構(gòu)建表象 深化理解

“有余數(shù)除法”是人教版實驗教材三年級上冊的內(nèi)容，是“表內(nèi)除法”的延伸和發(fā)展，是學(xué)生學(xué)習(xí)多位數(shù)除法的基礎(chǔ)。教材內(nèi)容抽象、概念性強，學(xué)生剛學(xué)過表內(nèi)除法，已經(jīng)習(xí)慣用乘法口訣求商，不容易理解“余數(shù)”概念，對于除法不能直接從乘法口訣求商有許多困惑。因此，如何讓學(xué)生獲得鮮明的表象，建立“余數(shù)”的概念，通過數(shù)形結(jié)合等方式體驗有余數(shù)除法的含義，并在試商、調(diào)商計算技能方面獲得一定的基礎(chǔ)？筆者對此進(jìn)行了有效的教學(xué)嘗試。

【教學(xué)過程】

一、 擺幾個正方形？多幾根？

師（出示一捆小棒）：4根小棒能搭一個正方形，用老師手中的小棒搭獨立的小正方形，會有怎樣的結(jié)果？

生：擺了幾個正方形后，會多幾根。

生：擺了幾個后會少幾根。

生：也可能會正好擺幾個正方形。

師：你能舉例來說明剛才的想法嗎？

生：如果是8根正好搭2個正方形，算式是8÷4=2（個）。（師用小棒演示后寫算式）

生：24根正好搭6個正方形，算式是24÷4=6（個）。

師：你能舉一個多幾根的例子嗎？

生：5根擺１個多1根。

師：你是怎么想的？

生：１個正方形是4根，多1根。

生：9根也是多1根。

師：哦？怎么想的？

生：２個是8根，9－8＝1。

師：老師用小棒搭出來看看。（演示）

生：13根也是多1根。

師：怎么想的？

生：9根多１根，13比9多4，正好多搭１個。

生：我補充，搭3個用12根，那么13根就多1根。

師：13根小棒搭正方形是這個結(jié)果，那么你能用算式表示出來嗎？

生：3×4＝12（根），13－12＝1（根）。

生：我是這樣想出來的：3×4+1=13（根）。

生：我是算出來的：（13－1）÷4=3（個）。

生：我是算出來的：13÷4=3（個）……1（根）。

師：同學(xué)們，你能看懂這里的算式嗎？你能說說每個算式的意義嗎？

生：前3個算式能看懂，最后的算式看不懂。

師：這個算式表示的意思其實與前邊的大致一樣，就是有13根小棒，每4根正好搭1個正方形，能搭3個還多1根，這里多出來的“1”就是余數(shù)。

（評析：從開放式的問題入手，讓學(xué)生感受到有余數(shù)除法只是平均分中的一種特殊情況。學(xué)生在用4根小棒搭1個正方形的活動過程中，初步獲得了“余數(shù)”概念的表象支撐，為抽象出“余數(shù)”概念埋下了伏筆。）

二、 你會直接列式嗎？

師：我們再來想，18根又能搭幾個正方形呢？你是怎么得到的？會列式的可直接列算式，不會的可先用小棒擺一擺，再列式。

生：我是想出來的：4×4＝16，18－16＝2，所以18÷4=4（個）……2（根）。

師：真好，其他同學(xué)能說說嗎？（同桌互說）

師：23根小棒能擺幾個？用算式表示。

生：23÷4=5（個）……3（根）。

師：怎么想的？

生：4×5＝20，23－20＝3。

教師出示下列算式，學(xué)生匯報。

14÷4＝ 19÷4＝ 25÷4＝

（評析：擺小棒是一個方法，但更多的是通過“乘、減”兩步得到的，這里其實已經(jīng)涉及到了“試商”這一層的意思了。由于前期小棒的操作對感知余數(shù)有了一定的基礎(chǔ)，試商這個難點也變得水到渠成。）

三、 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

師：同學(xué)們，你能在腦中用9根到20根的小棒獨立搭正方形嗎？分別有怎樣的結(jié)果？能用算式表示嗎？（生思考并寫算式）

生匯報： 9÷4＝2（個）……1（根）

10÷4＝2（個）……2（根）

11÷4＝2（個）……3（根）

12÷4＝3（個）

13÷4＝3（個）……1（根）

14÷4＝3（個）……2（根）

15÷4＝3（個）……3（根）

16÷4＝4（個）

17÷4＝4（個）……1（根）

18÷4＝4（個）……2（根）

19÷4＝4（個）……3（根）

20÷4＝5（個）

師：觀察上面的商和余數(shù)，你有什么想法？

生：12÷4＝3（個），可以看成是余0根。

生：余數(shù)是1、2、3，1、2、3重復(fù)。

師：為什么余數(shù)只出現(xiàn)1、2、3，不出現(xiàn)4、5呢？

生：因為余1、2、3根的話，不夠搭正方形了，多4根的話，還可以搭1個正方形，多5根的話，還可以用其中的4根搭1個正方形，還多1根。

師：余數(shù)和除數(shù)的大小有什么關(guān)系？

生：余數(shù)不能比除數(shù)大。

生：余數(shù)要比除數(shù)小。

……

（評析：腦中搭正方形在內(nèi)容上與操作相似，但體現(xiàn)了不同的思維水平，加深了學(xué)生對余數(shù)意義的理解。從小棒的實際操作到數(shù)學(xué)算式，學(xué)生經(jīng)歷了橫向數(shù)學(xué)化的過程，通過擺“9根、10根……20根小棒”，學(xué)生經(jīng)歷了縱向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程。從實物小棒圖到頭腦小棒圖，不管是多1根、多2根、多3根，都不夠搭１個正方形。學(xué)生逐步建構(gòu)起了“余數(shù)要比除數(shù)小”的概念。）

【總評】

“余數(shù)”是一個抽象的概念，在教學(xué)中，教師藝術(shù)化地處理了這部分知識的教學(xué)，通過建構(gòu)直觀、形象的心智圖像，使抽象問題具體化，隱性問題顯性化。很好地利用了學(xué)生的認(rèn)知差異和思維慣性引起的矛盾沖突，誘導(dǎo)學(xué)生在探索過程中產(chǎn)生一種頓悟與反思。

例如，用小棒搭正方形是學(xué)生熟悉并喜歡的活動，用4根小棒可以搭成1個正方形，5根小棒搭完１個正方形后多了1根，6根小棒搭完1個正方形后就多了2根，……學(xué)生在操作活動中自然獲得了“余數(shù)”概念的表象支撐，建立了余數(shù)的初步模型。又如，在第三部分“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律”中，教師提出要求“觀察上面的商和余數(shù)，你有什么想法”，讓學(xué)生在觀察比較中，知道了“余數(shù)比除數(shù)小”的道理，有效地突破了教學(xué)的重點與難點。

總之，教師在教學(xué)中要根據(jù)數(shù)學(xué)知識的特點和兒童的年齡特點，通過直觀形象的教具展示、學(xué)具操作等形式，使學(xué)生積極主動參與學(xué)習(xí)，從而構(gòu)建起新的知識體系。同時，通過心智圖像合理建構(gòu)的訓(xùn)練，提高學(xué)生的直觀“透視”能力和想象能力，進(jìn)而提高其形象思維能力，為接下來的“有余數(shù)除法的計算”教學(xué)埋下伏筆。

（浙江省桐鄉(xiāng)市龍翔小學(xué) 314504）