分析概念結構 促進有效建構

在數學教學中，無論是哪一個教學階段，數學概念都是重要的教學內容和教學重點。在教學時間的安排、思維要求的把握和練習應用的設計上，都應凸顯它的地位和作用。

一、 概念是認知結構的基礎與核心

筆者認為，數學教學關注并促進學生構建良好的認知結構是至關重要的。所謂良好的認知結構主要包括兩個方面：一方面，是指理解并清晰把握知識與知識之間的關系，即明確每一個知識點之間內在與本質的聯系，并在需要時能夠靈活地調用、變通與轉化，以解決數學問題，這是一種橫向的、網絡狀的結構；另一方面，是指對于每一個知識，不僅要知道它的名稱與定義，還應具備對它進行判斷、計算與應用等各個層次的相應能力，能解決涉及該知識不同水平要求的數學問題，即擁有該知識從記憶到應用的豐富能力結構，這是一種縱向的、多層次的結構。良好認知結構的這兩個方面，反映了數學思維的廣闊性和深刻性，對數學概念的建構就應如此。無論是從橫向的還是縱向的結構分析，我們都可以發現，數學概念是整個數學認知結構的基礎與核心，其解決問題的實質就是概念的應用。

二、 完整概念的要義是它的能力結構

概念教學絕不僅僅是讓學生知道概念名稱、記住定義，它需要教師在對概念的構成要素進行深入分析、充分把握的基礎上設計有效的情境，選擇合適的教法，促使學生全面、扎實地掌握概念。

在小學階段，數的概念和幾何概念是兩類最重要的數學概念。數的概念教學一般稱為數的意義或認識的教學，一個完整的數學概念建構應該包括以下一些要素：（1）知道數的定義（正式的或描述性的），能正確地讀與寫；（2）理解數的本質特征，能正確地解釋現實情境中數的實際意義并舉例；（3）掌握數的計量單位及組成規則，能正確地分解和組合；（4）建立數的大小的基本觀念，能用自己的方式正確描述數的大小，能對數的應用的合理性作出評價。數學概念中這四個層次的要素其思維水平是逐步上升的，是從知識到能力的發展過程。下面以“百分數的意義”為例再作進一步的具體分析。

從教學目標來看，“百分數”概念的良好認知結構應該包括以下幾點。

1. 知道百分數的定義。即“百分數表示一個數是另一個數的百分之幾”“百分數也叫做百分率或百分比”；認識百分數并能正確地讀、寫百分數。例如，讀一讀：45%、0.8%、100%、115.02%；寫一寫：百分之十八，百分之六十點五……這是百分數概念構成要素中的基層，是最低水平的要求。

2. 正確理解具體情境中百分數的意義。即它表示的是“誰與誰的比”“誰是百分之一百”；體會百分數與除法、分數之間的聯系，即它們都表示一種倍數或比的關系。例如：數學期末考試優秀率66.7%，說一說這個百分數的意義（誰與誰比較？誰是誰的66.7%？誰是100%？）。這個層次的思維要求是理解百分數的本質屬性，所以至關重要，這也是知識內化為能力的重要階段。

3. 理解百分數只能表示兩個數之間比的關系，不能表示某個數量的具體大小，分辨百分數與除法、分數之間的區別。這是進一步理解百分數的本質特征，正確進行概念應用的前提。

4. 應用百分數的意義。選擇正確的百分數運用于問題情境，或對問題情境中百分數應用的合理性作出評價。例如，將92%、120%、2%分別填入合適的括號里：

（1） 高速公路上，小轎車速度是大客車速度的（ ）。

（2） 學校這個月的用水量是上個月的（ ）。

（3） 小明今年長高的厘米數是去年身高厘米數的（ ）。

應用與評價是概念建構的最高階段，是能力的體現，對數學概念的學習，只有將思維水平提升到這一層次，才能實現對概念的完整建構，才能實現從數學知識到數學能力的發展目標。

同樣，幾何概念是幾何學習的起點，也是幾何計算和幾何操作的方法基礎。一個完整幾何概念的建構，也包含了豐富的能力層次。例如，“周長”概念的形成，應包含以下一些能力要素。

（1） 知道周長的定義，能表述什么是周長。

（2） 能用自己的語言正確描述或指出一個平面圖形的周長。

（3） 能根據周長的意義通過測量、計算等基本方法求出一個平面圖形的周長。

（4） 能應用周長的意義進行判斷和推理，并解決數學問題。

從布魯姆的學習目標分類理論來看，概念的能力結構正好體現了“記憶、理解、掌握、應用、評價”的思維發展過程。

三、 概念教學的核心是形成良好的能力結構

讓學生形成結構完整的數學概念，是概念教學的核心目標，也是進一步學習計算和解決問題的基礎。數學能力即生發于此。因此，如何讓學生真正掌握好數學概念，形成完整的能力結構，是教學設計和教法選擇思考的重點。

（一） 要認真分析概念的結構

這是概念教學設計、確定知識技能目標的第一步。通過概念分析，明確概念的能力構成，清楚學生掌握該概念應該包括哪些層次的能力要素，理清這些能力要素的思維水平和要求，才能做到心中有數，意圖清晰，環節目標明確，才能在教學中有層次地引導學生從知識到能力逐步提升。例如，四年級上冊“垂直”概念的教學，這是小學數學中的一個基礎性概念，對后續的學習非常重要。對它的良好建構，應該包括以下四個層次的能力要素。

（1） “互相垂直”的定義及其表述。

（2） 判斷“互相垂直”的方法和垂線的畫法。

（3） “垂直關系”與平面上兩條直線間其他位置關系的聯系與區別，即互相垂直是平面上兩條直線位置關系中的特例，同時體會垂直還是描述空間距離的前提。

（4） 應用垂直的概念解決數學問題，如測量距離、判斷是否平行等。

通過這樣的分析，目標指向就變得非常清晰，教學設計有了明確的導向：每一個環節要探討什么問題，達到怎么樣的思維要求，教學方法如何選擇，學習活動如何組織，應該設計怎樣的問題情境才有利于學生達到相應的能力水平……這些都有了清晰的依據和思考標準。當然，概念的建構過程具有師生的個性特征和時間上的差異，不能簡單的一概而論。

（二） 要突出概念的核心能力要素

一個概念的結構中含有多層次的能力要素，但教學時要避免平均用力，應突出其核心的能力要素。首先，概念結構中的這些要素對概念建構的重要性是不同的，只有涉及對概念本質屬性的理解和應用的要素才是最應重視的；其次，概念的建構具有過程性，有時一個概念結構的完全形成并非在一節課中能完成，可能需要一個階段，因此教學過程中應突出最核心的要素。仍以“百分數的意義”為例，在所有能力要素中，“理解具體情境中百分數的意義，體會百分數與除法、分數等都表示一種倍數或比例關系”和“理解百分數只表示兩個數量之間的比例（倍數）關系，不能表示某個數量的具體大小，分辨百分數與除法、分數之間的區別”這兩個要素是最重要的。因為一方面它們反映的是百分數概念最本質的屬性，另一方面它們是后續有關百分數計算和用百分數解決問題的直接基礎。因此，對于前者，教師僅僅讓學生解釋意義是不夠的，需要進一步地深入探討與理解。例如：

（1） “一件衣服面料中棉占75%”是什么意思？棉的成分可能是100%嗎？可能是105%嗎？為什么？

（2） “有甲、乙兩塊地，甲的面積是乙的面積的80%”是什么意思？甲的面積可以是乙的面積的100%嗎？這個時候你想到了什么？可以是120%嗎？為什么？……

通過討論與交流，促進學生理解“部分與總量的關系”以及“兩個量之間的關系”這兩種百分數的意義。而對于后者，教師同樣要精心設計問題，做重點的討論與交流。

例如：“甲、乙兩根繩子，甲的長度是乙的長度的”，你能想到什么？還能怎么表達它們之間長度的關系？（甲的長度是乙的0.8倍，甲的長度是乙的80%，甲的長度與乙的比是4∶5……）那么如果“甲的長度是米”，還可怎么表示呢？（可以用0.8米表示）

通過這樣的討論，教師促進學生進一步理解把握百分數的本質特征，突出對“百分數也叫百分率或百分比”的理解，建構層次豐富的概念結構。

（三） 要重視對概念的數學表征

數學表征是用直觀、簡潔和概括性的方式來揭示數學關系的方法，它反映了學生對數學概念和數學規律等數學知識的建構方式和理解程度。因此，概念教學中重視對概念進行直觀、科學的表征，不僅能檢測學生對概念的理解是否正確，更能促進學生對概念的深入領會和正確建構。下面是一位教師在教學四年級上冊“1億有多大”中設計的一個環節，目標是研究“1億粒米有多重”。

（1） 提供信息：“100粒米約2.5克”“50克米約2000粒”。

（2） 學生推算。

（3） 匯報結果：1億粒米重約2500千克。

（4） 具體表征：如果每袋米50千克，可盛50袋；如果一個人1天吃0.5千克，可吃13年……

“1億”是一個大數，在“1億”這個概念結構中，最容易的是“10個千萬是1億”這個知識，但教學不能僅停留于此，而最難的是“具體直觀地描述1億數量的大小”，即建立1億的基本觀念并進行評價，通過以上的具體表征過程，就能夠較好地突破這個難點。

同樣，在“百分數的意義”教學中，教師可以讓學生用自己的方式表示出25%的意義。這是一種多元表征，可以將學生對“25%”的理解用多種方式表征出來，使其頭腦中的認知結構得以外顯。如“蘋果的質量占水果總質量的25%”，“下圖陰影部分占整個圖形面積的25%”……當學生能夠以這樣的方式來表示對25%的理解時，概念的本質特征就較好地建構起來了。

（四） 要重視設計有效的情境

學生學習過程中數學思維的發展與教學設計提供的情境和材料密切相關。有效的情境包括問題提出的情境和概念應用的情境。概念應用的情境，是促進學生對概念的掌握達到應用層次的有效手段。所謂的概念應用，不是它的定義內容的簡單再現，也不是方法公式的直接套用，而是在一個新的情境中用概念的本質屬性進行判斷與推理，并解決問題的過程。例如，在認識“周長”以后讓學生思考：“下列圖形中，陰影部分周長占正方形周長一半的圖形是（ ）。”學生在解決問題時必須先確定陰影部分的周長是什么？由哪幾部分組成？它與正方形的周長又有怎樣的關系？這樣的思考是基于能力和概念應用的，而不是簡單地套用公式計算周長。

再比如，四年級下冊“小數的意義”教學，最后應引導學生用小數的意義解決各種問題，包括解釋運算結果。可以讓學生思考：“你覺得0.35+0.4的結果是多少？你是怎么想的？”一種數在一定的數系內可以實現運算，這是數的本質屬性，而運算的原理是建立在數的概念即本質屬性之上的。當學生能夠表達“0.35是3個0.1和5個0.01，0.4是4個0.1，合起來是7個0.1和5個0.01，是0.75”或“0.35是35個0.01，0.4是4個0.1，就是40個0.01，二者加起來是75個0.01，就是0.75”這樣的思考過程時，表明學生已能較好地應用數的概念去表示量的多少、探究計算的結果或比較數的大小等問題，從而為后續的學習提供扎實的基礎。

（浙江省杭州市普通教育研究室 310003）