出現錯誤。心理學認為概念的形成大致可分為以下過程：識別不同事例—從一類事例中取出共性—將本質屬性一般化并下定義—概念運用。可見，概念的形成需要多樣化的實例給予支撐，如果機械使用教材，在一個材料的基礎上完成整個概念的建構過程，顯然存在根基不穩的問題，從而造成概念理解不到位。基于上述認識，筆者認為教學時可以此情境為依托，并補充更多的材料，以豐富學生的感性認識，更好地提煉出材料的共性特點。

另外，在解讀教材時，筆者發現教材將正比例概念的形成過程和正比例圖像的繪制、閱讀分成兩個板塊進行處理。在小學階段，盡管本課內容局限于常見的數量關系的描述，但其內容與函數緊密聯系；而圖像是溝通幾何與代數兩個領域的橋梁，是函數學習中的重要工具，圖像所具有的特點也是概念本身特性的體現。圖像的研究過程也應與概念的形成過程實現更緊密的融合。

第一次教學設計

【教學過程】

（一） 初步感知，了解概念

1. 出示例1的杯子圖，觀察杯子中的水，你發現了哪兩種相關聯的量？

2. 出示表格：

這兩種量的變化存在怎樣的規律？

3. 學生討論后教師導出課題：像這樣兩種相關聯的量，就是今天要學習的成正比例的量。

4. 作圖—觀察圖像特點—進行相關計算。

（二） 分析比較，理解概念

1． 在下面四組相關聯的量中，還有像例題一樣成正比例關系的量嗎？分組進行研究，看一看，算一算，也可以在格子圖中畫一畫。

（1） 買同一種純凈水的數量和總價。

（2） 一瓶純凈水喝掉的部分和剩下的部分。

（3） 一輛勻速前進的汽車所用的時間和所行駛的路程。

（4） 畫面積為60平方厘米的長方形，長方形的長和寬。

通過數據分析與畫圖像相結合，排除不成正比例的材料，尋找成正比例的量的共同特點。

2． 小結：相關聯的量是否一定成正比例？請你總結成正比例的量的特征。

學生描述列舉：

（１） 兩種量同增同減，并以相同的倍數變化。

（２） 兩種量成一定的比例變化。

（３） 兩種量的對應數的商（比值）一定，與除法中商不變的情況相似。

（４） 圖像是一條斜向右上方的直線。

……

教師揭示字母表達式：=k（一定）。

（三） 鞏固提高，運用概念

1． 你還能在數學學習過程中，在生活中找一找成正比例的量嗎？

結合學生舉例運用概念進行判定。

2． 變式練習：

（1） 如果長方形的長邊固定，你能發現成正比例的量嗎？

（2） 在算式a×b=c中尋找正比例關系，想一想這個算式與我們已經找到的成正比例的量的聯系。

（四） 小結

【課后反思】

從教學實施效果看，以上教學較好地體現了概念教學的一般特點。但從實施過程看，筆者也發現了一些問題。

1. 教師在一個材料的討論后直接告知學生概念的名稱，雖然緊接著讓學生繼續分析四組材料來完成對概念內涵的理解，但告知過程依然顯得比較突兀。

2. 圖像的研究僅限于作圖與根據圖像進行相關計算，雖然學生操作的數量有增加，但并沒有實現思維價值的提升。如何實現研究質量的提升，在圖像探究中獲得更大的發展空間，需要進一步考慮。

3. 在鞏固提高階段，由于來自學生的材料的過度多樣化，使得概念的運用停留于通過定義判斷兩種量是否成正比例的較低水平上。而事實上，正比例作為兩種量關系的一種特例，在復雜的現實素材中尋找這種關系的過程，以及對成正比例的兩種量之間關系的因果分析，對于學習和生活有著更大的價值，這就需要教師進行引導來打開學生的思維空間。

根據試教情況，筆者對第一次教學設計進行了一些調整，期望使此概念的教學過程具備更廣闊的探究空間和更大的學習價值。

第二次教學設計

【教學過程】

（一） 分步感知，確立研究主題

1． 依次出示以下六組量，理解“相關聯”。（其中表3中的兩個量不是相關聯的）

2． 表6的研究。

（1） 水的高度和體積的變化存在怎樣的規律？

（2） 觀察教師繪制的圖像，直線上的點表示什么意義？直線能否延伸？

討論原點處和右上方延伸后的情況。

3． 揭示研究主題：雖然很多量是相關聯的，但是兩種量的關系并不相同。今天我們要研究的就是類似于表6中高度和體積這兩種量之間的特殊的關系。

（二） 比較分析，自主建構概念

1． 在表1、表2、表4、表5中，是否存在與高度和體積類似的關系？分組進行研究，看一看，算一算，可以在格子圖中畫一畫。

（1） 多角度尋找共同點，并分析表2、表5的不同之處。

（2） 在表1圖像中添加第二條直線，這條線可能表示什么交通工具的行駛情況？引導學生發現兩個量的比值（速度）決定了直線的傾斜程度。

2. 導出課題：正如大家提到的，表1、表4、表6中兩種量的變化呈現了很多共同點，我們把這樣的兩種量的關系叫做正比例關系。

3. 請根據剛才的研究過程，說一說你對正比例關系的理解。

（1） 尊重學生個性化的表述，并與教材上的表述進行比較。

（2） 引導學生借助字母進行表達：如果用x、y分別表示兩種相關聯的量，我們可以怎么描述正比例關系？（=k、y=kx等）

（三） 鞏固提高，深化概念理解

1. 學習和生活中是否還存在成正比例的量，請你舉例并說明。

2． 出示汽車行駛過程中的數據（見下表）。

在上表中存在哪些正比例關系？比值分別有什么意義？

時間、路程、耗油量、廢氣排放量之間兩兩成正比例，你如何理解這種現象？

3. 請判斷下列哪些長方形比較“相似”，用本課學習的知識進行解釋。

【課后反思】

經過調整后的設計在實際教學中體現出了以下一些特點。

（一） 概念建立更流暢

將正比例概念的把握放在了兩個量之間關系的大背景下，從六組材料中首先抽取出相關聯的量，再從余下五組材料中尋找具備共同特點的三組，這樣就使學生對這個概念的理解經歷了內涵逐漸增加、外延逐漸縮小的過程，概念的建立過程更合乎知識產生的邏輯。

在萃取共同特征的過程中也要關注差異，通過與表2（變化趨勢相同但未呈現相同倍數的擴大或縮小）、表5（變化趨勢相反）的對比更鮮明地展現了差異。兩個經過精心選擇的不同類的材料為正比例概念本質的凸顯提供了有力的支撐，并為成反比例的量等內容的學習做好了鋪墊。

（二） 圖像認識更豐富

教學中教師注重圖像特征共同點的理解和不同圖像的對比，讓學生不但知道正比例關系的圖像是一條從原點出發斜向右上方延伸的直線，也知道這樣的直線必定是正比例關系的圖像，明確特定關系與特定圖像的對應關系。對直線在原點處和繼續向右上方延伸后的意義進行的分析，解決了常常困擾學生的兩個細節問題。教師引導學生對直線傾斜程度與兩量比值的關系進行初步的探索，進一步理解了數與形的聯系，為未來函數圖像的學習做了更好的鋪墊。

（三） 概念運用更靈活

在鞏固運用階段，教師向學生提供了兩個更有挑戰性的情境。第一個情境是在汽車行駛過程的相關數據中尋找正比例關系。這不僅是運用概念進行判定的過程，也是從復雜的材料中自主尋找問題并進行解決的過程。此外，讓學生思考比值的意義能促使學生思考成正比例的量之間的因果關系，是運用數學方法對事物間聯系進行分析的方法的初步體驗。對四個量之間兩兩成正比例的現象的分析使學生感悟量與量之間的正比例關系具有傳遞性。第二個情境，教師讓學生運用本課知識對圖形的相似進行解釋，促使學生使用新知識理解數學學習中常見的現象。在這個理解過程中，學生可以從圖形內部觀察線段之間的關系入手，也可以從圖形之間對應線段存在的關系入手，多角度的思考方式，為學生靈活運用正比例這個概念提供了機會。

概念教學是數學教學活動的重要組成部分，數學概念的掌握程度在很大程度上決定了學生的數學素養。在概念教學中，把握概念教學應遵循的基本的認知規律，并分析特定概念在教材體系中的地位和認知方式上的特點，理解特定概念教學的數學價值，進而在教學中拓展出有利于學生發展的空間，使學生獲得對概念本身真正的理解，也讓學生從概念學習過程中獲得更豐富的學習體驗。

（浙江省杭州市夏衍小學 310017）